《现代控制理论》习题

第一章  控制系统的状态空间模型

1.1  考虑以下系统的传递函数：

     试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。

1.2  考虑下列单输入单输出系统：

     试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

1.3  考虑由下式定义的系统：

式中

                    

     试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。

1.4  考虑由下式定义的系统：

式中

                    

     试求其传递函数Y(s)/U(s)。

1.5  考虑下列矩阵：

     试求矩阵A的特征值λ₁,λ₂,λ₃ 和λ₄。再求变换矩阵P，使得

第二章 状态方程的解

2.1  用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数。

1）      ；    2）

2.2  计算下列矩阵的矩阵指数函数。

1） ； 2） ； 3） ； 4）

5)  ；  6） ；  7）

2.2  给定线性定常系统

式中

且初始条件为

试求该齐次状态方程的解x(t)。

2.4  已知系统方程如下

求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。

1） ；           2）

3） ；          4）

2.5  验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。

 2.6  对线性定常系统，已知

求系统矩阵A。

2.7  已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵。

1） ；           2）

2.8  给定系统和其伴随方程，其状态转移矩阵分别用和表示，证明：。

2.9  求解下列系统的状态响应。

2.10  已知如下离散时间系统， ，是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。

2.11  已知如下离散时间系统，试求，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。

第三章线性系统的能控性与能观性

3.1  考虑由下式定义的系统

式中

                    

     试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？

3.2  下列能控标准形

式中

                    

是状态能控和状态能观测的吗？

3.3  考虑如下系统

式中

                    

    除了明显地选择外，试找出使该系统状态不能观测的一组，和。

3.4  给定线性定常系统

     式中

     试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。

3.5  给定线性定常系统

     式中

     试将该状态方程化为能观测标准形。

第四章 动态系统的稳定性分析

4.1  试确定下列二次型是否为正定的。

4.2  试确定下列二次型是否为负定的。

4.3  试确定下列非线性系统的原点稳定性。

        考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：

4.4  试写出下列系统的几个Lyapunov函数

     并确定该系统原点的稳定性。

4.5  试确定下列线性系统平衡状态的稳定性

4.6  试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。

第五章  线性系统的综合

5.1  给定线性定常系统

     式中

     采用状态反馈控制律，要求该系统的闭环极点为s = -2±j4，s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。

5.2  试用MATLAB求解习题4.3。

5.3  给定线性定常系统

     试证明无论选择什么样的矩阵K，该系统均不能通过状态反馈控制来稳定。

5.4  调节器系统被控对象的传递函数为

     定义状态变量为

     利用状态反馈控制律，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中

     试确定必需的状态反馈增益矩阵K。

5.5  试用MATLAB求解习题4.6。

5.6  给定线性定常系统

     式中

     试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为。

5.7  考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为，即最小阶观测器所期望的特征方程为。

5.8  给定线性定常系统

     式中

假设该系统的结构与图4.5所示的相同。试设计一个全维状态观测器，该观测器的期望特征值为。

5.9 给定线性定常系统

该观测器增益矩阵的一组期望的特征值为 。试设计一个全维观测器。

5.10 考虑习题4.11给出的同一系统。假设输出y可准确量测。试设计一个最小阶观测器。该最小阶观测器的期望特征值为。

5.11考虑图4.17所示的I型闭环伺服系统。图中的矩阵A、B和C为

试确定反馈增益常数和,使得闭环极点为。试利用计算机对所设计的系统进行仿真，并求该系统单位阶跃响应的计算机解，绘出y(t)对t的曲线。

 

图4.17  I型闭环伺服系统

5.12 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。参见图4.2所示的原理图。假设

M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米

     定义状态变量为

     输出变量为

     试推导该系统的状态空间表达式。

         若要求闭环极点为

     试确定状态反馈增益矩阵K。

    利用已被求出的状态反馈增益矩阵K，用计算机仿真检验该系统的性能。试写出一个MATLAB程序，以求出该系统对任意初始条件的响应。对一组初始条件

                    米/秒

     试求x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)和x₄(t)对t的响应曲线。

5.13 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l 的值与4.4节中的相同。对于该系统，状态变量定义为

