南昌大学20##学年第二学期高等数学期末考试试卷
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 设
则
_____.
2. 函数
的
定义域是____________________________________.
3. 设函数
, 则
_______.
4. 交换累次积分的次序
________.
5. 微分方程
的通解为__________.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 过点
且与平面
平行的平面方程是( B ).
(A) 
. (B) 
.
(C) 
(D) 
.
2．设
, 而
, 则
( A ).
(A) 
. (B) 
.
(C) 
. (D) 
.
3． 设可微函数
在点
取得极小值,
则下列结论正确的是( B ).
(A) 
在
处的导数大于零.
(B)在处的导数等于零.
(C)在处的导数小于零. .
(D) 在处的导数不存在.
4．设L为取正向的圆周
, 则曲线积分
之值为( A ).
(A) 
.
(B) 
. (C) 
. (D) 
.
5．函数
关于
的幂级数展开式为 ( D ).
(A) 
(B) 
.
(C) 
.
(D) 
.
三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)
1．求与两平面
和
的交线平行
且过点
的直线方程.
2．设
而
,且
具有二阶连续偏导数,求
.
四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):
1、计算曲线积分
, 其中
L是由点
沿上半圆周
到点
的弧段.
2、利用高斯公式计算曲面积分
,
其中
为上半球面
的上侧。
五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):
1、判定正项级数 
的敛散性
2、设幂级数 
.
(1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.
六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:
1、求微分方程 
的通解.
2、(应用题) 计算由平面
和旋转抛物面 
所围成的立体的体积.
七、(6分)已知连续可微函数 
满足 
, 且能使曲线积分
与路径无关, 求.
南昌大学20##学年第二学期高等数学期末考试参考答案
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 设
则 
.
2. 函数 的
定义域是
.
3. 设函数, 则 
.
4. 交换累次积分的次序：
.
5. 微分方程 的通解为：
..
三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)
1．求与两平面 和的交线平行
且过点的直线方程.
解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的
方向向量
与两平面的法向量
、
都垂直.
所以取
.
故所求直线方程为
.
2．设而,且具有二阶连续偏导数,求：.
解: 
四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):
1、计算曲线积分, 其中
L是由点沿上半圆周
到点的弧段.
解:
连接OA构成闭路OABO, 其围成区域为D.
沿
.
2、利用高斯公式计算曲面积分,
其中为上半球面 的上侧。
解: 记
为平面的下侧.
由高斯公式有
原式
五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):
1、判定正项级数 的敛散性
解: 
所以原级数收敛.
2、设幂级数 .
(1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.
解: (1).
当
时, 
发散;
当
时, 
收敛.
故收敛区间为
(2).设
.
即 
六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:
1、求微分方程 的通解.
解: 
不是特征根, 所以设 
代入原方程得: 
故原方程的通解为: 
2、(应用题) 计算由平面 和旋转抛物面 所围成的立体的体积.
解法一: 
解法二: 
七、(6分)已知连续可微函数 满足 ,
且能使曲线积分
与路径无关, 求.
解: 
因为曲线积分与路径无关, 所以 
.
于是得：
即： 
由, 得 
第二篇：南昌大学20xx级高等数学(下)试题及答案
09～2010学年第二学期期末考试试卷南昌大学20200
一、填空题(每空3分，共15分)
????1.设a=(?2,3,?5)，b=(λ,1,?1)若a⊥b，则λ=_____.
2.空间曲线x=cost，y=sint，z=t在点??,π?
??2,24??处的切线方程是_________________.
?
ππ3.计算积分I=∫sinx
02dy∫y2x=______________..
4.设级数∑∞a∞
=1n收敛，
n∑b=1n发散，
n
则级数∑∞(an+bn)必是________________..
n=1
5.函数y=1
4+x2展开成x的幂级数为__________.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.直线x?2
3=y+2
1=z?3
?4与平面x+y+z=3
的关系是（）
（A）直线在平面上
（B）直线与平面平行但直线不在平面上
（C）直线与平面垂直
（D）直线与平面相交但不垂直
2．函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分，则（（A）f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数
（B）f(x,y)在点(x0,y0)处不一定连续
1）
（C）xlim→xf(x,y)存在0y→y0
（D）f(x,y)在点(x0,y0)的任一邻域内有界3．设x=lny
z，则dzxy=）=10=（
（A）e（B）?dx?dy
（C）?dx+dy（D）?e?xydx+e?xdy
4．若级数∑∞a(x?3)n
n在x=1处收敛，
n=1
则此级数在x=4处（）
（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛
5．函数z=x3?y3+3x2+3y2?9x的极大值点为（（A）(1,2)（B）(?3,0)
（C）(1,0)（D）(?3,2)
三、三、((本题满分8分)
求通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)
且垂直于平面x+y+z=1的平面方程．
四、四、((本题满分8分)
设z=xf(xy,ey)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，试求?z?2z
?x和?x?y．
五、五、((本题满分8分)
2）
计算二重积分∫∫，其中D是由圆周
D
x2+y2=Ry(R>0)所围成的闭区域．
(本题满分8分)六、六、(
计算对弧长的曲线积分∫L(2x?3y+1)ds，
其中L是直线y=x?2从点(?1,?3)到(1,?1)的直线段．七、(本题满分9分)
333xdydz+ydzdx+zdxdy，计算曲面积分?∫∫Σ
其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的外侧．
八、(本题满分9分)
求微分方程y′′?4y′+4y=e2x的通解．
九、(本题满分9分)
x4n+1
求幂级数∑的收敛域及和函数．
n=14n+1∞
十、(本题满分11分)
ax+yx?y+bdx?2dy．已知函数u=u(x,y)有du=222x+yx+y
（1）求a、b的值；
ax+yx?y+b（2）计算I=?∫Lx2+y2dx?x2+y2dy，
其中L为x2+y2=1取正向．
南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷及答案200
一、填空题(每空3分，共15分)
????1.设a=(?2,3,?5)，b=(λ,1,?1)若a⊥b，则λ=4.
