“三线摆法测转动惯量”实验的误差分析及改进

蒋玮

(楚雄师范学院物理与电子科学系20##级物理一班）

以《三线摆测转动惯量》实验为例，分析了产生实验误差的一些原因。针对性地设计了一套“相对测量法”。对直接测量的项目进行了一些简化，对实验方法及数据处理进行了一些改进，收到了较好的效果。

1 教材中传统的测量方法及分析

   转动惯量，是物体转动惯性的量度。物体对某轴的转动惯量越大，则绕该轴转动时，角速度就越难改变。三线摆法是通过扭转运动，测量转动惯量的一种方法。

实验装置如图：

设下圆盘P的质量为m0, 当它绕O1O2ˊ作小角度θ扭转时圆盘的位置升高h，

它的势能增加EP        EP=m0gh    式中g为重力加速度此时它的动能                                                                                                                      

                                                图1                   图2

式中为圆盘对轴的转动惯量略去摩擦力，按机械守恒定律，圆盘的势能与动能之和为一常量。即,经过严密的数学推导，得出 三线摆的运动方程为一简谐振动，振动周期为

由此可知，下圆盘对O1O2ˊ轴的转动惯量……①式中，d0为两圆盘间距离。T0为扭摆周期。r为上圆盘悬线到圆心的距离。R为下圆盘悬线到圆心的距离。

同理，若在下圆盘上放一质量为m，转动惯量为I（对O1O2轴）的物体时，测出周期T整个扭转系统的转动惯量为 ……②那么，被测物体的转动惯量为 ……③

从上式可以看出，欲通过此实验求I值，就必须直接测量出R、r、d0、m、m0、T、T0等七个量，然后代入③式间接得出待测物体的转动惯量。

下面来分析一下这种传统的实验方法的效果，需要直接测量的物理量多达7个。其中，r为上圆盘悬线距圆心的距离，而上圆盘圆心位置很难确定，因此测量精确度不高。上下两圆盘的间距d0由于下圆盘不固定，也是不易测准的量。T、T0可以用秒表以多次测量（测n个周期的总时间t，T=t/n）求平均值得出。可是，人为启动，制动秒表及反应时间等各方面因素均会影响到测量结果。值得注意的是，重力加速度g的大小因当地的纬度，高度等因素的不同而不同。通常我们取g=9.765m/s2，引入的系统误差是比较大的。由此可见，按照③式组织测量，步骤繁多,容易出错，姑且不说，单是各个直接测量量产生的各种误差都会传递到Ⅰ值上去，影响到最后测量结果的精确度。

2 “相对测量法”原理简介及分析

    实验装置同上，沿用教材所述原理，在此基础上，将①、②式进行一些数学处理

将①、②式相除

对④式进行分析：与③式比较，显而易见，需要直接测量的物理量明显减少，特别是一些难以测准的量现在都去除了。无疑，引入的测量误差也随之减少。而且，采用了比值的数学形式，即，同类物理量的相对测量法。且I0可以根据“质量分布均匀的圆盘绕轴线转动的转动惯量”的理论推导式  求得。用天平测下圆盘质量m0，游标卡尺测下圆盘直径D0（半径），这两种测量仪器精确度都很高，故m0、R0ˊ的测量误差非常小，即I0是可以精确测量的，这样，最终所得的I的测量精确度自然提高了。

3 实验验证

   经过理论上的定性分析可知：“传统的实验测量法”与“相对测量法”相比，后者所得结果更精确。下面我们用实验的方法进一步作定量验证。

选择小圆柱体作为待测物，测其转动惯量I

3.1 传统的实验测量方法

用游标卡尺分别测下圆盘悬线到圆心的距离R和上圆盘悬线到圆心的距离 r

R=10.55cm         r=4.90cm

用卷尺测上下两圆盘间距离do  do=39.93cm

天平测待测物体质量m，下圆盘质量m0由仪器标示。

m0=360g        m=210g

空载作小角度扭转，用秒表测10个周期的时间，测3次，求平均值。

S    则S

载有小圆柱体时，作小角度扭转，用秒表测10个周期的时间，测3次，求平均值。

S     则S

重力加速度g=9.765m/s2

将有关数据代入③式，得：

3.2 相对测量法

用游标卡尺测得下圆盘直径D.半径R′=D/2=4.75cm将有关数据代入④式，得

 

 

  3.3 对以上测量值求相对误差

为待测物（圆柱体）半径，由游标卡尺测得 

理论值:

⑴传统实验测量法 相对误差

 

⑵相对测量法 相对误差

 

   

综上所述，“相对测量法”比“传统的实验法”更为精确一些。但对实验本身来说，误差还是不小的。究其原因，有多方面的因素，我认为其中重要的一个因素是：理论验证上，对认定采用了近似计算：如图2所示：

 则而事实上，即，由此引入的误差不容忽视，即文献推论出的三线摆的扭转运动并不是严格理论意义上的简谐振动。因此，由它所推导出周期T的函数式本身就带有一定的误差因素。另外待测物是圆柱体，而圆柱体是有一定高度的，它的介入会影响到的有效高度。因此，本次实验仍存在1.25%的相对误差是可以理解的。

4 结束语

    通过本次实验实例，我深刻体会到物理专业人员的实验素养对于实验的重要性。一个好的物理专业人员，必须具备科学的实验态度、严谨的实验作风、良好的实验能力（包括动手能力和动脑能力）。在实验中，我们必须秉承科学、脚踏实地的态度，努力使自己成为一个主动的探索者，而不是一个仅仅局限于课本指令的被动的执行者，要在实验探索中，勤动手勤动脑，从中积累经验，锻炼技巧和机智，以提高自身的实验素养。

