1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

分析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．

（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．

（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答：

解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2）过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴

BE=AD=24cm

1

∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

解得：t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）由题意知：QC-PD=EC时，

四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2

解得：t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．

点评：

此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

2.

如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

分析：

（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

（3）利用已知条件及正方形的性质解答．

解答：

解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

2

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．

如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE= ∠ACB，

同理，∠ACF= ∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四边形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．

点评：

本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．

3.

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；

（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

3

分析：

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM； 四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．

（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：

①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．

②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值． ③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．

综上所述可得出符合条件的t的值．

解答:

解：（1）∵AQ=3-t

∴CN=4-（3-t）=1+t

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42

∴AC=5

在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM=

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形

∴PC=QD，即4-t=t

解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：

MN+NC=AM+BN+AB

即： （1+t）+1+t= （3+4+5）

解得：t= （5分）

而MN= NC= （1+t）

4

．

∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2

×4×3 当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠

∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．

（4）①当MP=MC时（如图1）

则有：NP=NC

即PC=2NC∴4-t=2（1+t）

解得：t=

②当CM=CP时（如图2）

则有：

（1+t）=4-t

解得：t=

③当PM=PC时（如图3）

则有：

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2

而MN= NC= （1+t）

PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3

∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2

解得：t1=

∴当t= ，t= ，t2=-1（舍去） ，t= 时，△PMC为等腰三角形

点评：

此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类

5

讨论和数形结合的数学思想方法．

4.

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

分析：

以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．

如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．

解答：

解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）． 因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合． 所以x= -1符合题意．

②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．

此时DN=x2=25＞20，不符合题意．

故点Q与点M不能重合．

6

所以所求x的值为 -1．

（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，

由20-（x+3x）=20-（2x+x2），

解得x1=0（舍去），x2=2．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，

由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，

解得x1=-10（舍去），x2=4．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．

所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．

由于2x＞x，

所以点E一定在点P的左侧．

若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，

则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，

即2x-x=x2-3x．

解得x1=0（舍去），x2=4．

由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．

点评：

本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．

5.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？

分析：

7

（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；

（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．

解答：

解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；

（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形

点评：

考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容． 6.

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，

∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；

（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

分析：

（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；

（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由

8

PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出． 解答：

解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s= ?QB?PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤

（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况 ）．

：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得

合题意，舍去）．

综上所述，当

形． 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角，t2=16（不

点评：

9

本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

7.

直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

分析：

（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；

（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，

当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；

（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标． 解答：

解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），

∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．

当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，

OQ=t，OP=2t，S=t2．

当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，

OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，

如图，做PD⊥OA于点D，

由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．

10

∴S= 12OQ?PD=- 35t2+245t．

（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上

当S= 485时，- 35t2+245t= 485

∴t=4

∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8

AD= 82-(245)2= 325

∴OD=8- 325= 85

∴P（ 85， 245）

M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）

点评：

本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

11

第二篇：初中数学重要知识点总结

初中数学常用公式定理

1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，0.231，0.737373…­­．­无限不环循小数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数．

2、­绝对值：a≥0­­丨a丨＝a；­a≤0­­丨a丨＝－a．如：­­丨3.14－π丨＝π－3.14．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个­近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

4、把一个数写成±a×10ⁿ­的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×10⁵，0.000043＝­4.3×10^－5．

5、乘法公式：①(a＋b)(a－b)＝a²－b²．②(a±b)²＝a²±2ab＋b²．③­(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³．④(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³；a²＋b²＝(a＋b)²－2ab，(a－b)²＝(a＋b)²－4ab．

6、幂的运算性质：①­a^m×aⁿ＝a^m＋n．②a^m÷aⁿ＝a^m－n．③(a^m)ⁿ＝a^mn．④(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ．⑤      ⑥a^－n＝  ­⑦­a⁰＝1(a≠0)．如：a³×a²＝a⁵，a⁶÷a²＝a⁴，(a³)²＝a⁶，(3a³­)³＝27a⁹，

