江苏省20##年高考一轮专题复习特训

数列

1、（2014江苏卷7）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是        .

【答案】4

2、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数 的值为             。

答案： 14．12

3、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是      ．

【答案】.

4.（江苏20##年5分）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是　　▲　　

【答案】。

5、（江苏省扬州中学20##届高三上学期12月月考）在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为  ▲    ．

答案：15

6、（江苏省南京市第一中学20##届高三12月月考）等差数列中，其前项和，若，

则的值为       .

答案：3

7、（江苏省诚贤中学20##届高三12月月考）在等比数列｛｝中,若,则的值是     ▲     .

答案：4

8、（江苏省东海县第二中学20##届高三第三次学情调研）已知数列满足：，，数列满足，，则数列的前10项的和      ▲       .

答案：

9、（江苏省东海县第二中学20##届高三第三次学情调研）在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正数时的值为      ▲       .

答案：39

10、（江苏省阜宁中学20##届高三第三次调研）设为递减的等比数列，其中为公比，前项和，且，则=     ▲    .

答案：

11、（江苏省诚贤中学20##届高三12月月考）已知等比数列的前项和为，若，则的值是  ▲  

答案：－2

12、（江苏省粱丰高级中学20##届高三12月第三次月考）设等差数列的前项和为，则公差     ▲     ．

答案：1

13、（江苏省如东县掘港高级中学20##届高三第三次调研考试）在数列中，，，记是数列的前项和，则=             

答案：2550

14、（江苏省睢宁县菁华高级中学20##届高三12月学情调研）已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为    ▲    .

答案：

15、（江苏省兴化市安丰高级中学20##届高三12月月考）数列是公差不为0的等差数列，且，则3．

答案：3

16、（常州市武进区20##届高三上学期期中考）已知等差数列的前项和为，若，则的值为＿＿＿＿＿＿．

答案：3

17、（淮安、宿迁市20##届高三11月诊断）已知数列的前项和，若对任意正整数，恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.

答案：

18、（淮安、宿迁市20##届高三11月诊断）已知等比数列中，，，函数，则曲线在点 的切线的斜率为＿＿＿＿＿＿.

答案：

19、（苏州市20##届高三上学期期中）公比为的等比数列的各项都是正数，且，则   ＿＿＿＿＿＿．

答案：32

20、（无锡市20##届高三上学期期中）记等差数列的前项和为，，则最大的是＿＿＿＿＿＿。

答案：6

21、（徐州市20##届高三上学期期中）设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为＿＿＿＿＿＿ 。

答案：{2，，，，} 

22、（徐州市20##届高三上学期期中）设是等差数列的前项和，已知，则＿＿＿＿＿＿。

答案：49

23、（盐城市20##届高三上学期期中）在等比数列中，，，则= ＿＿＿＿＿＿ .

答案：512

24、（常州市武进区20##届高三上学期期中考）已知正项等比数列满足： ，若存在两项，使得，则的最小值为＿＿＿＿＿＿ ．

答案：

25、（苏州市20##届高三上学期期中）正项数列{an}满足a1 = 1，a2 = 2，又{}是以为公比的等比数列，则使得不等式＞2013成立的最小整数n为＿＿＿＿＿＿．

答案：6

26、（盐城市20##届高三上学期期中）在数列中，，，设，记为数列的前项和，则=＿＿＿＿＿＿ .

答案：

27 ．（江苏省南京市第五十五中学20##届高三上学期第一次月考数学试题）数列,则是该数列的第_____________________项.

【答案】128  分子、分母之和为2的有1项,为3的有2项,,为16的有15项.而是分子、分母之和为17的第8项.故共有项.   

 28．（江苏省无锡市市北高中20##届高三上学期期初考试数学试题）在等差数列中,若,则_________________.

【答案】4  

29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）20##届高三10月月考数学试题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n+1,求{a_n}的通项公式________________

【答案】4n-5

30．（江苏省南京市20##届高三9月学情调研数学试题）在等差数列{}中,,则数列{}的前n项和=___

【答案】  

31．（江苏省南莫中学20##届高三10月自主检测数学试题）已知等差数列的前项和分别为和,若,且是整数,则的值为_______.

【答案】15 ;  

32．（江苏省南莫中学20##届高三10月自主检测数学试题）等差数列中,已知,,则的取值范围是__________.

【答案】 ; 

33．（江苏省阜宁中学20##届高三第一次调研考试数学（理）试题）设公差为的等差数列的前项和为,若,,则当取最大值时,的值为________.

【答案】9  

34．（江苏省苏州市20##届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为______.

【答案】54     

35．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校20##届高三10月月考数学试题）若S_n是等差数列{a_n}的前n项和,且S₈?S₃=20,则S₁₁的值为_________.