     试求该系统的状态空间表达式。

    假设采用状态反馈控制律，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点

          情况1：；        

          情况2：

     试确定在这两种情况下的状态反馈增益矩阵K。再求设计出的系统对初始条件

     的响应，并比较这两种系统的响应。

5.14 考虑4.7节讨论的倒立摆系统。设计一个状态反馈增益矩阵K，其中已知和积分增益常数。假设该系统的期望闭环极点为 。试利用MATLAB确定增益矩阵K和积分增益常数。再求当单位阶跃输入作用于小车位置时的阶跃响应曲线。

第六章  最优控制

6.1设系统状态方程及边界条件为：

                         

试求最优控制，使下列性能指标

                         

取最小值。

6.2求从到直线之间距离最短的曲线及最优终端时间。

6.3系统状态方程及边界条件为：

                               

试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。

                          

6.4设系统状态方程及初始条件为

                       

未给定，试求最有控制及使下列指标取极值，并求出最优轨线。

6.5设系统状态方程及初始条件为：

                          

                            

中断状态受如下约束

试求最优控制是下列性能指标

                         

取极小值，且求出最优轨线。

6.6 设一阶离散系统方程为

边界条件为：。试求最优控制序列，使下列性能指标

                          

取极小值，并求出状态序列。

6.7 设系统状态方程及边界条件为:

                  ;   ,

试求最优控制是指标取极值，并求出最优轨线及最优性能指标。

6.8设系统状态方程及边界条件为:

                    ;,

试求最有控制及使取极值。

6.9 设系统状态方程为

    

试确定最优控制，使下列性能指标

取极小值。

6.10 设有下列受控系统状态方程：

1.        2.

3.

试分别研究有无最优控制使下列性能指标

取极小值？是否存在正定矩阵？分析受控系统状态可控性、稳定性与最优解的关系。

   

第二篇：现代控制理论及应用

现代控制理论及应用

李嗣福教授、博士生导师

中国科学技术大学自动化系

一、     现代控制理论及应用发展简介

1. 控制理论及应用发展概况

2. 自动控制系统和自动控制理论

以单容水槽水位控制和电加热器温度控制为例说明什么是自动控制、控制律（或控制策略）、自动控制系统以及自动控制系统组成结构和自动控制理论所研究的内容。

2.1自动控制：利用自动化仪表实现人的预期控制目标。

2.2自动控制系统及其组成结构

自动控制系统：指为实现自动控制目标由自动化仪表与被控对象所联接成闭环系统。

自动控制系统组成结构：是由被控对象、测量代表、控制器或调节器和执行器构成反馈闭环结构，其形式有单回路形式和串级双回路形式。

控制系统性能指标：定性的有稳（定性）、准（确性）、快（速性）。

控制律（或控制策略、控制算法）：控制系统中控制器或调节器所采用的控制策略，即用系统偏差量如何确定控制量的数学表示式。

2.3自动控制系统类型主要有：按系统参数输入信号形式分：定值控制系统或调节系统和随动系统。

按系统结构形式分：前馈控制系统（即开环系统）和反馈控制系统以及复合控制系统；

按系统中被控对象的控制输入量数目和被控输出量数目分：单变量控制系统和多变量控制系统；

按被控对象特性分：线性控制系统和非线性控制系统；

按系统中的信号形式分：模拟（或时间连续）控制系统、数字（或时间离散）控制系统以及混合控制系统。

2.4自动控制理论：研究自动控制系统分析与综合设计的理论和方法。

3. 古典（传统）控制理论：

采用数学变换方法（即拉普拉斯变换和富里叶变换）按照系统输出量与输入量之间的数学关系（即系统外部特性）研究控制系统分析和综合设计问题。具体方法有：根轨迹法；频率响应法。

