二次函数知识归纳与总结
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特
，特别注意a不为零
那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线
与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点
（1）一般 一般式：
（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根
和
存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数可转化为两根式
。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，
。
如果自变量的取值范围是
，那么，首先要看
是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
时，
，当
时，
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，
，当时，
。
二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中，
的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的
，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当
>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为
A
0 x
B
2，二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
②保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
③平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 
此公式有多种变形 牢记
②点斜 
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
④截距 由直线在
轴和
轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距
5、设两条直线分别为，
：
：
若
，则有
且
。 若
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 
7、抛物线
中， a b c,的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与
中的完全一样.
（2）
和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①
时，对称轴为
轴；②
（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③
（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 --- 同左 异右
（3）
的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①
，抛物线经过原点;
②
,与轴交于正半轴；
③
,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
二次函数单元测试
一、选择题：
1．下列函数中，是二次函数的是( )
A. 
B.
C.
D. 
2. 二次函数
，当
时，随着
的增大而增大，当
时，随着的增大而减小，则
的值应取（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
3. 若一次函数
的图象经过二、三、四象限，则函数
的图象只可能是( )
A. B. C. D.
4.在函数y=
中，自变量的取值范围是( )
A. ≥-2且≠±3 B. ≥-2且≠3 C. >-2且≠-3 D. >-2且≠3
5.无论
为何实数，二次函数
的图象总是过定点( )
A.(-1，3) B.(1，0) C.(1，3) D.(-1，0)
6.在直角坐标系中，坐标轴上到点P(-3，-4)的距离等于5的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 下列四个函数中，的值随着值的增大而减小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．抛物线的图象如图，OA=OC，则 ( )
A．
B．
C．
D．以上都不
9.在同一坐标系中，一次函数
和二次函数
的图象大致为( )
A B C D
10．若
，则二次函数
的图象的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
11．已知二次函数解析式为
，则这条抛物线的对称轴为直线= 3 ，满足＜0的的取值范围是 1＜x＜5 ，将抛物线向 上 平移 4 个单位，则得到抛物线
。
12．请写出一个开口向上，对称轴为直线
，且与轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 y=(x－2)2＋3等 。
14．已知抛物线
经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是__(1,-8) _______。
15．如右图所示，长方体的底面是边长为cm的正方形，高为6cm，请你用含的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________，长方体的体积为V=__________，各边长的和L=__________，在上面的三个函数中，_______是关于的二次函数。
16.抛物线
与直线
有___个交点，交点坐标是_________________。
三、解答题：
17.当二次函数图象与轴交点的横坐标分别是
，且与轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式。
18.求抛物线
与坐标轴的交点坐标，并求这些交点所构成的三角形面积。
19. 一男生推铅球，铅球出手后运动的高度
，与水平距离
之间的函数关系是
，那么这个男生的铅球能推出几米？
20.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价(元)满足一次函数关系
，请写出商场卖这种商品每天的销售利润(元)与每件销售价 (元)之间的函数关系式。
21. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间满足函数关系
，的值越大，表示接受能力越强。
(1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力的值是多少?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答。
22．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20米，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10米，
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
【参考答案】
一、选择题：
1.D； 2.C； 3.C； 4.B； 5.A； 6.C； 7.B； 8.A； 9.B； 10.C。
二、填空题：新 课标 第一 网xkb 1.com
11. 3 ， 
，上 ， 4 ； 12. 
（答案不唯一）；
13. 
， 
或
； 14. 
；
15. 
，
；
，
； 16. 两，（-2，4）和（1，4）。
三、解答题：新 课标 第一 网xkb1.com
17. 
。
18. 
，
，
， 面积
。
19. 10米。提示：令
，横坐标（正值）即为所求。
20. 
。
21.（1）
；（2）用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟与用10分钟相比，接受能力增强了。
22. （1） 
；（2）5小时 。
第二篇：上海九年级二次函数知识总结
奋飞教育个性化辅导授课案
教师：戴永康学生: 王佳鑫 时间: 2012年11月10日13:00-15：00段
教务签字:________________
奋飞教育教务处