高一数学集合知识点总结

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；

2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ；

②若 ， ，则 ；

③若 且 ，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}

对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴ ∴

变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。 解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。 解答：（1）若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练

选择题

1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

2．集合{1，2，3}的真子集共有

（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个

3．集合A={x } B={ } C={ }又 则有

（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个

4．设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是

（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U

（C）A CUB= （D）CUA B=

5．已知集合A={ }， B={ }则A =

（A）R （B）{ }

（C）{ } （D）{ }

6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为

{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是

（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）

（C）只有（2） （D）以上语句都不对

7．设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=

（A）X （B）T （C）Φ （D）S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为

（A）R （B） （C）{ } （D）{ }

填空题

9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=

11.若A={x } B={x },全集U=R，则A =

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

13设集合A={ },B={x },且A B，则实数k的取值范围是。

14.设全集U={x 为小于20的非负奇数}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，则A B=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求实数a。 16(12分)设A= ， B= ，

其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

1 2 3 4 5 6 7 8

C C B C B C D D

填空题

9．{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A （Ⅰ）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1 (Ⅱ)B={0}或B={-4}时， 0 得a=-1 （Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1

综上所述实数a=1 或a -1

第二篇：高一化学方程式总结元素化合物化学方程式集锦

氯、溴、碘及其化合物

H2＋Cl2＝2HCl（爆炸）1.H2＋Cl2＝2HCl （苍白色火焰）

点燃

光照

2．

MnO2＋4HCl（浓）=MnCl2＋2H2O＋Cl2? （实验室制备Cl2）MnO2＋4H＋2Cl=Mn＋2H2O＋Cl2?

＋

－?

?

2＋

Cu＋Cl2＝CuCl（棕黄色）3．2Fe＋3Cl2＝2FeCl3 （棕褐色） 2

点燃点燃

2Na+Cl2 ＝2NaCl (白烟)

4．Cl2+H2OHCl+HClO (Cl2只有少量的与水反应，大量的Cl2以分子形式存在于水溶液中，所以氯水呈黄绿色)

光照

2HClO2HCl+O2↑（新制氯水久置后成为稀盐酸） 5． Cl2+2NaOH＝NaCl+NaClO+H2O 2Cl2+2Ca(OH)2＝CaCl2+Ca(ClO)2+2H2O (工业生产漂粉精)

漂白原理：Ca(ClO)2+2HCl＝CaCl2+2HClO Ca(ClO)2+H2O+CO2＝CaCO3↓+2HClO

点燃

Cl2＋2KBr＝2KCl＋Br2 Cl2＋2Br－＝2Cl－＋Br2

6．Cl2＋2KI＝2KCl＋I2 Cl2＋2I－＝2Cl－＋I2

Br2＋2KI＝2KBr＋I2 Br2＋2I－＝2Br－＋I2

7．

AgNO3＋NaBr＝AgBr?（淡黄色）＋NaNO3 Ag＋＋Br－＝AgBr?AgNO3＋NaI＝AgI?（黄色）＋NaNO3 Ag＋＋I－＝AgI?

8* 2F2+2H2O＝4HF+O2

钠、镁及其化合物

1．

4Na＋O2=======2Na2O（白色） 2Na2O＋O2＝2Na2O22Na＋O2==2Na2O2 （淡黄色）

点燃

空气中缓慢氧化

?

2Na+S＝Na2S (研磨爆炸)

2．

2Na＋2H2O＝2NaOH＋H2? 2Na＋2H2O＝2Na＋+2OH－＋H2?2Na＋2HCl＝2NaCl＋H2? 2Na＋2H＋＝2Na＋＋H2?*2N＋a

Cu4＋SO2

2

2

＝HO（Cu）2?O＋H

＋

2

＋NS2O4a?