参考文献

[1]王昆林，颜茜.普通物理实验（一、力学、热学部分），2012

[2]龚镇雄.普通物理实验中的数据处理[M].西安，西北电讯工程学院出版社，1985

[3]李化平.物理测量的误差评定[M].北京,高等教育出版社，1993

[4]孟尔熹，曹尔第.实验误差与数据处理[M].上海，上海科学技术出版社，1988

第二篇：三线摆测转动惯量误差的分析

三线摆测转动惯量误差的分析

教学重点：

1.       培养学生在独立完成本实验任务的过程中，从查阅资料、开放预习、操作，到完成数据处理、独立撰写课程论文的多种能力。

2.       掌握三线摆、秒表等仪器的基本原理和调节、使用方法；学会用三线摆测不同刚体转动惯量的方法。

3.       在处理数据的过程中，应用实验误差理论计算不确定度和百分误差；分析误差原因，对提高测量结果的精度提出、实施改进措施。

教学难点：

1.       转动惯量不确定度的分析；

2.       改进测量方法的实施过程。

实验要求：

1.       测准各刚体、三线摆装置的几何参量；

2.       记录各待测刚体的质量，测准它们的扭转摆动周期；

3.       计算转动惯量及其不确定度；对测量结果加以分析和讨论；提出改进方案并付诸实施。

4.       答辩。

基本实验内容：

1. 调解下圆盘水平，用钢直尺测出上、下圆盘间距；

2.扭动上圆盘，待下圆盘的纯扭转摆动稳定后，用秒表（或电脑通用计数器）测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次；

3.       分别将独立的刚体置于下圆盘上（中心重合），测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次；

4.       将两个相同的刚体对称置于下圆盘上，使两刚体的边缘同切于下圆盘的中心，测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次；

5.       处理数据

①下圆盘的转动惯量J1

推导计算和不确定度，得出结果；

②不同刚体的转动惯量

将实验结果与各自理论值相比较，求出百分误差。

数据记录与处理

（一）秒表测空载圆盘等数据

H=57.59cm                                单位 [秒]

J0=mgDdT0/(16H)=0.0087272(kg.m2)

U0/J0=14610-4

U0=14610-4J0

U0=14610-40.00872720.0001(kg.m2)

          J0与不确定度对齐,应取到小数点后四位,故结果表达式为J

J=0.00870.0001(kg.m2)

(二)           电脑通用计数器测空载圆盘

与秒表测空载圆盘求解类似,只数值略有不同而已

J1=mgDdT1/(16H)

=1.98049.800640.20000.119641.37222/(163.141620.6325)

=0.0087522(kg.m2)

周期的A类不确定度: S(t1)=0.001(s)    S(T1)=0.001/30=0.00003(s)

电脑通用计数器误差极限为:  ins=0.0001(s)

仍取置信概率为0.95,  则

UT1=

转动惯量的相对不确定度为:

U1/J1=

  第一项为微小量,可忽略

  U1/J1=5.01310-40.00875220.000004(kg.m2)

  表达式J为:

  J=0.0087550.000004(kg.m2)

(三)           通用计数器测下盘与圆柱

首先将各数据带入公式计算J2

J2=mgDdT2/(162H)

 =1.98049.800640.20000.119641.17872/(163.141620.6325)-0.0087552

 =0.0094325-0.0087552=0.0006773(kg.m2)

 通用计数器误差极限为:ins=0.0001(s)

 周期T的A类不确定度:S(t2)=0.002(s)

 S(T2)=0.002/30=0.00007(s)

 U(T2)==0.0002(s)

 相对不确定度为:

 U2/J2=根号内前两项为微小量,可舍去.

  U2/J2=7.310-4

U2=7.310-40.0006773=0.0000005(kg.m2)

分析与讨论

理论值的计算

(一) 下圆盘的转动惯量

将所得数据带入理论值计算公式中

J=1/2m0(1/2D0)2=(1/2)1.9804(0.20##/2)2=0.0099(kg.m2)

(二) 圆柱的转动惯量

J=(1/2)m(D1/2)2=(1/2)0.90534(0.08006/2)2

J=0.00073(kg.m2)

(三) 百分误差的计算

1.秒表测下圆盘:100%/0.009902=11.86%

2.通用计数器测下圆盘的百分误差:

100%/0.009902=11.58%

3.通用计数器测圆柱的百分误差:

100%/0.000725=6.62%

(四) 误差来源分析

1.       圆盘没有完全水平

2.  上下圆盘中心点连线不在一条直线上

3.  秒表测量时,起点和终点均目测,不够精确.

4.        圆盘在扭动运动中同时有摆动.

5.        下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形,将导致上下圆盘中心点连线不在一条直线上.

6.        由于钢丝太细,不能遮光,在钢丝上贴一片小纸条,但同时也会带来空气阻力.

7.        尤其应注意的是,如果贴上的纸条过大,将导致所测得周期为原打算测周期数的2倍.

结论

由秒表所测结果和电脑通用计数器所测结果可以看出,其结果位数相差两位,所以在实验要求并不十分精确的情况下,完全可以用秒表替代电脑通用计数器

注意

1. 实验中若遮光纸条过大或过小,将使周期的测量出现问题,导致百分误差较大.

2. 转动上圆盘幅度过大或过小时,必须待圆盘转动幅度稳定之后才能重新测量, （可在下圆盘标上刻度,以显示每次转动的圆盘幅度）