放缩法
1、 函数中的放缩
利用已知函数或者小题中的结论构造不等式
例题：已知函数
（1） 若
，求证：当
时，
（2） 若
在区间
上单调递增，试求
的取值范围
（3） 求证：
解析：（1）证明：当时，，
令
，
又因为
，当时，
，所以
在上单调递增，即
在上单调递增，所以
，从而说明在上单调递增，所以
（2）
，问题转化为求使
恒成立的取值范围。若
，显然
在区间上单调递增，记
，则
。
当
时，因为
，所以
，则
在上单调递增，于是
，所以在上单调递增；
当
时，在
上单调递减，在
上单调递增，
于是
，由
得
，则
；
综上，的取值范围是
（4） 证明：由（1）知，对任意，有
，所以
，两边取对数则
，令
，从而有
，于是
。
故
2、 已知函数
在
处取得极值
（1） 求实数
的值
（2） 若关于
的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数
的取值范围；
（3） 证明：对任意的正整数
，不等式
都成立
解析：（1）
。因为时，取得极值，所以
，
故
，解得
，经检验符合题意
（2）由知
，由，得
，令
，则在区间上恰有两个不同的实数根等价于
在区间上恰有两个不同的实数根
当
时，
，于是在
上单调递增；
当
时，
，于是在
上单调递减，
依（3）题意有
解得
证明：的定义域为
，
，令
，得或
（舍去），
所以当
时，
单调递增；当
时，
，单调递减。所以
为在
上的最大值。所以
故
（当且仅当时，等号成立）。
对任意正整数，取
，得
。
所以
故
3、 已知函数
在点
处的切线方程为
（1） 求
的值
（2） 当
时，
恒成立，求实数的取值范围
（3） 证明：当
，且
时，
4、 已知函数
（1） 当
时，求函数在
上的极值；
（2） 证明：当时，
（3） 证明：
为自然对数的底数）
5、 已知函数
（1） 求函数的单调区间
（2） 若
恒成立，试确定实数的取值范围；
（3） 证明：
（1）
在
上恒成立
（2）
6、 已知函数
的最小值为
，其中
（1） 求的值
（2） 若对任意的
，有
成立，求实数的最小值
（3） 证明：
7、 已知函数
（1） 若
，求函数的单调区间
（2） 当时，求函数在
的最小值
（3） 设
，求证：
8、设函数
（1）研究函数的极值点；
（2）当
时，若对任意的，恒有，求
的取值范围；
（3）证明：
9、、已知函数
（1） 若
，且对于任意
恒成立，试确定实数的取值范围；
（2） 设函数
，求证：
10、已知函数
的图像在
点（
为自然对数的底数）处的切线斜率为
（1）求实数的值
（2）若
，不等式
在
上恒成立，求的最大值；
（3）当
时，证明：
（理科）11、已知函数
（其中为自然对数的底）。
（1） 求函数的最小值
（2） 若
，证明：
（理科）12、若函数
在
上为增函数（
为常数）则称为区间
上的“一阶比增函数”。
已知函数是在上每一点处可导的函数，且
在上恒成立
（1） 求证：为区间上的“一阶比增函数“；
（2） 当
时，证明：
；
（3） 已知不等式
在
且
时恒成立，证明：
第二篇：巧用放缩法
巧用放缩法
放缩法是证明不等式的一种特殊方法，其基本思想就是在证明一个不等式时充分利用与所要证明的不等式两边具有明显大小的过渡性的辅助关系式．放缩法的常用技巧有：（１）舍掉或加进一些项（２）在分式中放大或缩小分子或分母（３）应用函数的性质（如函数的单调性有界性）进行放缩（４）应用基本不等式进行放缩。本文通过几个例题来说明这种辅助关系式的确定，充分体现放大或缩小的技巧
一、放大或缩小分子分母的值，用裂项法得到辅助关系式
例１求证：
分析：证明不等式的常用方法有反证法、判别式法、放缩法、综合法、分析法、求差法、数学归纳法，而此题左边有n项，多数方法不管用，只有通过将左边的通项
进行放缩，再用裂项法将所有的项展开，就可以消去很多的项，这样就得到一个辅助关系式。
证明：
=
对于此类不等式放缩变型常见的有：
二、利用函数的单调性，构造辅助关系式
例２求证：
（错解）证明：
很显然此题分母缩小过度，尤其是第２项
放大到
对此题来说太大了，正所谓“差之毫厘，谬以千里”，导致所证结果与原题差距太大。由此可见，放缩法证明不等式需要较大的技巧，以涉及分式的不等式而言，关键有两条，（１）是确定分母是“放”还是“缩”，若证明“〈”需将分母缩小，若证明“〉”需将放大（２）是如何“放”或“缩”，如果放大或缩小过了头，就会得到错误的结论或达不到预期的目的，因此一定要注意控制放缩的“尺度”。正确解法如下：
证明：令
显然上式函数在其定义域上是一个增函数，根据函数的单调性
三、放缩分子或分母，构造等比数列得到辅助关系式
例３已知正整数
，求证：
证明：
我们以前在一些参考书上见过此题，只不过是要证它的上限是2即
，只要令
，通过放缩就可以在不等号的右边构造一个公比为的等比数列，从而使命题得证。例3通过放缩法在不等号的右侧构造了一个从第2项起公比为
的等比数列，由此可见我们构造的等比数列的公比越小就可以将所证式子的上限缩小，此题我们还可以将上限缩小到
四、放缩式子的值，可以将等式和不等式联系起来
例４已知
，求
的值。
这是解方程问题，若仅从方程性质去考虑是较难解决的，但借助于放缩法结合不等式就很容易求它们的值，解法如下：
因为
所以
仅当
时等号成立
由已知
所以必有同时成立，故
这是我上次在中学数学教学参考上看到“用强化命题证一类不等式”的一点感想，望各位提出宝贵意见。