第三节  放缩法（教案）

知识梳理

1.放缩法

    证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

知识导学

   1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B₁,B₁≤B₂≤…≤B_i≤A(或A≥A₁,A₁≥A₂≥…≥A_i≥B)，再利用传递性，达到证明的目的.

疑难突破

    1.放缩法的尺度把握等问题

(1)放缩法的理论依据主要有:

①不等式的传递性;

②等量加不等量为不等量;

③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;

④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;

⑤三角函数的有界性等.

(2)放缩法使用的主要方法:

    放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如:

舍去或加上一些项:(a+)²+>(a+)²;

将分子或分母放大(缩小):

(k∈R,k>1)等.

典题精讲

【例1】 设n是正整数,求证:≤+…+n<1.

思路分析：要求一个n项分式+…+的范围,它的和又求不出,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.

证明：由2n≥n+k>n(k=1,2, …,n),得≤.

当k=1时,≤;

当k=2时,≤;;

……

当k=n时,≤,

∴=≤+…+<=1.

思路整理：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明,由,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化.

    放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.

【变式训练】 若n∈N₊,n≥2,求证：-.

思路分析：利用进行放缩.

证明:∵

=(-)+(-)+…+()

=-.

又+…+<

=(1)+(-)+…+()=1-,

∴-<+…+<1-.

【例2】 (经曲回放)求证：.

思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b的几种情况进行讨论,如a=b=0时等.

证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立.

若a+b≠0且a,b不同时为0时,

.

∵|a+b|≤|a|+|b|,

∴上式≤1+.

∴原不等式成立.

  思路整理：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类.

【变式训练】 已知|x|<,|y|<,|z|<,求证:|x+2y-3z|<ε.

思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩.

证明:∵|x|<,|y|<,|z|<,

∴|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)|

≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z|

<+2×+3×=ε.

∴原不等式成立.

巩固提高

练习1. 求证：(n∈N^*且n≥2).

思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法.

证明：∵,

∴,分别令k=2,3,4…,n得：

.

将这些不等式相加得：,

∴.

练习2.  求证：1+<3.

思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的.

证明：由（k是大于2的自然数），

得

<3.

练习3. 已知a,b,c∈R₊,且a+b>c,求证:.

证明:构造函数f(x)=(x∈R₊),

任取x₁,x₂∈R₊,且x₁<x₂,则

f(x₁)-f(x₂)=<0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.

∵a+b>c,∴f(a+b)>f(c).

即.

又,

∴.

第二篇：放缩与相似形、比例线段教案

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放缩与相似形、比例线段课后作业

一、选择题

1.已知一矩形的长a=1.35m，宽b=60cm，则a∶b的值为（ ）

(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4

2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,cm,cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm

3.如果线段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（ ）

(A)8 (B)16 (C)24 (D)32

4.已知a?2，则a?b的值为（ ） b3b

(A)3 (B)4 (C)5 (D)3

2335

5.已知x∶y∶z=1∶2∶3，且2x+y-3z= -15，则x的值为（ ）

(A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3

6.在比例尺为1∶38000交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm，它的实际长度约为（ ）

(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km

7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）

(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米

8.已知点C是AB的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm，则AC的长为（ ） (A)(25 –2)cm (B)(6-25 )cm (C)(5 –1)cm (D)(3-5 )cm

ADAE9.若D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，且 ，那么下列各式中正确的是（ ） ABAC

ADDEABAEDBABADAE(A) = = =DBBCADACECACDBAC

10.若k?a?2b?b?2c?c?2a，且a+b+c≠0，则k的值为（ ） cab

1(A)-1 (B)1 (C)1 (D)- 22

二、填空题

1.若4x=5y,则x∶y＝ .

2.若x＝y＝z，则x?y?z∶y?z?x＝ .

345yx

3.已知x?y＝y，则x?y的值为 .

137y

4.已知a＝3，那么a?b＝ .

b

bd4b5.若a＝c＝e＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ . f

6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .

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7.若b＝3，那么a＝ .

a?b5b

8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .

9.已知△ABC和△A′B′C′，AB＝BC＝CA＝3，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.

A'B'B'C'C'A'2

则AB+BC+AC＝ .

10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm； a、c的比例中项x＝ cm.

11.已知3∶x＝8∶y，求x=

y

12. 已知a?3b＝7，求a= 2b2b

13. 若x＝y，求x?y=

23y

14. 如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么x?3y?z＝

x?3y?z

15.正方形对角线的长与它的边长的比是

16．图纸上画出的某个零件的长是32 mm，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .

17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张

地图的比例尺为_______.

ac2a?c18.已知＝＝ (b+d≠0)，则＝ bd5b?d

19、若3?x，则x等于

x4

20．已知x5?，则(x?y):(x?y)? y3

21、若x?y?z, 则 x?y?z?______

1089y?z

22．已知7(a?b)?3a，则a? b

23．如果x?y?z?2，那么2x?3y?z? abc2a?3b?c

24．在x∶6= (5 +x)∶2 中的x= ；2∶3 = ( 5-x)∶x中的x= .

25．若a∶3 =b∶4 =c∶5 , 且a+b-c=6, 则a= ，b= ，c= .

26．已知x∶y∶z= 3∶4∶5 , 且x+y+z=12, 那么x= ，y= ，z= .

a?c?e27．若a?c?e?3, 则?______. b?d?fbdf4

28、若x?2y?2, 则x?_____.

y3y

29．已知x∶4 =y∶5 = z∶6 , 则 ①x∶y∶z = , ② (x+y)∶(y+z)= .

30．如图，已知 AB∶DB = AC∶EC， AD = 15 cm ,AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = ； BC

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三、解答题

1、已知：5y-4x＝0，求(x+y)∶(x-y)

2、已知a?bb?cc?a==＝x，求x cab

3、已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.

a?c4、已知：a＝c＝e＝3(且有b+d+f＝0)，求证：＝c?e＝3. b?dbdfd?f

5、如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，

AD＝AE＝DE＝2，且△ABC与△ADE 3BCABAC

的周长之差为15cm，

求△ABC与△ADE的周长.

6、已知a?b?c，且a?b?c?20，求2a?b?c

578

7、若a:b:c?2:3:4，且a?b?c?5，求a?b的值．

a?2bc?5??8、若,且2a?b?3c?21 ，试求a:b:c 346

9、已知

10、已知

a?b?c11、若a:b:c?1:2:3，求的值。 a?b?ca?bb?cc?a???0，求x+y+z的值. xyza?bc?dac ??，证明：bdbd

12.已知2x?3y?4zxyzx?y?z (2). ???0，求下列各式的值：(1)5x?3y?zy357

13.已知a、b、c为ΔABC的三边，且a+b+c=60cm，a∶b∶c=3∶4∶5，求ΔABC的面积.

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