7、二次根式：①­(­­)²＝a­(a≥0)，②      ­­＝丨a丨，③­­      ＝­­    ×      ­­，④      ­­＝­­        （ a＞0，b≥0)­．如： a＜0时，      ­­  ＝－a      ．

8、一元二次方程：对于方程：ax²＋bx＋c＝0：

①求根公式是x＝­                  ­，其中­△＝b²－4ac叫做根­的判别式．注意：当△≥0时，方程有实数根．△<0时，方程无实根

②若方程有两个实数根x₁和x₂，并且二次三项式ax²＋bx＋c可分解为a(x－x₁)(x－x₂)．

③以a和b为根的一­元二次方程是­x²－(a＋b)x＋ab＝0．

9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y­随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx­(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．

10、反比例函数y＝­    ­(k≠0)．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．

11、统计初步：（1）概念：①总体，个体．样本，样本容量．②众数．③中位数．

（2）公式：设有n个数­、……, ，那么：①平均数为：                                    ；②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，即：极差=最大值-最小值；③方差：数据、……, 的方差为，

则=                                         一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。标准差：方差的算术平方根.

12、频率与概率：

（1）频率=      各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率①用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；②运用列举法计算简单事件发生的概率。③大量重复实验频率可视为事件发生概率的估计值；

13、锐角三角函数：

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则：sinA＝­，cosA＝­­，tanA＝­．并且sin²A＋cos²A＝1．0＜sinA＜1，­0＜cosA＜1，­tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，­cos(90º－A)＝sinA．

③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝­­，sin45º＝cos45º＝­­，sin60º＝cos30º＝­­，      tan30º＝，tan45º＝1，tan60º­＝．

④斜坡的坡度：­i＝­­＝­­．设坡角为α，则i＝tanα＝­­．

14、平面直角坐标系中的有关知识：

（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P₁（a，－b），P关于y轴对称的点为P₂（－a，b），关于原点对称的点为P₃（－a，－b）.

（2）坐标平移：点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，变为P（a，b－h）.

15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果                       是常数，       ，那么叫做的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

3求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，                                       ∴顶点是（                               ，对称轴是直线.           

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为                         的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为：

4.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于的对称轴是直线         ，故：①时，对称轴为轴；②时，对称轴在轴左侧；③时，对称轴在轴右侧.

 （3）的大小决定抛物线                与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c=0，抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧则               

5.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：                       .已知图像上三点或三对x、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：                          已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标、，通常选用交点式：                                      .

6.直线与抛物线的交点

 （1）y轴与抛物线                          的交点为(0,c).

 （2）抛物线                       与x轴的交点:二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点()抛物线与轴相交;  ②有一个交点（顶点在x轴上） ()抛物线与x轴相切;  ③没有交点 ()抛物线与x轴相离.

  （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点

    同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组                 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点                             .

  （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 

几何部分：

1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º

2、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a∥b∥c，直线l₁与l₂分别与直线a、b、c相交于

点A、B、C、D、E、F，则有

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：

＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90^o，CD⊥AB于D，则有：

（1）（2）（3）

4、圆的有关性质：

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的­任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；­⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度­数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周­角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等­弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角­所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三­角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径­；（2）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则

＊6、弦切角定理及其推论：

（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。                               

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD

割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB

 

             ①                                                            ②                                             ③

8、面积公式：

①S_正△＝­­×(边长)²．②S_{平行四边形}＝底×高．③S_菱形＝底×高＝­­×(对角线的积­

④S_圆＝πR²．⑤l_圆周长＝2πR．⑥弧长L＝_­­． ⑦ ⑧S_圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S_全面积＝S_侧＋S_底＝2πrh＋2πr²⑨S_圆锥侧＝­­×底面周长×母线＝πrb， S_全面积＝S_侧＋S_底＝πrb＋πr²

9、图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。
全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然

相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

10、中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

11、图形与变换：
1：图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。