概率初步知识点和题型

总结人：汪老师

【知识梳理】

1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①       必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；

②       不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③       如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1

2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

①       理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。

②       实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算。要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。

3．概率应用：

通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【练习】

随机事件与概率：

一. 选择题

1. 下列事件必然发生的是（）

A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19

B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。

C. 今天下雨。

D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。

2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（）

A. 甲袋  B. 乙袋  C. 两个都一样      D. 两个都不行

3. 下列事件中，属于确定事件的是（）

A. 发射运载火箭成功

B. 20##年，中国女足取得冠军

C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声

D. 掷骰子时，点数“6”朝上

4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（）

A. 英文字母共28个

B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖

C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9

D. 哈尔滨的冬天会下雪

5. 下列事件中属于不可能的事件是（）

A. 军训时某同学打靶击中靶心  B. 对于有理数x，∣x∣≤0

C. 一年中有365天      D. 你将来长到4米高

6、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，

那么袋子中共有球的个数为（）

A. 15      B. 18      C. 20      D. 25

填空题：

1、小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是　　　　　　。

2、初三（一）星期二下午安排了数学、英语、生物各一节课，则把数学课安排在最后一节的概率_________________。

3、甲乙两人去某风景区游玩，每天某一时段开往风景区有三辆汽车（票价相同）。两人分别采取不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；乙是观察后上车，当第一辆车开来时都不上，如果第二辆车比第一辆车好就上第二辆，第二辆车没第一辆好就等着上第三辆车，则甲坐上好车的概率为___________，乙坐上好车的概率为_____________.

4、有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，则两把钥匙同时打开两把锁的概率___________。

5、三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电，小伟只好把茶盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率________________.

6、三张完全相同的贺卡分别送给三位同学，则三位同学都拿到的是送给自己那张贺卡的概率是_____________.

7、在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为。

8、有四张正面分别标有数学－３，０，１，５的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　　　　　　　。

9、将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是　_________　．

10、从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5－m²)x和关于x的方程(m+1)x²+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________。

11、有七张正面分别标有数字-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程x²-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的函数y=x²-(a+1)x-a+2的图像不经过点（1,0）的概率是__________________.

12、m的值可以取0、1、2、3中的一个数，n可以取0、1、3中的一个数，则使方程mx-2=n(x+1|n)的解是正整数的概率____________.

13、已知a_i不等于0（i=1、2、3…….2012）满足

使直线y=a_i+i(i=1、2、3……..2012)的图像经过一、二、四象限的a_i概率________________.

解答题：

1、减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措。某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时—3小时”、“3小时—4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同不同小组的概率。

2.随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通

高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该校近四年保送生人数的极差是　_________　．请将折线统计图补充完整；

（2）该校20##年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情

况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．

3．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。

4．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；

（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

第二篇：概率初步知识点和题型

概率初步知识点和题型

【知识梳理】

1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①       必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②       不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；③       如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1

2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①       理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。②       实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算。要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。

3．概率应用：

通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。

【练习】

随机事件与概率：

一. 选择题

1. 下列事件必然发生的是（   ）

A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。

C. 今天下雨。D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。

2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（   ）

A. 甲袋                B. 乙袋              C. 两个都一样       D. 两个都不行

3. 下列事件中，属于确定事件的是（   ）

A. 发射运载火箭成功    B. 20##年，中国女足取得冠军

C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声D. 掷骰子时，点数“6”朝上

4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（   ）

A. 英文字母共28个B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖

C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9

D. 哈尔滨的冬天会下雪

5. 下列事件中属于不可能的事件是（    ）

A. 军训时某同学打靶击中靶心       B. 对于有理数x，∣x∣≤0

C. 一年中有365天                 D. 你将来长到4米高

6、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，

那么袋子中共有球的个数为（   ）

A. 15                    B. 18                   C. 20                      D. 25

用列举法求概率：

填空题：

1、小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是　　　　　　。

2、初三（一）星期二下午安排了数学、英语、生物各一节课，则把数学课安排在最后一节的概率_________________。

3、甲乙两人去某风景区游玩，每天某一时段开往风景区有三辆汽车（票价相同）。两人分别采取不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；乙是观察后上车，当第一辆车开来时都不上，如果第二辆车比第一辆车好就上第二辆，第二辆车没第一辆好就等着上第三辆车，则甲坐上好车的概率为___________，乙坐上好车的概率为_____________.

4、有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，则两把钥匙同时打开两把锁的概率___________。

5、三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电，小伟只好把茶盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率________________.

6、三张完全相同的贺卡分别送给三位同学，则三位同学都拿到的是送给自己那张贺卡的概率是_____________.

7、在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为             。

8、有四张正面分别标有数学－３，０，１，５的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　　　　　　　。

9、将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是　_________　．

10、从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5－m²)x和关于x的方程(m+1)x²+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________。

11、有七张正面分别标有数字-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程x²-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的函数y=x²-(a+1)x-a+2的图像不经过点（1,0）的概率是__________________.

12、m的值可以取0、1、2、3中的一个数，n可以取0、1、3中的一个数，则使方程mx-2=n(x+1|n)的解是正整数的概率____________.

13、已知a_i不等于0（i=1、2、3…….2012）满足

使直线y=a_i+i(i=1、2、3……..2012)的图像经过一、二、四象限的a_i概率________________.

解答题：

1、减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措。某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时—3小时”、“3小时—4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）       求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同不同小组的概率。

2.随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通

高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该校近四年保送生人数的极差是　_________　．请将折线统计图补充完整；

（2）该校20##年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．

3．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。

4．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；

（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学． 现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

5、有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。

（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；

（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。

概率的实际应用：

1、集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1－20号），另外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完全相同。规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1—20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。

（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？

2、调查员希望了解某水库中鱼的养殖情况；

⑴怎样了解鱼的平均质量？

⑵怎样了解鱼的总尾数？