《概率论与数理统计》复习资料
一、复习提纲
注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义
2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数
)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。
二、各章知识要点
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 
2．运算规则 （1）
（2）
（3）
（4）
3．概率
满足的三条公理及性质：
（1）
（2）
（3）对互不相容的事件
，有
（
可以取
）
（4）
（5）
（6）
，若
，则
，
（7）
（8）
4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率
6．条件概率
（1） 定义：若
，则
（2） 乘法公式：
若
为完备事件组，
，则有
（3） 全概率公式： 
（4） Bayes公式：
7．事件的独立性： 
独立
（注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，
满足（1）
，（2）
=1
（3）对任意
，
2． 连续随机变量：具有概率密度函数
，满足（1）
；
（2）
；（3）对任意
，
3． 几个常用随机变量
4． 分布函数 
，具有以下性质
（1）
；（2）单调非降；（3）右连续；
（4）
，特别
；
（5）对离散随机变量，
；
（6）对连续随机变量，
为连续函数，且在连续点上，
5． 正态分布的概率计算 以
记标准正态分布
的分布函数，则有
（1）
；（2）
；（3）若
，则
；
（4）以
记标准正态分布的上侧
分位数，则
6． 随机变量的函数 
（1）离散时，求
的值，将相同的概率相加；
（2）
连续，
在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则
，若不单调，先求分布函数，再求导。
第四章 随机变量的数字特征
1．期望
(1) 离散时 
，
；
(2) 连续时
，
；
(3) 二维时
，
(4)
；（5）
；
（6）
；
（7）
独立时，
2．方差
（1）方差
，标准差
；
（2）
；
（3）
；
（4）独立时，
3．协方差
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
时，称不相关，独立
不相关，反之不成立，但正态时等价；
（5）
4．相关系数 
；有
，
5．
阶原点矩
， 阶中心矩
第五章 大数定律与中心极限定理
1．Chebyshev不等式
或
2．大数定律
3．中心极限定理
（1）设随机变量
独立同分布
，则
， 或
或
，
（2）设
是次独立重复试验中
发生的次数，
，则对任意
，有
或理解为若
，则
第六章 样本及抽样分布
1．总体、样本
（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；
（2） 样本数字特征：
样本均值
（
，
）；
样本方差
（
）样本标准差
样本阶原点矩
，样本阶中心矩
2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数
3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）
（1）
分布 
，其中独立同分布于标准正态分布，若
且独立，则
；
（2）
分布 
，其中
且独立；
（3）
分布 
，其中
且独立，有下面的性质 
4．正态总体的抽样分布
（1）
； （2）
；
（3）
且与
独立； （4）
；
（5）
，
（6）
第七章 参数估计
1．矩估计：
（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计
2．极大似然估计：
（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min
或max）
3．估计量的评选原则
(1)无偏性：若
，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；
4．参数的区间估计（正态）
三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
如对于事件A，B，
或
，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(A
B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。
例：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)
例：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，
，
，
课本上P19，例5；P26，第14，24题。
2．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。
例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
课本上P26，第24题
3．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]
课本上P39，例1；P50，例1；P59，第33题；P114，第6、8题；
例：随机变量的分布律为.
确定参数k
求概率P(0<X<3)，
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数
的分布律及期望
(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)
确定参数
求概率P(a<X<b)
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]
P43，例1；P51，例2；P53，例5；P59，第36、37题；P114，第9题；
例：已知随机变量的概率密度为
，
确定参数k
求概率
求分布函数F(x)
求期望E(X)，方差D(X)
求函数
的密度及期望
(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,…,m,…；j=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P{(X,Y)ÎG}
求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,…,m,…；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,…,n,…
求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,…,n,…
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数
，判断是否不相关
求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望E[g(X, Y)]
课本P65，例1；P88，第36题；P115，第14题；P116，第22题；
例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
求概率P(X<Y)， P(X=Y)
求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3
求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律
(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x, y)
确定参数
求概率P{(X,Y)ÎG}
求边缘密度
，
，判断是否相互独立
求条件密度
，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望E[g(X, Y)]
课本上P63，例2；P66，例2，P72，例4；P84，第3题；P85，第7题；P87，第22题；P117，第31题；
例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为
，
确定常数
的值；
求概率P(X<Y)
求边缘密度，，判断是否相互独立
求条件密度，
求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)
求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关
4．会用中心极限定理解题。
例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为
，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．
例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
5．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。
课本上P49，例3；P58，第26题；P117，第36题
例设
，且与相互独立，则
四、数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1．统计量的判断。
2．计算样本均值与样本方差及样本矩。
3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。
4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
课本上P151，例2；P154，例5；P173，第4题
例：设总体的概率密度为
，
是来自总体的一个样本，求未知参数
的矩估计量与极大似然估计量.
5． 掌握无偏性与有效性的判断方法。
例：设
是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计
；
；
；
；
求出方差，比较哪个更有效。
6． 会求正态总体均值与方差的置信区间。
课本上P164，例1；P175，第16题