【答案】44  

36．（江苏省阜宁中学20##届高三第一次调研考试数学（理）试题）在等差数列中,,则数列的前5项和=______.

【答案】90   

37．（江苏省南莫中学20##届高三10月自主检测数学试题）已知数列{a_n}为等差数列,若,则数列{|a_n|}的最小项是第_____项.

【答案】6

38．（江苏省诚贤中学20##届高三上学期摸底考试数学试题）已知三数x+log₂₇2,x+log₉2,x+log₃2成等比数列,则公比为________.

【答案】3  

39．（江苏省宿迁市20##届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知数列的前项和,若对任意正整数,恒成立,则实数的取值范围是______.

【答案】     

40 ．（江苏省扬州中学20##届高三开学检测数学试题）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则___▲___．

【答案】6 

 

第二篇：江苏省高三一轮数学复习专题材料 专题2 数列

专题2  数列

江苏省木渎高级中学   潘振嵘

【课标要求】

1.课程目标

通过数列的教学，使学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型，掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并能利用它们解决一些实际问题．通过揭示数列与函数的关系，加深对函数的认识．

2.复习要求

（1）数列：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数．理解数列的通项公式的意义．

（2）等差数列：理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系．

（3）等比数列：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．了解等比数列与指数函数的关系．

3.复习建议

（1）要以等差、等比数列为主，以简单的一般数列、递推数列为辅，重点是等差、等比数列的概念、性质及应用．

（2）处理等差、等比数列问题时，要充分利用等差、等比数列中的基本量（首项、公差、公比等），同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．

（3）要注重数列与函数、不等式、平面向量、解析几何等内容的交叉综合．

（4）要注重化归思想的运用．能将一般数列、递推数列化归为等差、等比数列，然后再用等差、等比数列的概念、性质去解题．

（5）要注重归纳和类比推理能力的培养，从而提高学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力．

（6）要强化数列模型的应用，注意数学语言、普通语言的理解和转化．

【典型例题】

例1 （填空题）

（1）在数列{}中，，则﹦           ．

解析：由得，∴{}是等差数列，∴．

（2）在等比数列中，若则的值为___________．

解析：由，且得．

（3）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为           ．

解析：由题设得，即．

又，所以．故．

（4）一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则           ．

解析：设该数列的公差为，则依题意有， 得，又，∴．从而有．．

（5）已知数列中，则等于____________．

解析：由题得，于是．

（6）已知的前n项之和…﹦            ．

解析：，则…﹦．

（7）已知数列满足（），且，则的取值范围是___________．

解析：，，所以实数的取值范围是．

（8）某地区有1500万互联网用户，该地区某用户感染了某种病毒，假设该病毒仅在被感染的第1小时内传染给另外2个用户，若不清除病毒，则在第22小时内该地区感染此病毒的用户数为                  ()．

解析：在第22小时内该地区感染此病毒的用户数为．

（9）在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的          ．

解析：设等差数列的公差为，则由题设，由可知，且，故，，所以n﹦19．

（10）在数列中，a₁=1，a_n+1=a_n+c (c为常数，)，且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列，设b_n=，则数列的前n项和S_n＝              ．

解析：∵a_n+1=a_n+c，a₁=1，c为常数，∴a_n=1+(n-1)c． ∴a₂=1+c,a₅=1+4c．

又a₁，a₂，a₅成等比数列，∴(1+c)²=1+4c，解得c=0或c=2．

当c=0，a_n+1=a_n不合题意，舍去． ∴c=2．

故a_n=2n-1．∴．

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n =

= = ．

例2  已知数列{}中，（），数列满足．（）

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由．

解：（1），而（），

∴（）．∴数列{}是等差数列．

（2）依题意有，而，∴．                                       

函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数．

故当n＝4时，取最大值3，n＝3时，取最小值-1．

例3  某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：．结果精确到0.1元）

解：设第个月月底的余额为元，则，

，于是

＝……＝

＝．

还清银行贷款后剩余资金为．

答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元．

                                       例4  已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数． 设，求数列的通项公式，并求其前n项和．

      解：由题意得：．∵垂直，

∴．

∵ ，∴

．

当c=1时， ．

当c≠1时， 

．

   例5  已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足．

（1）求数列的前n项和S_n；

（2）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）由题意知，．

，．

．

于是．

两式相减得：

 ．

（2），

∴当n=1时，，当．

∴当n=1时，取最大值是．

又，，

即．

例6  将数列｛a_n｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a₁

a₂  a₃

a₄   a₅  a₆

a₇  a₈   a₉    a₁₀

_……

记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，_…构成的数列为｛b_n｝,b₁=a₁=1． S_n为数列｛b_n｝的前n项和，且满足（n≥2）．

