高等数学公式
导数公式：
(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna
1
(logax)??
xlna
基本积分表：
(arcsinx)??
1
?x2
1
(arccosx)???
?x21
(arctgx)??
1?x2
1
(arcctgx)???
1?x2
?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C
?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
?arctg?C?a2?x2aadx1x?a
?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x
??a2?x22alna?x?Cdxx
?arcsin?C?a2?x2
a
?
2
n
dx2
?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2
?sin2x??cscxdx??ctgx?C
?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C
ax
?adx?lna?C
x
?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?
dxx2?a2
?ln(x?x2?a2)?C
?
2
In??sinxdx??cosnxdx?
n?1
In?2n
???
x2a22
x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C
22x2a2222
x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C
22x2a2x222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
2
2
三角函数的有理式积分：
2u1?u2x2du
sinx?， cosx?， u?tg， dx?
21?u21?u21?u2
一些初等函数： 两个重要极限：
ex?e?x
双曲正弦:shx?
2ex?e?x
双曲余弦:chx?
2
shxex?e?x
双曲正切:thx??
chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数公式： ·诱导公式：
lim
sinx
?1
x?0x
1
lim(1?)x?e?2.718281828459045...x??x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?
tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1
ctg(???)?
ctg??ctg?
sin??sin??2sin
???
22??????
sin??sin??2cossin
22??????
cos??cos??2coscos
22??????
cos??cos??2sinsin
22
cos
???
·倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?
ctg2??1ctg2??2ctg?
2tg?tg2??1?tg2?
·半角公式： sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??1?3tg2?
sin
tg
?2?????cos??cos cos??2221?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin??? ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?
abc???2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC?2·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsinx??
2?arccosx arctgx??
2?arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv
k?0n
?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)
2!k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
f(b)?f(a)f?(?)?F(b)?F(a)F?(?)
曲率： 当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?
平均曲率：K?????:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?s
y????d?M点的曲率：K?lim??. 23?s?0?sds(1?y?)
直线：K?0;
1半径为a的圆：K?.a
定积分的近似计算：
b
矩形法：?f(x)?
a
bb?a(y0?y1???yn?1)nb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2
b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n 梯形法：?f(x)?ab抛物线法：?f(x)?
a
定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压力：F?p?A
mm引力：F?k1
22,k为引力系数 r
b1函数的平均值：y?f(x)dx?b?aa
12f(t)dt?b?aa
空间解析几何和向量代数： b
空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：Prju?cos?,?是u轴的夹角。
????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos??
i???c?a?b?ax
bxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bz
ay
by
cyaz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时， czax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
xyz3???1abc
平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?D
A2?B2?C2
?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0?????t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?
二次曲面：
x2y2z2
12?2?2?1abc
x2y2
2??z（,p,q同号）2p2q
3、双曲面：
x2y2z2
2?2?2?1abc
x2y2z2
2?2?2?（马鞍面）1abc
多元函数微分法及应用
全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y
多元复合函数的求导法：
dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]???? dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]?????x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，
du??u?u?v?vdx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y
隐函数的求导公式：
FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdx
FyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0??x???xFz?yFz
?F
?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组： J????G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用： ?F?v?Fu?GGu?vFvGv
?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?
在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0
??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：
?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
x?x0y?y0z?z03??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度： FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0
?f?f?f
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l?cos??sin?
?l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。
?f??f?i?j?x?y
???f??
它与方向导数的关系是?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的
?l
单位向量。?f
?是gradf(x,y)在l上的投影。?l函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?
多元函数的极值及其求法：
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，??
?A?0,(x0,y0)为极小值??2
则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???
重积分及其应用：
??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?
D
D?
曲面z?f(x,y)的面积A???
D
??z???z?
??????dxdy??
??x???y?
2
2
?
Mx
?M
??x?(x,y)d?
D
???(x,y)d?
D
D
,?
MyM
?
??y?(x,y)d?
D
???(x,y)d?
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?, 对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??
D
?(x,y)xd?
(x?y?a)
2
2
22
Fy?f??3
D
?(x,y)yd?
(x?y?a)
2
2
22
Fz??fa??3
D
?(x,y)xd?
(x?y?a)
2
2
3
22
柱面坐标和球面坐标：
?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?, ??????z?z?
其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)
?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??
2??r(?,?)
???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)r
??2sin?drd?d???d??d?00?F(r,?,?)r02sin?dr?1
M???x?dv, ?
?
?1M???y?dv, ???1M???z?dv， 其中M??????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv， Iy????(x2?z2)?dv， Iz????(x2?y2)?dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (??t??),则：?y??(t)?
?L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t?2(t)???2(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)??
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
?x??(t)设L的参数方程为，则：?y??(t)?
?
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL
两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy?????x?y?x?yDLDL
?Q?P1当P??y,Q?x??2时，得到D的面积：A???dxdy?xdy?ydx?x?y2LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：
?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y
(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y
u(x,y)?
(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。
曲面积分：
22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy????
?Dxy
对坐标的曲面积分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
?
号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?Dxy
号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正
?Dyz
号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正
?Dzx
两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds
??
高斯公式：
???(
??P?Q?R??)dv?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：A???nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，
?因此，高斯公式又可写成：???divAdv?Ands
?????
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??(
??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?
cos?
?
?y
Qcos???zR
dydzdzdxcos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无????y?z?z?x?x?y
ijk????旋度：rotA??x?y?z
PQR???向量场A沿有向闭曲线?Pdx?Qdy?Rdz?A?tds
??
常数项级数：
1?qn
等比数列：1?q?q???q?1?q
(n?1)n等差数列：1?2?3???n? 2
111调和级数：1?????是发散的23n2n?1
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
???1时，级数收敛?设：??limn，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?
2、比值审敛法：
???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?
3、定义法：
sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??
交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：
??un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rnrn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n
绝对收敛与条件收敛：
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；
(2)u1?u2?u3???un??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。
1(?1)n
调和级数：?n发散，而?n1 级数：?n2收敛；
?１时发散1 p级数：?npp?1时收敛
幂级数：
1x?11?x1?x?x2?x3???xn??x?1时，发散
对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1??0时，R?
求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)??0时，R???n??an????时，R?0?函数展开成幂级数：
f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!
f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!
f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!
一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?
欧拉公式：
?eix?e?ix
cosx???2 eix?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e
?2?
三角级数：
a0?
f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1
其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。
正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。
傅立叶级数： ?
a0?
f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1
??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx ????其中???b?1f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)?n?????
11?2
1?2?2???835 111?2
?2?2???224246
正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2???6234111?21?2?2?2???12234f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)??b??02?nsinnx是奇函数2?
??0f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)?a0??ancosnx是偶函数2
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1ll
l?1n?xdx (n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l?b?1f(x)sinn?xdx (n?1,2,3?)?nl?l?l?
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxx
ydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy1?P(x)y?Q(x)dx
?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?
P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e?
dy2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx
二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x) dxdx2f(x)?0时为非齐次
全微分方程：
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：
?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y) ?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；
2、求出(?)式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
二阶常系数非齐次线性微分方程
y???py??qy?f(x)，p,q为常数
f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；
f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型