H

2＋2N＋aCu＋2H＝O2

Na（+Cu）＋H2?2?O

H

3．2NaCl＝2Na＋Cl2? (工业制备金属钠） 4．Na2O+H2O＝2NaOH Na2O+CO2＝Na2CO3

2Na2O2＋2H2O＝4NaOH＋O2? 2Na2O2＋2H2O＝4Na＋＋4OH－＋O2?2Na2O2＋2CO2＝2Na2CO3＋O2

（试分析转移电子数）

电解

5．.强酸制弱酸：Na2CO3+2HCl＝2NaCl+H2O+CO2↑ CaCO3+2HCl＝CaCl2+H2O+CO2↑

2CH3COOH+Na2CO3＝2CH3COONa+H2O+CO2↑

注意：CaCl2或BaCl2溶液中通入CO2无CaCO3或BaCO3沉淀生成，原因弱酸一般不制强酸 ．．常见的弱酸：H2CO3、H2SO3、HClO、H2S、HF、CH3COOH、H3PO4(中强)、H2SiO3 常见的强酸：H2SO4、HNO3、HCl、HBr、HI、HClO4

6．

2－Na2CO3＋2HCl＝2NaCl＋H2O＋CO2? CO3＋2H＋＝H2O＋CO2?＋NaHCO3＋HCl＝NaCl＋H2O＋CO2? HCO－3＋H＝H2O＋CO2?

7．Na2CO3

NaHCO3

?＋?Na2CO3?

＋?3?Na2CO

H＝ClC＋O2

N＋aCl

2

N3aHCO 2－ 3＋ ＋ ＝ － C3O

2－

2NaH 3 ＋ 2 ＝C22O3CO ＋

－

HCO3O2H

HCOHOCO

HCOHO

H＝O

－－2－

?NaHC＋ONa＝OHN＋aCOHO ＋ ＝ HC＋323233O????ONa＋CO2＋HO?2CO3＝23?2NaHC

2NaHCO3＋Ca（OH）＝Na2CO3＋CaCO3?＋2H2O2（少）

※

2＋2－

2HCO－＋2OH－＝CO3＋CaCO3?＋2H2O3＋Ca

NaHCO3＋Ca（OH）＝NaOH＋CaCO3?＋H2O2（足）

2＋HCO－＋OH－＝CaCO3?＋H2O3＋Ca

8．NaCl＋NH3＋CO2＋H2O＝NaHCO3?＋NH4Cl (侯氏制碱法主要反应） 9． CaCO3

高温

CaO+ CO2↑ CaO+H2O＝Ca(OH)2

点燃

点燃

10．2Mg＋O2＝2MgO 3Mg＋N2＝Mg3N2 2Mg＋CO2＝2MgO＋C

点燃

从铝土矿到铝合金

?Al2O3＋2NaOH＝2NaAlO2＋H2O

?

NaAlO2＋CO2＋H2O＝NaHCO3＋Al（OH）3 ? ???1．铝的提取? 2Al（OH）＝AlO＋HO3232?

电解?

2AlO?23＝4Al＋3O2??

2．2Al＋Fe2O3＝2Fe＋Al2O3 （铝热反应）利用此反应还可以把其它过渡元素从它们的氧化物(如MnO2、

Fe3O4、Cr2O3、V2O5等)中还原出来但不用来冶炼铁；还可用来焊接钢轨（放出大量的热）

＋3＋

??2Al＋6HCl＝2AlCl3＋3H2? 2Al＋6H＝2Al＋3H2?3． ? －－

2Al＋2HO＋2NaOH＝2NaAlO＋3H? 2Al＋2HO＋2OH＝2AlO＋3H???222222

高温

＋3＋??Al2O3＋6HCl＝2AlCl3＋2H2O Al2O3＋6H＝2Al＋2H2O

?－－

??Al2O3＋2NaOH＝2NaAlO2＋H2O Al2O3＋2OH＝2AlO2＋H2O

＋3＋??Al（OH）3＋3HCl＝AlCl3＋3H2O Al（OH）3＋3H＝Al＋3H2O

?－－

Al（OH）＋NaOH＝NaAlO＋2HO Al（OH）＋OH＝AlO＋2HO?322322?