主要特点：理论方法的物理概念清晰，易于理解；设计出控制律一般较简单，易于仪表实现

主要缺点：

① 设计需要凭经验试凑，设计结果与设计经验关系很大；

② 系统分析和设计只着眼于系统外部特性；

③一般只能处理单变量系统分析和设计问题，而不能处理复杂的多变量系统分析和设计。

4. 现代控制理论及其主要内容

现代控制理论：狭义的是指60年代发展起来的采用状态空间方法研究实现最优控制目标的控制系统综合设计理论。广义的是指60年代以来发展起来的所有新的控制理论与方法。

控制系统状态空间设计理论：

（1） 用一阶微方程组表征系统动态特性，一般形式（连续系统）为

——状态方程（连续的一阶微分方程组）

——输出方程

离散系统：

——状态方程（离散的一阶差分方程组）

——为大于等于零整数，表示离散时间序号；

——状态向量，其中，为状态变量；

——输入向量，其中， 为各路输入；

——输出向量，其中，为各路输出。

——为n行n列矩阵，称系统矩阵，其特征值可完全表征系统的动态行为；

——为n行m列矩阵，称输入矩阵；

——为p行n列矩阵，称输出矩阵。

（2） 采用状态反馈控制律：

为m行n列矩阵，称为增差矩阵，是待设计的。

（3）    系统性能采用二次型函数形式和基于二次型指标最优化设计方法。

        ——离散形式；

——状态加权阵；

       ——控制加权阵。

（4） 反馈增益阵K的特征值配置设计法。

（5） 采用状态观测器对系统状态进行估计（或称重构）实际反馈控制为：

，

其中是的估计（或重构）。

主要优点：理论体系严谨完整；可获得理想的最优控制性能，设计过程较少依赖经验试凑。

主要缺点：要求系统模型准确，否则实际控制性能并非最优，即控制系统鲁棒差；理论较抽象，缺乏直观性，不易理解，需要较多数学知识；性能指标函数中的加权Q和R选取无定量准则可循，也需凭经验选取，故设计结果也与设计人员主观因素有关。

现代控制理论其它分枝

1. 多变量解耦控制理论；

2. 鲁棒控制理论；

3. 模型辨识理论；

4. 自适应控制理论；

5. 模型预测控制理论与方法；

6. 智能控制技术。

二、     计算机控制系统概述

1. 计算机反馈控制系统结构

2. 控制计算机硬件组成

（1） 主机，CPU——中央处理器，ROM和RAM——内存储器，控制器。

（2）        外部设备，输入、输出设备，外存储器，通信设备。

（3）        过程输入、输出设备。

过程输入设备：模拟输入通道（即A/D通道）

开关量输入通道（即DI通道）

过程输出设备：模拟输出通道（即D/A通道）

开关量输出通道（即DO通道）

制造工艺要求很严，整机工作可靠性要求很高。

3. 软件系统：系统软件和监控应用软件。

4. 计算机控制系统类型

● 监测（即巡回检测）系统

● 直接数字控制系统（DDC系统）

● 计算机顺序控制系统

● 计算监督控制系统

● 计算机控制管理集成系统（DCS）

三、     数字ID控制算法及参数整定

1. 标准数字PID控制算法

模拟PID控制律（由模拟控制器实现）

——偏差信号

——比例系统；——积分时间；——微分时间

、、对控制系统性能影响的定性分析。

数字PID控制算法（由计算机执行）

——位置式算法；

   ——采样周期；

——偏差增量；

——增量式算法；

2. 数字PID控制改进算法

●积分可分离PID

当（阀值），去消积分运算，执行PD算法；

当时，执行PID算法。

●抗积分饱和的PID算法

当算出的（最大控制量）取，并去消积分项运算；

当算出的（最小控制量），取，并去消积分项运算；

当算出的，才输出，并执行PID三项运算。

●微分先行

将PI项放到前向通道，将微分项放到反馈通道；

●带死区的PID算法

当（阀值）时，取即控制量保持不变

当时，按PID算法计算控制量

3. 数字PID算法参数整定

即调整参数

理论计算法，工程整定法和自整定法

工程整定法：扩充临界比例度法，扩充响应曲线法。