（1）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

解：（1）由已知，，又，所以，

即，所以．

又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

∴，即．

所以，．

．

（2）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．

         因为所以表中第1行至第12行共含有数列｛a_n｝的前78项，故 a₈₁在表中第13行第三列，因此又所以 q=2．

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

则（k≥3）．

【新题备选】

1．  在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（1）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（2）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

解：（1）是等比数列．

证明：设的公比为，的公比为，

则，故为等比数列．

（2）数列，分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即．

故对，，…，

．

于是将代入得，，．

从而有．所以数列的前项和为．

2．  蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数．

（1） 试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；

（2）证明：．

解：（1） 

由于

因此，当时，有

所以

．

又，所以．

（2）当时，． 

所以

．

3．  已知分别以和为公差的等差数列和满足，．

（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；

（2）若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤ 是否对一切正整数恒成立？请说明理由．

解：（1）依题意，， 即， ∴，当且仅当，即时等号成立．

，∴等号不成立．∴原命题成立．

（2）由得，即，

∴，解得，，．

∴，．

（3）在（2）的条件下，，．

要使≤成立，只要≤0成立．

当时，，数列单调减；单调增．

当正整数时，，，；

当正整数时，，，；

当正整数时，，，．

则不等式≤对一切的正整数恒成立．

同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成立．

综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．

4． 已知（其中为中的最小值），若数列的通项公式为．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，求数列的前项和S_n；

（3）求使对一切的恒成立的实数k的取值范围．

解：（1）由已知得 ，

∴．

（2）由（1）及可得，

∴S_n

．

（3）①当．

②当．

③当

．

故命题恒成立．

  ，

，．

由①②③知符合题意的k的取值范围为．

【专题训练】

一、填空题

1．已知等差数列中则n的值为        _．

2．在等比数列中，它的前n项和是时，则公比的值为         ．

3．已知等差数列的首项是，且从第10项开始比1大，则该等差数列的公差的取值范围是__________．

4．数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，，则a_n=          ．

5．等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的=           ．

6．某人为了购买商品房，从20##年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款，到20##年1月1日（当日不存只取）将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为                   元．

7．若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是            ．

8．已知数列，前项和，第项满足，则﹦____       ．

9．设为等差数列的前n项和，若，则=             ．

10．依次写出数列：从第二项起由如下法则确定：如果为自然数且未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则         ．

11．在数列中，均为正实数，则与的大小关系是          ．

12．数列中，，若为等差数列，则

____________________．

13．数列满足，则            ．

14．已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题：

（1）；（2）；（3） ；（4）数列中的最大项为．其中正确命题的序号是_____      ．

二、解答题

   15．设是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且成等比数列．

  （1）求证：；

  （2）求公差的值和数列的通项公式．

   16．设数列的前n项和，．

  （1）求数列的通项公式；

  （2）记，求数列前n项和．

   17．某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）

 

 18．已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．

  （1）求公差的值；

  （2）若，求数列中的最大项和最小项的值；

  （3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

   19．数列满足，．

  （1）求，的值；

  （2）是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；

  （3）求数列的前项和．

   20．已知二次函数同时满足以下两个条件：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前n项和．

  （1）求函数的表达式；

  （2）求数列的通项公式；

  （3）设，，数列{的前n项和为，

求证：．

【专题训练参考答案】

1．50   2．  3．   4．   5．5或6   6．  7．

8．7   9．4   10．1   11． 12．   13． 14．（1）（2） 

15．解：（1）因成等比数列，故 ．

又是等差数列，于是      即，又，∴．

（2）∴由（1）代入上式得，

 ∴因此，数列的通项公式为

16．解：（1）数列的前n项之和．

当n=1时，，

当时，

，而n=1时，满足，故．

（2）∵，

所以数列的前n项和．

17．解：①甲方案获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）．

②乙方案获利：

（万元），银行本息和：

（万元），故乙方案纯利：（万元）．

综上可知，甲方案更好．

18．解：（1）∵，∴，解得．

（2）∵，∴数列的通项公式为．

∴．

∵函数在和上分别是单调减函数，

∴，又当时，．

∴数列中的最大项是，最小项是．

（3）由得．

又函数在和上分别是单调减函数，

且时，；时，．

∵对任意的，都有，∴，∴．

∴的取值范围是．

19．解：（1）由得，．又，．

（2）假设存在实数t ,使得为等差数列．

 则，，

 ，．

为等差数列．

（3）由（1）、（2）知:．  ，．

．

 ．

 ．

 ∴．

．

20．解：（1）的解集有且只有一个元素，．

当a=4时，函数上递减，故存在，使得不等式成立；当a=0时，函数上递增，故不存在，使得不等式成立．综上，得a=4，．

（2）由（1）可知，当n=1时，，

当时，．

．

（3），

．

…+=．