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弹塑性力学综述
摘要：弹塑性力学是一门古老的力学，早在16世纪已经有人对其进行研究了，到19世纪才逐渐形成完整的力学体系。在当代工程设计，施工中必须有坚实的力学基础，而弹塑性力学是力学基础的重要部分，是高等工程类人才只是结构中必不可少的部分，对于一些力学问题，他能给出比较精确的解。对于研究生而言，弹塑性力学是力学模型受力分析，破坏分析的基础；在课题的研究中有很重要的位置。 关键字：弹性力学；塑性力学；发展史；应用
Abstract: the elastic and plastic mechanics is an ancient mechanics, as early as the 16th century has been studied, until the 19th century gradually formed a complete system of mechanics. In modern engineering design and construction must have a solid mechanics foundation, the elastic and plastic mechanics is an important part of mechanical foundation, is the indispensable part of higher engineering talent just structure, for some mechanical problems, he can give a more accurate solution. For graduate students, the stress analysis of elastic-plastic mechanics is mechanical model the basis of analysis of the damage. In the research has very important position.
Keywords: the elastic and plastic mechanics; The history of the mechanics; application
0、引言：
弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要部分，固体力学是研究材料及其构成的物体结构在外部干扰下的力学响应的科学对按其研究对象而区分为不同的学科分支。 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学最基本也是最主要的内容，从宏观现象规律的角度，利用连续数学的工具研究任意形状的弹性物体受力后的变形、各点的位移、内部的应变与应力的一门科学，它的研究对象是“完全弹性体”。塑性力学又称塑性理论，是研究物体塑性的形成及其应力和变形规律的一门科学，它是继弹性力学之后，对变形体承载能力认识的发展深化。
一、弹性力学发展史：
1.1 萌芽阶段：1600—1700年（文艺复兴时期）。代表人物：达芬奇，伽利略，牛顿，胡克。胡克发表了一篇《of spring》第一次揭示了力与变形的关系。
1.2 奠基阶段：1700—1880年。之后雅科比把胡可定律写成。而且第一次开始着重考虑变形问题，在梁的变形研究上有着突出的贡献。他弟弟，约翰-贝努利（1667—1748），第一次给出了虚位移原理的表
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达式。贝努利的儿子丹尼尔-贝努利（1700—1782年）给出了柱形干横向振动的微分方程。约翰-贝努利的好朋友欧拉应用变分原理，得出了弹性杆的变形规律。其表达式如下
但是他没有推出常数C。后来纳威尔（1785—1836）给出了常数C，并且推出弹性体的变形平衡方程
泊松，得出了泊松比的概念，为三维物体的变形方程建立奠定了基石。克西（1789—1857）给出了应力又称为克西应力（二阶对称张量）的概念，基本假设是小变形；克西原理（三维物体面力与应力的对应关系）；连续体的运动方程和边界条件；几何方程，到此弹性力学的基本框架就建立完整了。格林（1793—1841）给出了弹性势函数，并且得出弹性体有独立的21个弹性常数，格林函数求解弹性问题的方法。纳为的学生圣维南，给出弹性体小边界假设（圣维南原理），半逆解法，求解非圆截面柱形杆的弯曲和扭转问题。德国科学家克里霍夫，给出了弹性薄板的比较精确的求解方法。德国科学家Helmholtz从能量的角度来求解弹性问题。
1.3 大厦成形阶段：1880—19xx年。科学家Ausgusyus Edawrd Hough Love推出无限大题的点源理论，来模拟地震问题。编写了《弹性的数学理论教程》，至今被广泛使用。钱苏联科学家铁木辛柯研究了弹性地基梁，板壳力学，弹性振动理论。中国科学家，钱学森，钱伟长在薄壁结构的大挠度屈曲问题研究上有着突出的贡献。Kolosov和其学生Muskhelishivili发展了弹性问题的复变函数解法。空间拓展阶段1950—现在。荷兰科学家Warner T,Koiter（1916—1999）突出的研究了静力稳定性，运动稳定性和动力稳定性，在结构缺陷敏感性（位错）有突出的贡献。在弹性力学的基础之上又出现了断裂力学，其代表性人物是Griffith，Lrwin，Rice。
