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吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝而望矣，不如登高之博见也。

 －－《荀子·劝学》

求解排列组合应用题的“八字诀”

分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。

特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。

反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。

等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。

化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。

捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。

插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。

推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。

若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。

例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（    ）种

A．      B．       C．      D．

   解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数.

第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数.

第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数，再把水彩画插在国画和油画之间.

∴满足条件的陈列方式有：种故选D。

评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。

例3．（20##年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（     ）

A.8种        B.12种        C.16种       D.20种

解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即种故选B。

例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？

解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：。

第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：

第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：.

∴满足条件的排法数为：8×24×3=576.

评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手；

②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧；

③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。

例5．编号为1.2.3……n的n个人，坐到编号为1.2.3……n的n把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为。求，。

解：易见：=0 , ，，

∵n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为。其中：

有且仅有n个对号入座的方法数为：1.

有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：.

有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：.

有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：.

……………………………………………………

有且仅有（n-k）个人对号入座的方法数为：.

……………………………………………………

有且仅有1个人对号入座的方法数为：.

有且仅有0个人对号入座的方法数为：.

∴=1++++……++.

令n=4可得：24=1+++=1+6+8+  ∴=9.

令n=5可得：120=1++++=1+10+20+45+，=44.

评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。

②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。

③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n个元素对n个位置的错位排列问题。

例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（    ）

A.6种      B.9种        C.11种      D.23种

解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：=9.

故选（B）.

例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？

解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2×2×2×2=16.

    第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为：.

    ∴满足条件的排法数为：16×24=384.

评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。

例8．4对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？

解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384.

例９．４对夫妻排成前后两排，每排４人，使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种？

解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立４个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为＝９.

第二步：对四个临时家庭进行排队，由例８解法可知，其方法数为384.

∴满足条件的排法数为：9×384=3456.

评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。

各写一张贺年卡，先集中起来，

二  知识要点

(一).两个计数原理:

1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m₁种不同的方法,在第二类办法中有m₂种不同的方法,…,在第n类办法中有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m₁+ m₂+ m₂+…+ m_n种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).

2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m₁种不同的方法,做第二步有m₂种不同的方法,…,做第n步有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m₁× m₂× m₂×…× m_n种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).

3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别.

(二)排列

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(有序性是排列的本质).

2.排列数的定义:从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.

3.排列数公式:

(1)当m<n时,排列称为选排列,排列数为(必须熟记.)

(2)当m=n时,排列称为全排列,排列数为.规定.

(3)排列数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).

(4)两个性质:①;②.

(三).组合

1.组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).

2.组合数的定义:从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.

3.组合数公式:

(1)基本公式(必须熟记.)

(2)组合数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).规定.

(3)两个性质:①;②.(两个很重要的公式,一定要记住).

4.排列组合常见问题解题策略:

(1).特殊元素优先安排的策略;

(2).合理分类与准确分步的策略;

(3).排列、组合混合问题先选后排的策略;

(4).正难则反、等价转化的策略;

(5).相邻问题捆绑处理的策略;

(6).不相邻问题插空处理的策略;

(7).定序问题除法处理的策略;

(8).分排问题直排处理的策略;

(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;

(10).构造模型的策略.

(四)二项式定理

1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n,都有:

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中系数叫做二项式系数,式中的叫做二项式的通项公式,用表示,式展开式中的第r+1项.

2.二项式系数的性质

①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即.

②增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.

当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为.

当n是奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为.

③各项二项式系数的和:.

奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:.

3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.

4.二项展开式中系数最大问题

①由二项式系数性质可知,当项数n是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为;当n是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为.

②展开式中系数与二项式系数不同,设是展开式中项的系数,若项为系数最大的值,则必有.由此不等式组,可确定r的值,从而确定系数最大的项.

(五)概率

1.随机事件的概率

(1)基本概念

①随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.

②必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.

③不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.

④基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.

(2)随机事件的概率

①定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作:P(A).

②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0≤P(A)≤1.

(3)等可能事件的概率

①一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A的结果有m个,那么事件A的概率为.

②求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n;B.算出事件A中包含基本事件的个数m;C.算出事件A的概率,.

2.互斥事件有一个发生的概率

(1)基本概念:

①互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.

②对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记作.

③两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.

