线性代数模块总结

线性代数模块总结

一、《线性代数》在数学的地位

    线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

　　主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数学名著《九章算术》）。

　　①线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位

　　②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；

　　③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的

　　④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

二、对《线性代数》教学的几点看法

1、加强背景知识的介绍

    线性代数概念较为抽象，如果采用纯粹的定义、定理加推导的公式，学生容易失去兴趣，也很难深刻理解相关概念。现在许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课的主要内容，相关背景一无所知。为了避免这种现象，我们有必要追溯到线性代数相关的历史，对其被经济发展状况作简单的介绍，探究那些想象力、创造力、努力交织在一起的故事。这样不仅有助于学生在轻松的环境下理解知识点的来龙去脉，并加深对概念的理解，同时还有利于脱光他们的知识面，提高他们的数学修养。

2、注意知识点的合理引入

    俗话说：“兴趣是最好的老师”。一堂课的成功与否，知识点的引入非常关键。因为只有通过合理的引入，才能吸引学生的注意力并激发他们的兴趣，使他们的学习有被动接受转为主动参与。

在关于线性代数的教学过程中，可以结合具体教学内容采用不同的引入方法。一种典型的引入方法是结合学生已经掌握的知识通过类比引入。

3、注重知识点的几何意义阐述

数学的教学目标是训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，因而数形结合是数学教育的重要思想和方法之一。但对于线性代数这样有许多抽象概念的课程，往往过于强调抽象思维能力、逻辑推理能力，而容易忽视空间想象能力的培养，也就是容易忽视“形”概念的几何意义对教学的帮助作用。

三、《线性代数》的学习方法

掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。

四、课程的基本要求

1．理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式

2．熟练掌握行列式的基本计算方法和性质

3．熟练掌握克莱姆法则

4．理解矩阵的定义

5．熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法

6．理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性

7．掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系

8．理解向量空间的概念，会求向量的坐标

9．熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组

10．熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用

11．熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法

12．掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念

13．熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法

14．理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和

15．掌握二次型正定性概念及应用

五、主要内容

1、行列式

行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

代数余子式和余子式的关系：

设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

对于阶矩阵： 无条件恒成立；

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；

⑥、；

⑦、；

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不为0；

线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出                    是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）

矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；

；

维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关        ；

②、线性相关    坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关 共面；

线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；

向量组能由向量组线性表示，则；

向量组能由向量组线性表示

有解；

             

       向量组能由向量组等价

方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、       只有零解只有零解；

②、  有非零解一定存在非零解；

设向量组可由向量组线性表示为：

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

①、对矩阵，存在，      、的列向量线性无关；

②、对矩阵，存在，       、的行向量线性无关；

线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；

5、相似矩阵和二次型

正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

施密特正交化：

；

      

       ;

对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

①、与等价 经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同 ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似 ；

相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

为对称阵，则为二次型矩阵；

元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)