3
2.空间曲线x=cost，y=sint，z=t在点?π???2,2,4??处的切线方程是
??
πx?y?z?3.计算积分I=∫
∞ππ2dy20y∫sinx=1.x∞4.设级数∑an收敛，∑bn发散，
n=1n=1
则级数∑(an+bn)必是发散.
n=1∞
15.函数y=展开成x的幂级数为24+x
三、单项选择题(每小题3分,共15分)x2n∑(?1)n+1.4n=0∞n
x?2y+2z?3==1.直线与平面x+y+z=33?41
的关系是（A）
（A）直线在平面上
（B）直线与平面平行但直线不在平面上
（C）直线与平面垂直
（D）直线与平面相交但不垂直
2．函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分，则（C）
（A）f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数
4
（B）f(x,y)在点(x0,y0)处不一定连续
（C）limf(x,y)存在x→x0y→y0
（D）f(x,y)在点(x0,y0)的任一邻域内有界y3．设x=ln，则dzx=0=（y=1z
（A）e
（C）?dx+dy
∞C）（B）?dx?dy（D）?e?xydx+e?xdyn4．若级数∑an(x?3)在x=1处收敛，
n=1
则此级数在x=4处（
（A）敛散性不确定
（C）条件收敛D）（B）发散（D）绝对收敛
5．函数z=x3?y3+3x2+3y2?9x的极大值点为（D）
（A）(1,2)
（C）(1,0)
(本题满分8分)三、三、(
求通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)
且垂直于平面x+y+z=1的平面方程．
?解:设已知平面法向量为n1，?????????则n1=(1,1,1)，M1M2=(1,0,2)??????????取n=n1×M1M2=(2,?1,?1)
所求平面方程为
2(x?1)?(y?1)?(z?1)=0
5（B）(?3,0)（D）(?3,2)
即2x?y?z=0
四、四、((本题满分8分)
设z=xf(xy,ey)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，试求?z?2z
?x和?x?y．
解:令u=xyv=ey
?z
?x=f+xyfu
?2z
?x2=xfyyu+efv+xfu+xy(xfuu+efuv)
五、五、((本题满分8分)
计算二重积分∫∫，其中D是由圆周
D
x2+y2=Ry(R>0)所围成的闭区域．
π
解:∫∫=2∫2∫Rsinθdρ
D0dθ0=?2π
3∫(33R3)dθ=134302Rcosθ?3R?9R
六、六、((本题满分8分)
计算对弧长的曲线积分∫L(2x?3y+1)ds，
其中L是直线y=x?2从点(?1,?3)到(1,?1)的直线段．解:∫
1
L(2x?3y+1)ds=∫?1??2x?3(x?2)+1=1
?1(?x+7)dx=6
七、(本题满分9分)
计算曲面积分?∫∫x3dydz+y3dzdx+z3dxdy，
Σ
其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的外侧．解:?∫∫x3dydz+y3dzdx+z3dxdy=3(x2+y2+z2)dv
Σ∫∫∫?=3∫2ππ
0dθ∫0sin?d?∫R40rdr=12πR55
八、(本题满分9分)
求微分方程y′′?4y′+4y=e2x的通解．解:先求y′′?4y′+4y=0的通解
特征方程为r2?4r+4=0，特征根r1=r2=2，所以对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e2x又设非齐次方程的特解为y?=Ax2e2x，则A=1
2，所以特解为y?=1
2x2e2x
所以y′′?4y′+4y=e2x的通解为：y=Y+y?=(C1+C2x)e2x+122x
2xe
九、(本题满分9分)
求幂级数∑∞x4n+1
1的收敛域及和函数．
n=14n+
x4n+5
解:（1）limun+1(x)4n+5
n→∞unx=nlim→∞x4n+1=x4
4n+1
7
当x4<1时，即?1<x<1时原级数绝对收敛当∞
x=1时，级数化为∑1
n+1，发散
n=14
当x=?1时，级数化为∑∞?1，发散
n=14n+1
所以收敛域为(?1,1)
∑∞x4n+1
（2）设4n+1的和函数为S(x)，则
n=1
(∞x4n+1∞?x4n+14S′(x)=?′∞4nx
n∑n+1)′=
=14n∑=1??4n+1?=?n∑x==11?x4又S(0)=0，所以
S(x)=∫xx4
1?x4dx=?x+11+x104ln1?x+2arctanx
x∈(?1,1)
十、(本题满分11分)
已知函数u=u(x,y)有du=ax+y
x2+y2dx?x?y+bx2+y2dy．
（1）求a、b的值；
（2）计算I=?∫ax+yx?y+b
Lx2+y2dx?x2+y2dy，
其中L为x2+y2=1取正向．
?Px2?2axy?y2
解:（1）?y=(x2+y2)2，?Qx2?2xy+2bx?y2
?x=(x2+y2)2
8
?P?Q=要使，所以a=1，b=0?y?x
x+yx?y2π（2）I=?∫Lx2+y2dx?x2+y2dy=?∫0dθ=?2π
9