人教版六年级数学上册概念知识点整理

 人教版六年级数学上册概念知识点整理

第一单元 位置

1、     用数对确定点的位置，如（3，5）表示：（第三列，第五行）

几 列         几 行 

↓               ↓

竖排叫列　　    横排叫行

一般（从左往右看）   （从前往后看）

2、     平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。

3、     图形左、右平移：   行不变         图形上、下平移：    列不变

第二单元 分数乘法

一、分数乘法

（一）分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如：  ×5表示求5个的和是多少？

              也表示的5倍是多少？

5×  表示求5的是多少

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。   

 例如：  ×表示求的是多少？

（二）分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

  4、分数连乘的计算方法：先约分，就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分，再用分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母。

（三）、规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

      一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

      一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律：   a × b = b × a

   乘法结合律：  ( a × b )×c = a × ( b × c )

乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c

二、分数乘法的解决问题

（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）

1、画线段图：

（1）两个量的关系：画两条线段图；       （2）部分和整体的关系：画一条线段图。

2、找单位“1”：  一般在分率句中分率的前面；或 “占”、“是”、“比”的后面

3、求一个数的几倍：  一个数×几倍；       求一个数的几分之几是多少：  一个数×。

4、写数量关系式技巧： 

（1）“的”  相当于   “×”      “占”、“是”、“比”相当于“ = ”

（2）分率前是“的”：              单位“1”的量×分率=分率对应量

（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

三、倒数

1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。

（要说清谁是谁的倒数）。

2、求倒数的方法：

（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

（4）、求小数的倒数：  把小数化为分数，再求倒数。

3、1的倒数是1； 0没有倒数。   因为1×1=1；0乘任何数都得0，（分母不能为0）

4、 对于任意数，它的倒数为；非零整数的倒数为；分数的倒数是；

5、 真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

第三单元 分数除法

一、   分数除法

1、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积          除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

     分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：

 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3、规律（分数除法比较大小时）：

 （1）、当除数大于1，商小于被除数；

 （2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

 （3）、当除数等于1，商等于被除数。

4、 “”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，                    再算中括号里面的。

二、分数除法解决问题

（未知单位“1”的量（用除法）：

已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”：                单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

2、解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程：   根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：   对应量÷对应分率 = 单位“1”的量  

3、求一个数是另一个数的几分之几：就   一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：   两个数的相差量÷单位“1”的量  或：

① 求多几分之几：大数÷小数 – 1     

② 求少几分之几： 1 -  小数÷大数

三、比和比的应用

（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比的后项不能为0，因为比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0.

例如  15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）

        ∶   ∶    ∶     ∶     

      前项  比号  后项   比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：  路程÷速度=时间。

4、求比值的方法：用比的前项除以比的后项。

5、区分比和比值

比：表示两个数的倍数关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。有比的前项和比的后项

比值：相当于商，是一个数，是一个结果，可以是整数，分数，也可以是小数。

6、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。例如3：2也可以写成，仍读作“3:2”。

7、　比和除法、分数的联系：

8、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

9、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。        

体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4.化简比：        

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

（1）               ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

（2）用求比值的方法。

如：     15∶10 = 15÷10 =  = 3∶2

5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

如：  已知两个量之比为，则设这两个量分别为。

6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）

   工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）

（三）和比的应用题有关的概念

1、求每份数的方法

和÷分数和=每份数     相差数÷相差份数=每份数      部分数÷对应份数=每份数

2、图形求比的常见公式

长方体：（长+宽+高）的和=棱长和÷4           长方形： （长+宽）的和=周长÷2

3、相遇问题

 速度和 = 路程÷相遇时间

第四单元   圆

一、   认识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．（画圆切忌别忘记标圆心0）

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（画圆给出半径标半径r=?，给出直径标直径d=?）

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。

用字母表示为：d＝2r或r ＝ 或r=d÷2

8、轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：   长方形

只有3条对称轴的图形是：   等边三角形

只有4条对称轴的图形是：   正方形;

有无数条对称轴的图形是：   圆、圆环。

二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率实验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。圆的周长总是它直径的3倍多一些。

3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai） 表示。

（1）一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。

（2）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

（3）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式： C= πd                   d = C ÷π

或C=2π r                  r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2           计算方法：2π r ÷ 2   即   π r 

（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。  计算方法：πr＋2r  πr＋d                                                   

三、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。  用字母S表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导：

