有理数知识点小结
1、正数和负数的有关概念
（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。
（2）正数和负数表示相反意义的量。
2、有理数的概念及分类
有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：
??正整数???整数?0??负整数有理数???正分数?分数????负分数???正整数?正数??正分数??有理数?0?负整数?负数????负分数?
0属于有理数。
3、有关数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。
（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数（如π）。
（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。（有理数比较大小中经常出现）
数轴经常和绝对值一起出题，特别是判断绝对值里面的符号。对此，我们一般用赋值法，就是数轴上的字母，根据实际情况给他赋一个具体的数，这样学生在解题时会感觉容易很多。
4、绝对值与相反数和倒数
（1）绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：a。 一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
?a(a?0)?a??0(a?0)
??a(a?0)?
（2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
相反数的特征： 若a、b互为相反数，则a+b=0；
相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
（3）倒数： 互为倒数的两个数的乘积为1. 若a、b互为倒数，则a×b=1； 正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数。
（4）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。任何数的绝对值是非负数。 绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题，在这里要特别有整体意思。（互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1.要有整体代换的思想。）
本身之迷
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0
⑦相反数是它本身的数是0
数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0
④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数
5、有理数加法
（1）符号相同的两数相加：和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数
绝对值之和．
（2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的
符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的
绝对值；当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，
和为零．
（3）一个数同零相加，仍得这个数．
加法的交换律：a+b=b+a
加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
6、有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
7、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。
例如：14+12+（-25）+（-17）可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正
14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和.”
8、有理数的乘法
两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。 第一步：确定积的符号 第二步：绝对值相乘
a?交换律： b?b?a
(a ?b)?c?a?(b?c)结合律：
a?分配律： (b?c)?a?b?a?c
9、有理数的除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
10、积的符号的确定
几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。
11、有理数的乘方
（1）求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.
a?a?????a
一般地，
nn个a记作a，读作：a的n次方，表示n个a相乘；其中，a是底n数，n是指数，a称为幂。
na（2）表示： n个a相乘。a叫做底数，n叫做指数，计算的结果叫做：幂
当a为正数时，n为任何数，计算结果都是正数
当a为负数，n是奇数时，结果是负数；n是偶数是，结果是正数
当底数a是负数或分数时，必须把底数加上括号
注意：(?3)2的底数是；?3的底数是，指数是是 。
2233 计算：?2?(?2)?2?(?2)?2 3
（3）正数的任何次幂都是正数.
负数的奇数次幂是负数,
负数的偶数次幂是正数.
（4）一个数的平方为它本身,这个数是0和1；
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。
12、科学计数法
一般情况下，把大于10的数表示成a?10（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，
(1≤a＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。
13、有理数混合运算
有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的。
14、比较两个有理数大小的方法有：
（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
（3） 做差法：a-b>0 ?a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ?a>b.
（5）利用绝对值比较大小
两个正数比较：绝对值大的那个数大；
两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。
n
典例分析：
1、用科学记数法表示56420000万.
解：56420000万=564200000000=5.642?1011
典例分析： 已知x?2?y?2?0，求x,y的值。
解：∵x?2?0,y?2?0 又x?2?y?2?0 ∴x?2?0,y?2?0，即x?2?0,y?2?0∴x?2,y??2
（一） 有理数的加减：
1.计算： 3-7.4+（-22
5）-（-16
5）
（二） 有理数的乘除：
1. 计算：（1.25-2
3）×（-36）
（三）有理数的乘方：
计算：（1）(?2)2 （2）32 （3）(?2
3)2
?2 2 ?22
23
3
.计算：（1）???1?2
2?1?
?4?????4?????8??
4）(?1)2008?12007 （
第二篇：第二章 有理数知识点
第二章 有理数
一、正数与负数：
1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言。
二、有理数及其分类：
有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除
和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
四、相反数：
只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。
从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。
五、绝对值：
绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即
，
。
六、非负数
若数a≥0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
七、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。
只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。
八、有理数大小的比较：
1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。
九、基本运算
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。
十、乘方
乘方的定义：求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在an中a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
根据乘方的意义转化为乘法，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。
科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤ a ＜10，n为正整数。）
十一、有理数运算律
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④乘法的交换律 ab=ba；
⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑥分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑦0a＝0 任何数乘0还等于0。
十二、有理数的运算顺序
先乘方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算。