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转动惯量的测定

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

实验目的

1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理

3、学会使用通用电脑计时器测量时间

实验仪器

ZKY-ZS转动惯量实验仪，ZKY-J1通用电脑记时器

实验原理

1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理

根据刚体的定轴转动定律：

M?J? （1）

只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J1，未加砝码时，在摩擦阻力矩Mμ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：

?M??J1?1 （2）

将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R，此时有：

m(g?R?2)R?M??J1?2 （3）

将（2）、（3）两式联立消去Mμ后，可得：

J1?mR(g?R?2)?2??1 （4）

同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J2，加砝码前后的角加速度分别为

β3与β4，则有：

mR(g?R?4)J2? （5） ?4??3

由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J3为：

J3?J2?J1 （6）

测得R、m及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。

2、β的测量

实验中采用ZKY-J1通用电脑计时器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，成都世纪中科仪器有限公司 地址：四川省成都市人民南路四段九号成都科分院 邮编：610041 电话：（028）85243932 85247006 传真：（028）85243932

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计数器计下遮档次数k和相应的时间t。若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次，计时，且初始角速度为ω0，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（km，tm）、（kn，tn），相应的角位移θm、θn分别为：

?m?km???0tm?

1212

?tm (7)

2

2

?n?kn???0tn??tn (8)

从（7）、（8）两式中消去ω0，可得：

??

2?(kntm?kmtn)ttm?ttn

2

n

2m

（9）

由（9）式即可计算角加速度β。 3、平行轴定理

理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J0最小。当转轴平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：

J?J0?md （10）

2

实验仪器介绍

1、 ZKY-ZS转动惯量实验仪

轮

码

图1 转动惯量实验仪 图2 载物台俯视图

转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺寸及质量，便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些孔离中心的距离分别为50, 75, 100mm，便于验证平行轴定理。铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。2只光电门1只作测量，1只作备用，可通过电脑计时器上的按钮方便的切换。

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2、 ZKY-J1通用电脑记时器

图3 通用电脑计时器面板图

通用电脑计时器操作面板如图3所示。测量时左边计数显示器显示最新记录的记数次数，右边计时显示器显示相应的时间。计时范围为0—999.999秒，计时误差＜0.0005秒。

开机时或按“复位”键后，进入设置状态。计时显示器显示系统默认值

。01表明1个光电脉冲记数1次，其值可在01

~99间修改；80表明共记录8001~80间修改。对于闪烁的数码显示位，直接用面板右边的数字键输入数字，即可修改此位。修改后

/+ ”键进入工作等待状态，计时显示器

，测量结束并暂存所有已记录的数据。

以外的任意键，都将进入数据查阅状态。其中按“待测/+ ”键显示记录的第1组数据，再次按“待测/+ ”键显示最后1组数据，若是在测量过程中终止测量进入查阅状态，尚未记录的时间都将为零；直接用数字键输入记数次数Km，则显示相应的时间tm 。查阅结束后或在任何状态下按“复位”

键，都将清除所有数据重新进入设置状态，可开始新的设置及测量。

实验内容及步骤

1、实验准备

在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。

通用电脑计时器上2路光电门的开关应1路接通，另1路断开作备用。当用于本实验时，建议设置1个光电脉冲记数1次（若非这样，（9）式中的系数要相应改变），1次测量记录大约8组数据（砝码下落距离有限）。

2、测量并计算实验台的转动惯量J1

（1）测量β1

接通电脑计时器电源开关（或按“复位”键），进入设置状态，不用改变默认值；

用手拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动；

按“待测/+ ”键后仪器开始测量光电脉冲次数（正比于角位移）及相应的时间；

显示8组测量数据后再次按“待测/+ ”键，仪器进入查阅状态，将查阅到的数据记入表1成都世纪中科仪器有限公司 地址：四川省成都市人民南路四段九号成都科分院 邮编：610041 电话：（028）85243932 85247006 传真：（028）85243932

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中；

采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组??,分别组成4组，用（9）式计算对应各组的β1值，然后求其平均值作为β1的测量值。 （2）测量β2

选择塔轮半径R及砝码质量，将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台稳住；

按“复位”键，进入设置状态后再按“待测/+ ”键，使计时器进入工作等待状态； 释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；

电脑计时器记录8组数据后停止测量。查阅、记录数据于表1中并计算β2的测量值。 由（4）式即可算出J1的值。

3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J2 ，计算试样的转动惯量J3 并与理论值比较 将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量J1同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β3与加砝码后的角加速度β4。由（5）式可计算J2的值，已知J1 、J2 ，由（6）式可计算试样的转动惯量J3 。

已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：

J?