（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径    =      长方形的宽  

圆的周长的一半    =      长方形的长   

因为：        长方形面积    =      长     ×   宽

 

所以：             圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

                         S圆 = πr × r =  πr²

 圆的面积公式：      S_圆 =   πr²                 r²  =  S ÷ π

圆的面积公式：      S =πr²  ÷2      或S = πr²

圆的面积公式：      S =πr²  ÷4      或S = πr²

4、环形的面积：（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）

   一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）

S_环= πR²－πｒ²　    或

环形的面积公式：      S_环  = π（R²－ｒ²）。

求环形的面积，一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r）

再代入公式计算。一步一步的来，这样不容易错误。注意用公式S_环  = π（R²－ｒ²）

计算时，要先算出2个平方数，再相减。切忌相减后再平方。

5、扇形的面积计算公式：     S_扇 = πr²×（n表示扇形圆心角的度数）

6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。      例如：

在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。

7、两个圆：  半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。    例如：

两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9

8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π

   圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：1

   圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：1

9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

10、周长计算公式：

知道半径求周长：C=2πr    知道直径求周长：C=πd 

已知周长：D=C÷π           圆周长的一半：周长（曲线）

半圆的周长：周长+直径    C =πr＋2r

面积计算公式：（无论是知道直径或者周长，都应该先求出半径，再求面积）

知道半径求面积：S=πr²     知道直径求面积：S=π（d÷2）² 

知道周长求面积：S=π（C÷π÷2）²

11、确定起跑线：

（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）

（3）每相邻两个跑道相隔的距离是：  2×π×跑道的宽度

（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

12、常用各π值结果：

 π = 3.14

2π = 6.28  

3π = 9.42

 5π = 15.7

 6π = 18.84 

7π = 21.98 

9π = 28.26

10π = 31.4             

16π = 50.24 

36π = 113.04

64π = 200.96

96π = 301.44

4π = 12.56           8π = 25.12         25π = 78.5

13、常用平方数结果

 = 121        = 144      = 169       = 196     = 225    

 = 256        = 289      = 324       = 361   

第五单元  百分数

一、百分数的意义和写法

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”，百分数后面不能带单位名称。

2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

3、百分数和分数的主要联系与区别：

（1）    联系：都可以表示两个量的倍比关系。

（2）  区别：

①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

③、百分数的读法和分数的读法大体相同，也是先读分母，后读分子，但要注意读百分数的分母时，不能读成一百分之几，而只能读作“百分之几”

4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。

二、百分数和分数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化： 

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

（二）百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数：

先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数：

① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。

② 先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化

 = 0.5 = 50%                    = 0.2 = 20%                = 0.625 = 62.5%   

 = 0.25 = 25%                   = 0.4 = 40%                = 0.125 = 12.5%  

 = 0.75 = 75%                   = 0.6 = 60%                = 0.375 = 37.5%

 = 0.0625 = 6.25%              = 0.8 = 80%                = 0.875 = 87.5%

 = 0.04 = 4﹪     = 0.08 = 8﹪      = 0.12 = 12﹪      = 0.16 = 16﹪ 

三、用百分数解决问题

（一）一般应用题

1、常见的百分率的计算方法：

①合格率 =                ②发芽率 =  

③出勤率 =                  ④达标率 =

⑤成活率 =                ⑥出粉率 =         

⑦烘干率 =       ⑧含水率 =

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）

2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：

数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”：               单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。

 解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程：   根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：  分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量  

4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：

两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%             或：

①  求多百分之几：（大数÷小数 – 1） × 100%    

② 求少百分之几：（ 1 -  小数÷大数）× 100%  

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。

几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

2、　一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%

几成”就是十分之几，也就是百分之几十。    如：五成表示（    ）%

    “折扣”表示某种商品降价的幅度。           如：75折就表示现价是原价（    ）%

（三）、纳税

1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率

（四）利息

1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

3、本金：存入银行的钱叫做本金。

4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

5、利率：利息与本金的比值叫做利率。

6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）

8、本息=本金+利息

第六单元   统计

一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。

二、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。

3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）

第七单元   数学广角

一、“鸡兔同笼”问题的特点：

题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。

二、“鸡兔同笼”问题的解题方法

1、猜测法

2、假设法

（1） 假如都是兔

（2） 假如都是鸡

（3） 古人“抬脚法”：

解答思路：

假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。关系式：

鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数 = 兔的只数；         鸡兔总数 - 兔的只数 = 鸡的只数。

3、列方程法