1.4 现代弹性力学阶段：1950—现在。有限元的出现：传统传统的局限性为有限元的出现奠定了社会基础，例如复变函数的应用主要解决平面问题，而且有求结构形状比较规则。于是美国科学家Courant提出了结构离散化的概念，让每个微元体都满足弹性力学方程，让后集成协调整体。Clourant，Ziekiewitz，Feng Kang（中科院）是其代表人物。Rivlin（1960）研究了大变形弹性问题（橡胶），给出了有限变形理论，张量表示定理，Mooney—Rivlin理论。Eshelby，Lehnitskii，Stroh几位科学家研究了各向异性弹性问题。
二、塑性力学发展史：
塑性力学作为固体力学的一个重要分支，其发展的历史虽然可以迟朔到上个世纪的70年代，但真得到充分发展并日臻成熟的是在本世纪的40年代和50年代初。特别是理想塑性理论，这时已达到成熟并开始在工程实践中得到应用的阶段。 塑性变形现象发现较早，然而对它进行力学研究，是从1773
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年库仑Coulomb土壤压力理论，提出土的屈服条件开始的。
H．Tresca于1864年对金属材料提出了最大剪应力屈服条件。随后圣维南于1870年提出在平面情况下理想刚塑性的应力-应变关系，他假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，并解出柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题以及厚壁筒受内压的问题。Levy于1871年将塑性应力-应变关系推广到三维情况。19xx年格斯特通过薄管的联合拉伸和内压试验，初步证实最大剪应力屈服条件。
此后20年内进行了许多类似实验，提出多种屈服条件，其中最有意义的是Mises于19xx年从数学简化的要求出发提出的屈服条件(后称米泽斯条件)。米泽斯还独立地提出和Levy一致的塑性应力-应变关系(后称为Levy-Mises本构关系)。泰勒于19xx年，Lode于19xx年为探索应力-应变关系所作的实验都证明，莱维-米泽斯本构关系是真实情况的一级近似。
为更好地拟合实验结果，罗伊斯于19xx年在普朗特的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。但当时增量理论用在解具体问题方面还有不少困难。早在19xx年亨奇就提出了塑性全量理论，由于便于应用，曾被纳戴等人，特别是伊柳辛等苏联学者用来解决大量实际问题。 虽然塑性全量理论在理论上不适用于复杂的应力变化历程，但是计算结果却与板的失稳实验结果很接近。为此在19xx年前后展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使从更根本的理论基础上对两种理论进行探讨。另外，在强化规律的研究方面，除等向强化模型外，普拉格又提出随动强化等模型。电子计算机的发展，为塑性力学的研究和应用开展了广阔的前景，特别是促进了有限单元法的应用。19xx年，Argyris提出初始荷载法可作为有限单元发解弹塑性问题的基础。自此理想塑性的塑性力学已经达到定型的阶段，而具有加工硬化的塑性力学至今仍是在发展中研究课题。
20世纪60年代以后，有限元法的发展，提供恰当的本构关系已成为解决问题的关键。所以70年代关于塑性本构关系的研究十分活跃，主要从宏观与微观的结合，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究。 在实验分析方面，也开始运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。另外，由于出现岩石类材料的塑性力学问题，所以塑性体积应变以及材料的各向异性、非均匀性、弹塑性耦合、应变弱化的非稳定材料等问题正在研究之中。
三、弹性力学的基本方程：
3.1 基本假设： 1．假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
2．假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成比例。
3．假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。
4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。
5．假定位移和形变是微小的。
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3.2 基本方程：
在各向同性线性弹性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程和边界条件的表达式。
直角坐标系下的弹性力学的基本方程为
1．平衡微分方程：
2．几何方程：
3．物理方程：
4．在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为
5．满足相容方程：
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注：1．式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标向量的分量；2．式中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx、εy、εz、γyz、γxz、γxy为应变分量；3．式中的E和v分别表示杨氏弹性模量和泊松比。这样就将弹性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏微分方程的问题。
