导数各种题型方法总结

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （2010省统测2）

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，x4mx33x2

f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

2010第三次周考：

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）

1

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3?

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

例5、已知函数f(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

2

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例7、已知函数f(x)?ax?312x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

（2）若g(x)? 3

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例8、

其它例题：

（a?0）1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b在

区间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

4

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求23f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，

求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

5

4、（根的个数问题）已知函数f(x)?13x?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a?

1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

x325、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

3bxg(x)?f(x)?2?3． a

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

6

第二篇：函数与导数问题进阶(学生版)自己总结和教师版一套

函数与导数问题进阶（学生版）

常见题型及解法

1. 常见题型

2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

3. 解题方法规律总结

小题讲解：

【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则

【例2】若是方程的解，是 的解，则的值为（    ）

A．         B．         C．3          D．

【例3】若函数有两个零点，则实数的取值范围是       ．

【例4】已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是（     ）

（A）（，）    (B) ［，）    (C)（，）    (D) ［，）

解答题讲解

一、（单调性，用到二阶导数的技巧）

    例一、已知函数

    ⑴若，求的极大值；

    ⑵若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.

二、交点与根的分布

例二、已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

例三、已知，函数（其中）

（I）求函数在区间上的最小值；

（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

三、不等式证明

作差证明不等式

例四、（2010湖南，最值、作差构造函数）

已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求证：≤≤x．

例五（2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

⑴用表示，并求的最大值；

⑵求证：当时，．

                                                             

变形构造证明不等式

例六、已知函数，

（Ⅰ）求的极值

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围

（Ⅲ）已知，且，求证

例七、（2010辽宁文21，构造变形，二次）

已知函数.

⑴讨论函数的单调性；  _K^S*5U.C#

⑵设，证明：对任意，.

四、不等式恒成立求字母范围

恒成立之最值的直接应用

例八、已知函数。

⑴求的单调区间；

⑵若对于任意的，都有≤，求的取值范围.

例九、（2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）

已知函数，其中.

⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；

⑵讨论函数的单调性；

⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

恒成立之分离常数

例十、（2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）

已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.

(1)当时,求曲线在处的切线方程；

(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.

（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）

例十一、已知函数 ．

（Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

恒成立之讨论字母范围

例十二、（2007全国I，利用均值，不常见）

设函数．

⑴证明：的导数；

⑵若对所有都有，求的取值范围．

三年新课标导数高考试题

 [2011]

1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

（A）   (B)    （C）   (D)  

2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为

（A）          （B）4           （C）         （D）6

3（21）（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

[2012]

4、（12）设点P在曲线y=e^x  上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为

（A） 1-ln2   （B） （C）1+ln2  （D）

5、（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）满足

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若求（a+1）b的最大值。

【20##年】

6、16、若函数f(x)=(1－x²)(x²＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.

7、（21）（本小题满分共12分）

已知函数f(x)＝x²＋ax＋b，g(x)＝e^x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。