《导数各种题型及解法总结》

基础知识梳理

第 1页 /共 9页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x)?0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，

x4mx33x2

??g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

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例2：设函数f(x)??3x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

g(x)?x3?例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

t?62x?(t?1)x?32(t?0)

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

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例4：已知a?R，函数f(x)?32x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,??)上的单调函数，求a的取值范围．

131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间； （II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 例5、已知函数f(x)?

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?0的关系； 13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

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根的个数知道，部分根可求或已知。

12x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12（2）若g(x)?bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

3例7、已知函数f(x)?ax?题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

32例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，

求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

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题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法 例8、

例9、已知函数f(x)?

1a312

x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)＝x4＋f（x）

432

（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

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其它例题

（a?0）1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b在区

间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.

f(x)?ax3?2ax2?b,?f'(x)?3ax2?4ax?ax(3x?4)

4 令f'(x)=0,得x1?0,x2????2,1?

3

解：（Ⅰ）

因此f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)，

即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）?x3?2x2?5.

?tx?0等价于3x?4x?tx?0， （Ⅱ）∵f?(x)?3x2?4x，∴f?(x）

令g(t)?xt?3x2?4x，则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围， 2

?3x2?5x?0?g(?1)?0为此只需?，即?2， g（1)?0??x?x?0

解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）已知函数f(x)?23x?ax2?bx?c 3

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

2解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,∴ 2a?b?2?0

∵ f(0)?1 ∴ c?1 又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行,

∴ f?(0)?b??3 故 a?12312 ∴ f(x)?x?x?3x?1 ………. 7分 232

(Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x2?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

?f?(0)?0?b?0?x?b?2???∴ ?f(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,y), 则 ? y?a?1??f?(2)?0?4a?b?8?0??

?x?2?0?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?b?x?2?4y?x?6?0?

3易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?, S?ABC?2 2

1同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?S四边形ABED ∴ 所求一条直线L的方程为: x?0 3

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AC,BC分别交于F、G, 则 k?0,

由 ?S四边形DEGF?1 ?y?kx2 得点F的横坐标为: xF?? 2k?12y?x?2?0?

?y?kx6由 ? 得点G的横坐标为: xG?? 4k?1?4y?x?6?0

13612??1??1

即 16k2?2k?5?0 ∴S四边形DEGF?S?OGE?S?OFD ???224k?122k?1

151解得: k? 或 k?? (舍去) 故这时直线方程为: y?x 282

1综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分 2

(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x2?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

?f?(0)?0?b?0?x?b?2??∴ ?f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,y), 则 ? ?y?a?1?f?(2)?0?4a?b?8?0??

?x?2?0?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?b?x?2?4y?x?6?0?

30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?, S?ABC?2 2

1同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?S四边形ABED ∴所求一条直线L的方程为: x?0 3

1另一种情况由于直线BO方程为: y?x, 设直线BO与AC交于H , 2

1?y?x1?由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,?) 22?2y?x?2?0?易得A(?2,

∵ S?ABC?2, S?DEC1111111S?S?S??2?1??2?? ???2?, ?ABH?ABO?AOH2222222

1x 2 ∴ 所求直线方程为: x?0 或y?

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，求

函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0 2

?d?3?d?3 ??c?0?3a?2b?c?3a?2b?0?

（Ⅱ）依题意 f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5 得?

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（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )

① f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由f??5?= 0?b = – 9a

若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②

由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当? 解得a = 1 , b = – 6 ??8a?4b?6a?4b?3?5 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 1＜a＜3 111＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分 1114、（根的个数问题）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

解：（1）f'(x)?x2?2ax?1 ?x1?x2?2a,x1?x2??1 （2

）若a?

?x1?x2???2 ?a?0f?(x)?x2?2ax?1?x2?1 令f?(x)?0得x??1,或x?1 令f?(x)?0得?1?x?1

∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)????5分

（2）由题f(x)?g(x)得

1315111x?ax2?x?1?x2?(2a?1)x? 即x3?(a?)x2?2ax??0 32632613121令?(x)?x?(a?)x?2ax?(?2?x?1)????????6分 326???(x)?x2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1) 令??(x)?0得x?2a或x?1?????7分 1a? 当2a??2即a??1时 29此时，?8a??0，a?0，有一个交点； 2

1当2a??2即?1

?a?时，

2a(3?2a)??0, ∴当?8a??0即?1?a??时,有一个交点； 36216

99?a?0时，有两个交点； 当?8a??0，且a?0即?216

19 当0?a?时，?8a??0，有一个交点． 22

919?a?0时，有两个交点． 综上可知，当a??或0?a?时，有一个交点； 当?16216

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第二篇：导数题型总结学生

导数题型总结

体型一:

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f(x)?0得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，'

x4mx33x2

f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

1

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

g(x)?x3?t?62x?(t?1)x?32(t?0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f(x)?0或f(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?''13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

例5、已知函数f(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 2

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例7、已知函数f(x)?ax3?12x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

（2）若g(x)?12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。 题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 32

(?11,16)

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

例9、已知函数f(x)?a3121（2）令g(x)＝x4＋f（x）x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；432

（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax?2ax?b在区间??2,1?（a?0）32

上的最大值是5，最小值是－11.

3

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)?23x?ax2?bx?c 3

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，

求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b

4、（根的个数问题）已知函数f(x)?23213x?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a?1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

x325、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

g(x)?f(x)?3bx． ?3a2

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

4 2