主要解法式(1)、(2)、(3)中有15个变量，15个方程，在给定了边界条件后，从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见，应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的，因此求解弹性力学问题通常有两条途径。其一是以位移作为基本变量，归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程，这个方程可以从(1)、(2)、(3)式中消去应变分量和应力分量而得到。其二是以应力作为基本变量，应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外，为保证物体变形的连续性，对应的应变分量还须满足5．。
这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。
在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。
四、塑性力学的基本简介：
塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。
4.1 分类：
一般将塑性力学分为数学塑性力学和应用塑性力学，其含义同将弹性力学的分为数学弹性理论和
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应用弹性力学是类似的。前者是经典的精确理论，后者是在前者各种假设的基础上，根据实际应用的需要，再加上一些补充的简化假设而形成的应用性很强的理论。从数学上看，应用塑性力学粗糙一些，但从应用的角度看，它的方程和计算公式比较简单，并且能满足很多结构设计的要求。
4.2 塑性力学的主要内容：
从学科建立过程来看，塑性力学是以实验为基础，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。塑性力学的基本实验主要分两类：单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。由静水压力实验得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小（岩土材料则不同）。
为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的基本假设有：①材料是各向同性和连续的。②平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。这个假定主要根据是著名的Brid-gman试验。③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料；对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。
4.3 塑性力学的应力-应变曲线通常有5种简化模型：
①理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不明显的材料。②线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质的材料。③理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料。④线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。⑤幂强化模型，为简化计算中的解析式，可将应力-应变关系的解析式写为σ＝σy（ε／εy）n，式中σy为屈服应力，εy为与σy相对应的应变，n为材料常数。屈服条件和本构关系在复杂应力状态下，判断物体屈服状态的准则称为屈服条件。屈服条件是各应力分量组合应满足的条件。对于金属材料，最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件（又称特雷斯卡屈服条件）和弹性形变比能屈服条件（又称米泽斯屈服条件）。对于岩土材料则常用特雷斯卡屈服条件、德鲁克-普拉格屈服条件和莫尔-库伦屈服条件。对于强化或软化材料，屈服条件将随塑性变形的增长而变化，改变后的屈服条件称为后继屈服条件。当已知主应力的大小次序时，使用特雷斯卡屈服条件较为方便；若不知道主应力的大小次序，则使用米泽斯屈服条件较为方便。对于韧性较好的材料，米泽斯屈服条件与试验数据符合较好。
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4.4 变形理论：
由于塑性变形与变形历史有关，因此反映塑性应力-应变关系的本构关系用应变增量形式给出比较方便。用应变增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量理论。增量理论的本构关系在理论上是合理的，但应用比较麻烦，因为要积分整个变形路径才能得到最后结果。因此，又发展出塑性全量理论，即采用全量应力和全量应变表示塑性本构关系的理论。在比例变形的条件下，可通过积分增量理论的本构关系获得全量理论的本构关系。当偏离比例变形条件不多时，全量理论的计算结果和实险结果比较接近。求解塑性力学边值问题时，使用的平衡方程、几何方程（即应变和位移的关系）以及力和位移的边界条件都和弹性力学中使用的一样，只是物理关系不再用弹性力学中的胡克定律，而采用塑性增量或全量的本构关系。
4.5 塑性力学常用的求解方法：
