二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y?ax2的性质

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

（a?0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax2.

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中2

b4ac?b2

h??，k?. 2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c. 2222

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2?2（?） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，??2a4a2a4a??2

对称轴是直线x??b. 2a

2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线

bb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aa

b在y轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. ax??

（3）c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b?0. a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点

(h,ah?bh?c).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元

二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切；

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐

标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

2 （5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的222

交点，由方程组y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无?l与G有两个交点;

解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为2

A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2?

x1?x22?x1?x222?4ac??b?4c?4x1x2???????aaa?a?2

第二篇：二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

二 次 函 数

主讲：陈老师

一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时

   （1）是一次函数   （2）是正比例函数    （3）是二次函数

二、二次函数是常数，的性质

（1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

③｜｜越大，开口越小。

（2）顶点是，对称轴是直线

（3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

② 当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。

（4） 轴与抛物线得交点为(0,)

例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )

A．  a>0      B． b＜0    C． c＜0     D． a＋ b＋ c>0

练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（  A   ）．

A．－1＜x＜3      B．x＜－1       C． x＞3        D．x＜－1或x＞3

2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b²=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ C   ）

A. 1    B. 2     C. 3     D. 4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线.

(3)利用交点式求对称轴及顶点：，对称轴为

例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：

   （1）  （2） （3）

例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x²-2x-3的顶点坐标是          .（1，－4）

四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况

方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”

例1、抛物线经过怎样平移得到

答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；

例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A）

   A．    B．  C．   D．

例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x²－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.（y=(x-5)²+2 或 y=x²-10x+27）

练习：

1、抛物线经过怎样平移得到

2、抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位得到，求b和c。

3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是(  B  )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

五、用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

  (4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：

（1）已知抛物线过

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；

（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）

例2、将（）

练习：1、将

      2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则（）

七、与一元二次方程的关系

例1、（2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？（ A ）

A．两根相异，且均为正根          B．两根相异，且只有一个正根 

C．两根相同，且为正根            D．两根相同，且为负根

例2、.抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为   4 ，三角形ABC的面积是 6 。 

练习：1.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．（，两个交点）

2.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ B ）

A.        B.         C.且       D.且

      3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．

        (1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

1、求是常数，最大值或最小值

①，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；

②，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。

2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底

3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他

4、拱桥问题

例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（ D ）

A． 最大值    B． 最小值     C． 最大值    D． 最小值

例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余下的可耕地面积为y（）。

（1）       请你写出y与x之间的解析式；

（2）       根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？

（3）       若余下的耕地面积为4408，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.

（1）       写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）       如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:

（1）       当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）       设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；

（3）       商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？

      2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

     

　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．

3、. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。    （答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：