12m2

mR （11）

2

圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为：

J?

?R

2外

?R内 （12）

2

?

计算试样的转动惯量理论值并与测量值J3 比较，计算测量值的相对误差：

E?

J3?JJ

?100% （13）

4、验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量。将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若一致即验证了平行轴定理。

数据记录表格与测量计算实例

表1 测量实验台的角加速度

外内圆环

圆柱圆柱成都世纪中科仪器有限公司 地址：四川省成都市人民南路四段九号成都科分院 邮编：610041 电话：（028）85243932 85247006 传真：（028）85243932

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-3

2

1、 将表1中数据代入（4）式可计算空实验台转动惯量 J1=6.88×10 kgm

2、 将表2中数据代入（5）式可计算实验台放上圆环后的转动惯量 J2=12.83×10-3 kgm2

由（6）式可计算圆环的转动惯量测量值 J3=5.95×10 kgm 由（12）式可计算圆环的转动惯量理论值 J =6.02×10-3 kgm2

-3

2

由（13）式可计算测量的相对误差 E = -1.2%

3、 将表3中数据代入（5）式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量 J2=10.36×10-3 kgm2 由（6）式可计算两圆柱的转动惯量测量值 J3=3.48×10-3 kgm2 由（11）、（10）式可计算两圆柱的转动惯量理论值 J =3.36×10-3 kgm2

由（13）式可计算测量的相对误差 E = 3.6%

说明

1、 试样的转动惯量是根据公式 J3=J2-J1 间接测量而得，由标准误差的传递公式有 ΔJ3 =

2 21/2

（ΔJ2+ΔJ1）。当试样的转动惯量远小于实验台的转动惯量时，误差的传递可能使测量的相对误差增大。

2、 理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。改变塔轮半径或砝码质量（五个塔轮，五个砝码）可得到25种组合，形成不同的力矩。可改变实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索测量的最佳条件。

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第二篇：8讲义(转动惯量)

动力法测量刚体转动惯量

【实验简介】

转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，例如设计电动机转子、钟表摆轮、精密电动圈等。对于工程设计中，转动惯量的大小，常常用实验的方法测量。对于不同形状的刚体，设计了不同的测量方法和测量仪器，常用的有振动法（三线摆、扭摆、复摆）和动力法法；本实验采用动力法测量刚体的转动惯量。

【实验目的】

1、学习用动力法测定刚体的转动惯量；

2、验证刚体的转动定理和平行轴定理。

【实验仪器】

转动惯量实验仪～电脑毫秒计（两种配套形式：JM-2～HMS-2或JM-3～JM-3）、圆环、2个圆柱体、砝码及细线，滑轮，天平，水平仪，米尺，游标卡尺。

【实验原理】

1、转动惯量的定义

刚体是在外力作用下，形状、大小皆不变的物体，通常将受外力作用形变甚微的物体视为刚体。刚体绕轴转动惯性的度量称为转动惯量，转动惯量是表示刚体转动惯性大小的物理量。转动惯量的计算公式为：

转动惯量取决于刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置。

下面给出了质量均匀的几种刚体绕指定转轴转动所表现出来的转动惯量的理论计算公式：

 

所以，我们说转动惯量时，一定要说明是相对那个转轴的转动惯量。

2、平行轴定理

一般的我们将质量为的刚体绕着过其质心的转轴的转动惯量用表示，若刚体转动轴线不过质心，并知道质心到转轴间的距离，由平行轴定理可知，此时刚体所表现的转动惯量为：。

3、运动学和动力学中的基本公式

①匀加速转动过程中角位移与时间的关系

其中：为角位移，为初始角速度，为角加速度，为时间。

②合外力矩和角加速度之间的关系

其中：为合外力矩，为刚体的转动惯量，为刚体转动的角加速度。

③转动惯量满足叠加原理：

其中：为总转动惯量，、为各部分的转动惯量。

4、刚体转动惯量的测量

实验中塔座在阻力矩的作用下有：；

在动力矩和阻力矩共同的作用下有：；

为引线的张力，为绕线塔轮半径，是阻力矩，主要来源于接触摩擦力矩。

另外，

联立上式有（单位：）

为悬线下挂砝码的总质量，,为绕线塔轮的半径。（忽略砝码下落过程中的加速度）得：，由此可知只要将公式中的测量出来，被测刚体的转动惯量就可计算出来。实验中是容易测量的，但角加速度如何测量呢？

