用三线摆测量刚体的转动惯量

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。

    一. 实验目的

1. 学会正确测量长度、质量和时间。

    2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。

    二. 实验仪器

    三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。

    三. 实验原理

图3-2-1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO^‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。

设下圆盘质量为，当它绕OO^＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

　　　（为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

　　　　　　　

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO^‘轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

　　 （3-2-1）

    设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R₀，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C₁，如图3-2-2所示，则：

∵　　　　　　　

∴　　　　　　　

在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC₁»2H，其中

　　　　　　　　　　　H=　　　 （H为上下两盘之间的垂直距离）

则　　　　　　　　　                　　　（3-2-2）

由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中，是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

                           （3-2-3）

将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得

               　　　　　　　 　　       （3-2-4）

实验时，测出、及，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有

               　　　　　　　　　（3-2-5）

从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量为

                    　　　　　　　（3-2-6）

在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为。而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。

四. 实验内容

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T₀。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。

4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。

    5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

五. 实验数据处理

 1. 实验数据表格

下盘质量           g，     圆环质量           g

    2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：

下盘:               ,              

　　　　＝＝(        ±     )

圆环:　 ＝            ,   ＝          

　　  　＝＝        ±     （g.C）

    六.问题讨论

1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R₀，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?

2.  2.     当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?

第二篇：三线摆测刚体的转动惯量

三线摆测刚体的转动惯量

实验目的 实验原理 实验仪器 实验要点 数据处理

实验目的

1. 掌握用三线扭摆法测定物体的转动惯量； 2. 检验转动惯量的平行轴定理。

实验原理

三线扭摆亦称三线悬盘，其构造如图(1)所示，若B盘绕垂直于

盘共有的中心轴线OO作扭摆转动，当B随即升高h（见图(2)） ，若取平衡位置的势能为零，则B盘升高h动能为零，而势能为 EP=m0gh

（1）'

m0是B盘的质量，g是重力加速度。B最大，即

12

（2） EI=I0ω0

2

式中I0为B盘对中心轴线OO'的转动惯量，ω0是B角速度。若摩擦力可略去不计，则 EP=EI 即 mogh=

(3) (4)

12

I0ω0

2

又若B盘角位移很小，理论上可以证明B盘的运动则是简谐振动，故B盘的角位移?与时间t的关系可表达为

?=?0sin

为

ω=

2π

t (5) T

式中?0是B盘的最大角位移，T为振动周期，由 (5) 式，角速度ω

d?2π?02π

cos=t (6)

dtTT

图2 h计算用图

所以 ω0=2π?0 (7) T

将（7）代入（4）得

mogh=2π?021I0() 2T（8）

设r和R分别表示系绳点到A盘中心和B盘中心的距离，由图2和图3的几何关系可知：

=h=00=a1c1?a1c1a1c1?a1c12Rr(1?cos?) ==a1c1+a1c1a1c1+a1c1a1c1+a1c1

22222Rr?2sin2?≈H，即 ，故上式中的a1c1≈a1c1因悬线 l 很长，B盘的偏转?又很小（sin?≈?）H =2?(R?r)2 （9） Rr?2

（10） 则 h=2H

将（10）代（8）得 c1′rb1?

R O′

m0gRr2图 3 (11) T4π2H

这就是测定B盘绕中心轴线OOˊ转动的转动惯量公式。 若在B盘上放质量为M的其它物体，，只要该物体的质心与中心轴线OOˊ重合，则B盘与M的总转动I0=惯量为：

I1=(m0+M)gRr2T1 （12）

24πH

(13) 则该物体的转动惯量为 ： I=I1?I0

实验仪器

三线摆，水准器，秒表，游标卡尺，钢直尺，待测圆环等。

操作要点

1． 用水准泡调A，B 盘水平后，缓慢启动A盘（小于5），B盘随即扭转摆动，用秒表计记录摆动50次所

需时间t ，共记录三次，取平均值求出周期T。

Ο

2． 把待测圆环置于B盘上，使其质心与OOˊ轴线重合，缓慢启动A盘（小于5），B盘随即扭转摆动，用秒

表计记录摆动50次所需时间t1 ，共记录三次，取平均值求出周期T1。

Ο

3． 测定记录仪器常数：绳长l、A盘两悬点距离a、B盘两悬点距离b、圆环内直径R1、圆环外直径R2及

B盘质量m0、圆环质量M。

数据处理

1． 表一：B盘摆动50次的时间

表二：仪器及圆环各长度测量值及质量常数 测量次数

1 2 3 平均值

l（cm）

a（cm）

b

R1（cm）

R2（cm）

m0（g）

M（g）

3. 对数据处理如下：

由A盘两悬点距离a可求得A盘中心到系绳点的距离为 r=

a=_______ 3

3

b=_______ 3

由B盘两悬点距离b可求得B盘中心到系绳点的距离为 R=

可得: H=l2?(R?r)2=_______

（1）B盘转动惯量： I0=m0gRr

4π2HT2=________(Kg?m2) （2）加圆环后转动惯量： I1=(m0+M)gRr

4π2HT1=_________(Kg?m2) 2

（3）圆环转动惯量测量值： I测=I1?I0=__________(Kg?m2)

（4）圆环转动惯量理论值： I理=122M(R+R)=_________(Kg?m2) （5）不确定度：

相对不确定度：

（6）结果表达式：

误差分析及讨论

212ΔI=I理?I测=_________（Kg?m2) E=ΔII×100%=_________ 理I=(____±____)Kg?m2