3＋－?＝Al（OH）3?＋3NaCl Al＋3OH＝Al（OH）3??AlCl3＋3NaOH（少）

?－＋

NaAlO＋HCl＋HO＝Al（OH）?＋NaCl AlO＋H＋HO＝Al（OH）??223223（少）?

?＝NaAlO2＋3NaCl＋2H2O Al3＋＋4OH－＝AlO－?AlCl3＋4NaOH2＋2H2O（足）

?3＋＋

AlCl＋3NH?HO＝Al（OH）?＋3NHCl Al＋3NH?HO＝Al（OH）?＋3NH?332（足）343234?

4．Al3++3H2

OAl(OH)3(胶体)+3H+ (水解方程式，明矾的净水原理)

铁、铜的获取及应用

1．H2、CO、Al、C都可以把铁从化合物(FeO、Fe3O4、Fe2O3)中还原出来

2． Fe+SFe 2Cu+SCu2S

2Fe+3Cl2点燃 2FeCl3 Cu+Cl2点燃 CuCl2 FeSO4+2NaOH=Fe(OH)2↓+Na2SO4 4Fe(OH)2+O2+2H2O＝4Fe(OH)3

白色沉淀迅速变成灰绿色最后变成红褐色

3．

2＋－

???FeCl2＋2NaOH＝Fe（OH）2?＋2NaCl Fe＋2OH＝Fe（OH）2?????2＋O2＋2H2O＝4Fe（OH）3?4Fe（OH）

Fe2＋的检验? 2＋3＋－

?2FeCl2＋Cl2＝2FeCl3 2Fe＋Cl2＝2Fe＋2Cl??

??FeCl＋3KSCN＝Fe（SCN）3＋－

33＋3KCl Fe＋3SCN＝Fe（SCN）3???

3＋－??FeCl3＋3NaOH＝Fe（OH）3?＋3NaCl Fe＋3OH＝Fe（OH）3?

4． Fe的检验? 3＋－

FeCl＋3KSCN＝Fe（SCN）＋3KCl Fe＋3SCN＝Fe（SCN）?333?

3＋

?Fe＋2Fe3＋＝3Fe2＋

?2＋3＋－＋2

?2Fe＋Cl＝2Fe＋2ClCu＋2Fe3＋＝2Fe2＋Cu＋?22＋3＋3＋2＋?5．Fe?Fe?2＋ Fe?Fe? 3＋2＋＋3＋－??*2Fe＋H2S＝2Fe＋S?＋2H?2Fe＋Br2＝2Fe＋2Br

?*2Fe3＋＋2I－＝2Fe2＋＋I?2

含硅矿物与信息材料

2－

?SiO2＋2NaOH＝Na2SiO3＋H2O SiO2＋2OH－＝SiO3＋H2O?2－2－??Na2SiO3＋CO2＋H2O＝H2SiO3?＋Na2CO3 SiO3＋CO2＋H2O＝H2SiO3?＋CO3

1． ? 2－＋

NaSiO＋2HCl＝HSiO?＋2NaCl SiO＋2H＝HSiO?323323?2

??

??H2SiO3＝SiO2＋H2O高温

?

?SiO2＋2C＝Si＋2CO?高温

?高温???SiO2＋Na2CO3＝Na2SiO3＋CO2?

2． 玻璃的生产? 硅的制取与提纯?Si＋2Cl2＝SiCl4 高温

??SiO＋CaCO＝CaSiO＋CO?高温

2332??SiCl4＋2H2＝Si＋4HCl

??

3．Si＋2NaOH＋H2O＝Na2SiO3＋2H2?（类似Al）

SiO2+4HF＝SiF4↑+2H2O (用于雕刻玻璃)氢氟酸与玻璃反应因此氢氟酸保存在塑料瓶中

注意：Si不与硫酸、硝酸反应，SiO2不溶于水，不与酸（除氢氟酸）反应

含硫化合物的性质和应用

1．2Al＋3S＝Al2S3 Fe＋S＝FeS 2Cu＋S＝Cu2S Hg＋S＝HgS 2．

?

