1．(交汇新)已知函数f(x)＝aln x＋bx2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)函数g(x)＝f(x)＋m－ln 4，若方程g(x)＝0在上恰有两解，求实数m的取值范围．
2．(背景新)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，a，b∈R.
(1)曲线C：y＝f(x)经过点P(1,2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；
(2)在(1)的条件下试求函数g(x)＝m
(m∈R，m≠0)的极小值；
(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2.
[历 炼]
1．解析：(1)当x＝1时，f(1)＝2x－3＝－1.
f′(x)＝＋2bx.
∴?
∴y＝f(x)＝4ln x－x2.
(2)g(x)＝f(x)＋m－ln 4＝4ln x－x2＋m－ln 4，
令g(x)＝0，得m＝x2－4ln x＋ln 4，则此方程在上恰有两解．
记φ(x)＝x2－4ln x＋ln 4，
φ′(x)＝2x－＝＝＝0，得x＝∈.
在上，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；
在(，2)上，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．
又φ＝＋4＋2ln 2，
φ()＝2－4ln＋2ln 2＝2，
φ(2)＝4－4ln 2＋2ln 2＝4－2ln 2，
φ(x)的图象如图所示．
由φ＞φ(2)，得2＜m≤4－2ln 2，
即m∈(2,4－2ln 2]．
2．解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由题设知：
解得
(2)由(1)知g(x)＝(x3－2x2)，
g′(x)＝mx，
当m＞0时，g(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，
所以g(x)的极小值为g＝－m；
当m＜0时，g(x)在(－∞，0)，上单调递减，在上单调递增，
所以g(x)的极小值为g(0)＝0.
(3)证明：因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，
所以f′(x)＝0，
即x2＋2ax＋b＝0在(1,2)内有两个不等的实根．
∴
由①＋③，得a＋b＞0，由④，得a＋b＜a2＋a，
又由③，得－2＜a＜－1，
又a2＋a＝2－＜2，∴a＋b＜2.
故a＋b的取值范围是(0,2)．
第二篇：数列综合题型总结
数列求和
1.（分组求和）
(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）
2.(裂相求和)
3.（错位相减）
4.（倒写相加）
求值设
，求
5. （放缩法）
求证：
数列求通项
6.（
与
的关系求通项）
正数数列{an}，
，求数列{an}的通项公式。
7．（递推公式变形求通项）
已知数列{an }，满足，a1=1,
求{an }的通项公式
8.累乘法
数列
中，
，前n项的和
，求
.
解：
，
∴
∴
9累加法