5、刚体转动角加速度的测定

在所受合力矩不变的情况下，刚体绕定轴作匀加速转动，其角位移：

分别在不同的时刻、对应取两个角位移、，则有：

 ， 

根据上两式求解得：

转动惯量测定仪转台的边缘对称的装着2只挡光片。若设置仪器参数，使得一个脉冲记录一次时间数据，从第一次挡光开始计时，连续记录每次挡光对应的时间。则第次挡光，塔座转过的角度为：。可以导出：

  （在此约定、）

其中为挡光片第次触发光电门时间，为挡光片第次触发光电门时间。

【实验内容及要求】

1、安装、调试、熟悉实验仪器：

①确定线长和转动仪放置的位置：将挂砝码的拉线跨过定滑轮，砝码刚好落地或略悬空，线的另一端刚到塔轮边缘（离定滑轮最近处的边缘）；

②用手指将线的节点压入塔轮的小缺口中，绕线；绕线后，线所在的面与定滑轮的所在的平面正好平行。表明转动仪放置位置适中。

③借助于水准仪，通过调节转动惯量仪的底脚螺丝调节仪器的载物台水平。

④熟悉和练习电脑计数器的设置和数据的提取。参数设置为0107。

2、测定塔座转动惯量，即本底转动惯量

①用手拨动塔座，使塔座以一定的初始角速度作匀减速转动。测量转动过程中挡光片触发光电门的时间序列。

②利用减速过程中的时间序列计算塔座的角加速度。

③再选取某一绕线塔轮（如：r=2cm），测量在动力矩和阻力矩共同的作用下塔座转动过程中挡光片触发光电门的时间序列。

④利用加速过程中的时间序列计算塔座的角加速度。

⑤测量砝码质量。

⑥计算塔座本底转动惯量

3、测定圆环的转动惯量

①测定圆环的质量和内外直径、，以计算圆环相对中心转轴转动惯量的理论值。

②将圆环平稳的放在塔座上，按照实验内容2中的方法测量塔座和圆环的总转动惯量。并利用转动惯量的叠加原理，计算出圆环对中心轴的转动惯量的实验值。

③比较圆环相对于中心转轴的实验值和理论值，计算其相对误差。

4、测定圆柱体的转动惯量并验证平行轴定理

①测定柱体的质量（）和圆柱体直径。以计算圆柱体相对自身轴线转动惯量的理论值。

②将两个圆柱体对称的放置在转台上，测出两圆柱体之间的距离，得出柱体离中心转轴的距离。从而根据平行轴定理计算两个圆柱体转动惯量的理论值。

③按照实验内容2中的方法测出塔座和2个柱体的转动惯量，根据转动惯量的叠加原理计算圆柱体转动惯量的实验值。

④比较圆柱体转动惯量的理论值和实验值，计算相对误差。以验证平行轴定理。

【数据记录与处理】

1、塔座转动惯量的测量（，    m）重物质量    kg

2、测量圆环转动惯量——验证转动定理

=    ，=     kg，        ,       

                    

          

3、测量圆柱体转动惯量——验证平行轴定理

=    m，两圆柱体总质量：     kg，     m，      m

                    

           

【实验注意事项】

1、在移动转动惯量实验仪时，请不要碰位于实验仪两侧的信号线。

2、实验前必须将转动惯量实验仪调节水平，并注意保持水平拉线与塔轮轴垂直。水平拉线和铅直铅直拉线均于定滑轮轴线垂直。

3、释放砝码时，砝码应该保持静止，不可摇摆、晃动；手不可以给圆盘任何的切向力。

4、用手拨动塔座时，不能让挡光片经过光电门。这样才能保证整个计时过程都处于匀加速。

【思考题】

1、什么是刚体？什么是刚体的转动惯量？影响刚体转动惯量的基本因素有哪些？测量转动惯量常用的实验方法有哪些？

2、实验中，测定一个圆柱体相对于仪器转轴的转动惯量时，为什么要在承物台上对称的放两个质量近似相等的圆柱体，而不是只放置一个圆柱体，试分析原因？

3、试验中，弦线的长度和测定仪的放置位置必须调节适中，应如何调节？如果弦线长度或测定仪的位置不当，对测量结果有何影响？试分析之。

4、如何测定任意形状的物体绕特定轴转动的转动惯量？

5、实验中你主要做了哪几部分内容？每部分内容中转动惯量I是如何计算的？

实验仪器使用说明