?

?

?SO2＋Ca(OH)2＝CaSO3＋H2O

石灰石－石膏脱硫?

?2CaSO3＋O2＝2CaSO4

?SO2＋2NH3＋H2O＝(NH4)2SO3

?

氨水脱硫?SO2＋NH3＋H2O＝NH4HSO3

?2(NH)SO＋O＝2(NH)SO

4232424?

3．工业上制硫酸：4FeS2+11O24． SO2+H2O

高温

2Fe2O3+ 8SO2↑2SO2+O2

催化剂

2SO3 SO3+H2O＝H2SO4

H2SO3 SO2+2NaOH＝Na2SO3+H2O SO2+X2+2H2O＝H2SO4+2HX (X=Cl、Br、I)

2H2SO3+O2＝2H2SO4 (亚硫酸变质) 2Na2SO3+O2＝2Na2SO4 (Na2SO3溶液变质)

5．SO2+2NaHCO3＝Na2SO3+ H2O +2CO2 (除CO2中SO2用饱和的NaHCO3溶液，强酸制弱酸) 6． Cu+2H2SO4(浓)CuSO4+ SO2↑+2H2O C+2H2SO4(浓)CO2↑+2SO2↑+2H2O

H2S + H2SO4(浓)＝S↓+SO2↑+ 2H2O 2H2S +SO2＝3S + 2H2O (若在溶液中进行的S打↓)

生产生活中的含氮化合物

1．

N2 + H2

NH3

(工业合成氨) N2 + O2

2NO 2NO2

N2O4

2． 2NH4Cl+Ca(OH)2CaCl2+2NH3↑+H2O (实验室制氨气)

NH3与CaCl2、CuSO4、浓硫酸都反应，所以干燥NH3不用CaCl2、CuSO4、浓硫酸而用碱石灰

3．

工业上制硝酸：4NH3 + 5O2 4

．NH3 + H2O

NH3·H2O

2NO+O2＝2NO2 (红棕色) 3NO2+H2O＝2HNO3+NO

4NO + 6H2O NH４＋＋OH－

(大量NH3已转化为一水合氨，一水合氨只有少量电离)

＋HCl＝NH4Cl（白烟，检验NH3）5．NH3（g） NH3·H2O+HCl＝NH4Cl+H2O （g）（s）

2NH3·H2O+MgCl2＝Mg(OH)2↓+2NH4Cl 3NH3·H2O+AlCl3＝Al(OH)3↓+3NH4Cl （实验室制Al(OH)3）

NH3·H2ONH3↑+H2O NH4ClNH3↑+HCl↑ (NH4)2CO3

6．2NO + O2== 2NO2 4NO + 3O2 + 2H2O==4HNO3

3NO2 + H2O ==2HNO3 + NO 4NO2 + O2 + 2H2O ==4HNO3

2NH3↑+H2O+CO2↑

7．

2＋

Cu＋4HNO（浓）＝Cu(NO3)2＋2NO2?＋2H2O Cu＋4H＋＋2NO－33＝Cu＋2NO2?＋H2O2＋3Cu＋8HNO（稀）＝3Cu(NO3)2＋2NO?＋4H2O 3Cu＋8H＋＋2NO－33＝Cu＋2NO?＋H2O

8HNO3(稀)+3Fe（过量）===3Fe(NO3)2+2NO↑+4H2O 4HNO3(稀)+Fe（不足）===Fe(NO3)3+NO↑+2H2O C+4HNO3(浓)＝4NO2↑+CO2↑+2H2O Fe、Al遇冷的浓硝酸、或冷的浓硫酸钝化 HNO3(常见强氧化剂)与H2S、BaSO3、HI、HBr、Fe、S、SO3、I、Br等发生氧化还原反应

2+

2-2---

8．4HNO3

光照

（了解） 4NO2↑+O2↑+2H2O 2CO＋2NO＝2CO2＋N2 （汽车尾气处理）

催化剂