①静定法。求解简单弹塑性问题的方法。由于所求的各未知量的数目和已知方程式的数目相同，应用平衡方程和屈服条件便能将问题中的各未知量找出。②滑移线法。适用于求解塑性平面应变问题，可找出变形体中各点的应力分量和所对应的位移分量。③界限法。一个有实用价值的方法，又称上、下限法。上限法采用外力功等于内部耗散能以及结构的几何条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷大；下限法则用平衡条件、屈服条件以及力的边界条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷小。④主应力法。在屈服条件中不考虑剪应力的贡献，并假定沿某一个轴主应力的分布是均匀的。用此法能获得各应力分量的分布规律。⑤参数方程法。使用米泽斯屈服条件时，可将满足屈服条件的参数方程代入平衡方程进行求解。⑥加权残量法。一种求解微分方程近似解的数学方法。其要点是：先假设一个试函数作为近似解，将其代入要求解的控制方程和边界条件；该函数一般不能完全满足这些条件，因而出现误差即残量；选择一定的权函数与残量相乘，列出在解域内消灭残量的代数方程，就可把求解微分方程转化为求解代数方程的数值计算问题，从而得出近似解。⑦有限元法。常用的有弹塑性有限元和刚塑性有限元法，可得到变形体内的应力和应变分布规律。
4.6塑性力学主要应用包括：
①结构的塑性极限分析和安定分析，对梁、桁架、刚架、拱、排架、圆板、矩形极、柱壳、球壳、锥壳、组合壳等都已获得完全解。②构件的塑性极限分析和安定分析，已求出各种带有缺口、槽、孔的受拉、受弯、受扭轴和构件的塑性极限载荷。③金属板料成形，包括深冲、翻边、扩口、缩口等工艺。④金属块体成形，包括镦粗、拉拔、挤压、锻造等工艺。⑤金属轧制，金属材料在两个反向旋转的轧辊间通过，并产生塑性变形。⑥塑性动力响应和塑性波，在防护工程、地震工程、穿甲和侵彻，高速成形，超高速撞击、爆炸工程等方面都有重要应用。⑦自紧技术，通过使结构产生有益的残余应力，以增强厚
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壁圆筒弹性强度和延长疲劳寿命。⑧在岩土力学中，用以研究地基承载能力、边坡稳定性、挡土墙的作用和煤柱的承载能力。⑨用以研究估算和消除残余应力的方法。
4.7应用的拓展：
由于传统的塑性力学只适用与金属塑性范围，特别是硬金属，当应用于岩石，土壤和混凝土等材料时，往往需要对其一些基本概念作修正，既有了广义塑性力学的发展。广义塑性力学放弃了这些假设，采用了分量理论，由固体力学原理直接导出塑性公式，它既适用于岩土材料，也适用于金属。
4.8塑性力学在微观上的研究：
上面面主要介绍的是从宏观角度，以实验为基础唯象的研究塑性变形。在细观尺度，已经建立细观力学，其主要研究目的是从材料物理理论（位错、晶体范性、界面等）出发，建立细观结构与力学性质之间的定量关系。细观力学对经典连续介质力学理论框架加以改造，引入表征材料细观结构的损伤的物理或几何量，确定其演化方程。同时发展由细观向宏观过度的均匀化方法，建立细观结构、内部缺陷与宏观力学性能之间的定量关系。从而在细观尺度上形成一套新的理论框架。细观力学中与塑性变形相关的部分称塑性细观力学。相对传统塑性力学的小变形分析，有关塑性大变形的分析李国琛和M.耶纳著《塑性大应变微结构力学》
五．弹塑性力学在工程上的应用：
5.1 多体系统非连续变形的弹塑性分析方法：
应用多体系统非连续变形的弹性及弹塑性分析方法从不同角度对刚性体 弹性体和弹塑性体组合多体系统进行具体的数值计算与分析探讨接触界面的力学参数和材料强度参数对系统的变形应力和接触应力以及塑性区的影响得出十分有意义的结果与比较合理的结论算例表明非连续变形计算力学模型作为一种新颖而强有力的数值分析与数值模拟方法能够对一般的刚性体弹性体和弹塑性体所构成的复杂的多体系统进行静动力及接触非线性和材料非线性耦合数值分析与模拟
5．2 自由杆对简支梁的多次弹塑性撞击：
可以通过弹塑性理论对自由杆件多次弹塑性撞击进行分析，将单轴压结模型应用于模拟多次撞击的分离过程中接触区的弹塑性接触行为，推导出弹性杆件和弹塑性梁的动力学方程并采用有限差分方法加以求解，研究了弹性自由杆撞击弹塑性简支梁的全过程。研究发现整个撞击过程实际上是一个复杂的多次弹塑性撞击过程，存在两个以上的明显撞击区，每个撞击区包含了形式多样的复杂撞击过程，相对于第一个撞击区，剩余撞击区的撞击冲量不可忽略所以多个撞击区将对撞击系数产生重要影响。撞击产生的纵向应力波在弹性杆件中的传播和反射，直接影响多次弹塑性撞击。
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5.3 新型钢桥面板梁桥的弹塑性力学性能的有限元分析
典型的钢桥面是由顶板和焊接于顶板上的位于同一平面上的纵向及横向加紧肋组成。因此，纵肋与横肋的平面交叉处，为了使纵肋贯穿横肋需设置槽，形成了复杂的细部结构。所以，在工厂预制时，手工焊接占很大部分，造成了预制时间和成本的增加。本研究提出简化了平面交叉，且降低了钢材费用、工厂预制工数以及方便了现场施工的适用于中小跨径的新型钢桥面板梁桥。即，主梁采用H 型钢、纵肋采用T 型钢及L 角钢，横梁采用槽钢，由于应用了各种规格的型钢，降低了钢材的调运费。在工厂预制中，顶板和H 型钢上缘两端，以及T 型钢的腹板连接采用自动或半自动焊接，简便了焊接工艺，降低了工厂制作工期。预制的钢桥面板梁搬入架设工地以后，用高强螺栓连接相邻的纵肋L 角钢，改进了顶板的高强螺栓摩擦连接，避免了露出于顶板表面的螺栓帽对铺装的影响。
六．参考文献
[1] 徐秉业《简明弹塑性力学》 高等教育出版社
[2] 徐芝纶《弹性力学简明教程》 高等教育出版社
[3] 冯西桥弹性力学视频教程
[4] 百度百科
[5] 黎勇 冯夏庭 多体系统非连续变形的弹性及弹塑性分析方法
[6] 刘中华 尹晓春 自由杆对简支梁的多次弹塑性撞击
[7] 吴红军 滕军 新型钢桥面板梁桥的弹塑性力学性能的有限元分析