(2)事件A+B的意义及其概率运算公式

①若事件A,B互斥,事件A+B的含义是A,B中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.

②如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

③如果事件A₁,A₂,A₃,…,A_n彼此互斥,则P(A₁+A₂+…+A_n)= P(A₁)+P(A₂) +…+P(A_n).

④对立事件A与的概率和等于1,即.

3.相互独立事件同时发生的概率

(1)相关概念:

①相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.

②性质:如果事件A与B相互独立,那么也都是相互独立的.

③事件A·B:表示相互独立事件A与B同时发生的事件.

(2)两个相互独立事件A与B同时发生的概率公式: P(A·B)=P(A)·P(B).

(3)推广:如果事件A₁,A₂,A₃,…,A_n相互独立,则P(A₁·A₂·…·A_n)= P(A₁)·P(A₂)·…·P(A_n).

(4)两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率:.

(5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:

①确定诸事件是相互独立的;

②确定诸事件会同时发生;

③先求每个事件发生的概率,再求其积.

4.独立重复试验

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为,设在一次试验中事件A发生的概率是P,则.

第二篇：排列组合应用题应对技巧

排列组合应用题应对技巧 

       陕西洋县中学 （723300）刘大鸣

考点动向精晰：

高考对《排列、组合应用问题》考查的特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题.解答题通常是概率问题中考查利用排列组合知识解决计数问题的能力．试题难度多为低中档．高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．重在突出分类、分步的基本思想方法及排列组合二项式定理和概率的基本运算 ，试题内容更加密切联系实际，题型更加丰富多彩，背景更加生动有趣，以实际应用题为主，这既是这类问题的热点，也符合高考发展方向。要以课本概念和方法为主，熟练技能，巩固概念。

   范例方法指导：

例1  （1）（06河南）设集合I={1,2,3,4,5}。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．        B．              C．             D．

（2）（06安徽）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（   ）

     A．               B．     C．            D．

（3）（06天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）A．10种　B．20种　　C．36种 　D．52种

【思维展示】

（1 ）如何完成I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数？

从A的元素个数入手，一一列举分类，借助组合数完成过程，A为1个元素构成时的方法为 

A为2个元素构成时的方法为 ；

A为3个元素构成时的方法为

A为4个元素构成时的方法为 1，则共有26+16+6+1=49种；

（2） 几何计数问题，如何构建一一对应？

认识正方体体对角线、棱和面对角线的关系，从顶点分类切入，

在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。

（ 3 ）从结果入手简化思维过程，1和2的两个盒子里的球分别为 2，2；或1，3；于是分类完成有种，选 A；

【学习体验】

计数和概率的应用问题，其思维盲点是如何构建一一对应，教材中让一个排列和一种填有序的空位的方法构成一一对应，利用分步计数原理推导出排列数公式，这种方法“填空位的模型和方法”贯穿计数和概率应用问题设计过程的始终，是最基本和最重要的思想和方法。范例（1）按两个集合满足的关系，从一个入手一一列举，是从特殊元素自然分组，合理分类避免“重复和遗漏”；范例（2）注意到直角非等腰三角形和正方体的一边与过此点的一条面对角线之间的一一对应使问题简单化；范例（3）从结果入手分类避免重复和遗漏，应积累这种学习体验，锻炼自己的思维。

例2 （1）（河南06高考）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）

（2 ）（陕西06高考）某校从名老师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种（用数字作答）．

（3 ）（ 06北京 ）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

（A）36个    （B）24个（C）18个     （D）6个 

（4）（06湖南）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是

A．6        　B. 12     　C. 18　　     D. 24 

【思维展示】

（1） 特殊位置入手，直接思考有方法1：先安排1日和2日值班的人有种方法，再安排剩余5日的值班人有，分步完成，其安排方法有 种；

若考虑其对立事件有间接思维方法，  甲、乙二人都能安排在5月1日和2日的方法 ，则选派方案共有种；

（2）复杂问题的排列组合应用问题，特殊元素分组，特殊元素分类，甲和丙只能同去或同不去分两类研究：

（1甲丙同去，乙不去，先选后排有 （2甲丙同不去，乙可去，可不去，实质为6个元素取4个的排列数，综上所述，不同的选派方法有

（3） 元素自然分组，分类为2偶1奇，3奇，先选后排 则有个，选C；

（4） 不相邻问题处理插入法，先排其余的元素后插入不相邻的元素有 种，选B；

【学习体验】 

有限制条件的排列组合应用问题，阅读理解的基础，分清是否与顺序有关，然后按事件发生发展的过程设计一一对应，注重优先原则（特殊元素和特殊位置）的使用，掌握常见的题型的求解策略（先选后排，正难则反间接法，相邻问题集团排列，不相邻插空处理，定序问题和均匀分组除法处理，相同元素分组隔板处理等），检查结果应注重设计的方案是否完备，有无重复和遗漏，可采用多种不同的方法检验结果。

【规律小结 】

1 求解排列组合应用问题的理论依

基础:  分类计数和分步计数原理

关键和难点 : 排列和组合的概念及事件概念的认识，如何将应用问题中的一种方法和一个排列（或组合）构成一一对应？常常构建“填空位模型”分步完成.

工具 :  排列数公式和组合数公式古典概率的计算公式及对立事件的简化功能的再认识 .

2 两个公式推导中的“填空位的模型和方法”，“先选后排”，”古典概率”的合理分类分步计算,这种思维方法贯穿整个排列组合应用问题的始终，它“简单可行且具有操作性”，是最基本和最重要的方法.

3 如何求解？

弄清事件，捕捉关键信息，注意其特殊性，优先原则下设计一一对应的做法，填空位模型分步求解.

4常见的解题方法和策略：

特殊元素优先安排的策略；合理分类和分步的策略；排列、组合混合问题先选后排，先分堆后分配的策略；正难则反、等价转化策略；相邻问题捆绑处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分配问题直排处理或先分堆后分配的策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.

5 起指导作用的数学思想的探究

一一对应的思想：  和填空位模型的方法构成一一对应； 取出来的与剩余的是一一对应的关系

特殊化的思想 ：元素分析法；位置分析法；

等价转化的思想  先取后排 复杂问题的处理方法；

分类讨论的思想  ，从某一个特殊元素入手，含与不含分类 有且只有两类；

构造的思想和方法; 补集思想等.

【误区警示】

1 对于多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类还是分步或交替使用两个原理；也可不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的情况获得结果;

2 由于排列、组合问题和概率的运算结果数值大，难以直接检验其结果的正确性，因此要从不同的途径解题.对于选择题的答案要谨慎选择，注意其等价答案的不同形式，避免误选;

3 解排列组合与概率综合问题时，必须深刻理解”排列与组合” 随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率的概念，牢记排列数、组合数、古典概率公式.合理分类和分步,构建一一对应,选用”直接法”或”间接法”避免产生重复和遗漏的错误

同步训练  

1．（辽宁06）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）

2． （06重庆） 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有   （A）３０种　　　（B）９０种 （C）１８０种　　　（D）２７０种

3 。试探求“5个人坐好位置交换某些人的位置（都换位） ”的结论.

4 （06山东）盒中装着标有数学1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．

参考答案

1 。先选后排，元素分类，每类中注意特殊位置的要求切入，1老2新选法为 ，1，2号中至少有1名新队员，安排有，于是，；2老2新选法为 ，1，2号中至少有1名新队员，安排有，于是，，故所有排法为48种；

2． 5 先分组后分配，注意均匀分组的认识，有种，选B；

3 系特殊的有限制条件的排列个数问题，应用先选后排,“竖图列举法”一一列举。

结论是：交换1人位置的方法0种，交换2人位置的方法种，交换3人位置的方法种，交换4人位置的方法种，交换5人位置的方法44种,用间接法探求.

5个人坐好位置交换5个人的方法有44种，利用对立事件的关系，用间接法探究.5个人坐好位置交换5个人的位置的对立事件是至少有1个人没换位分类有，1，2，3，4个（含5个）人没换位，其方法为 ，故5个人坐好位置交换5个人的方法有

按事件发展过程先分类后分步切入，注意特殊元素自然分组有

（Ⅰ）设抽出的3张卡片上最大的数字是4的事件为A ，特殊元素自然分组，则 （Ⅱ）设抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的事件为B，

（Ⅲ）研究其对立事件3张卡片上有2个的数字相同的事件为C，则 ，故抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率为