第二篇：高中数学 学案48直线、圆的位置关系
学案48 直线、圆的位置关系
导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二
>0?，??次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac?＝0? ，
??<0? .
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
d<r?________，d＝r?________，d>r?________.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
AB＝1＋k|xA－xB|＝?1＋k?[?xA＋xB?－4xAxB].
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
4．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|<O1O2<r1＋r2________；O1O2＝|r1－r2|________；0≤|O1O2|<|r1－r2|________．
(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为____________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 自我检测
1．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥3，则k的取值范围是________．
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(13)处的切线方程为______________．
3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有________条．
4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则AB的最小值为________．
5．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是
______________.
探究点一 直线与圆的位置关系
例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标．
变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．
探究点二 圆的弦长、中点弦问题
例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为3，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.
(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；
(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．
探究点三 圆与圆的位置关系
例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．
变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：
(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；
(2)⊙B的半径最小时圆的方程．
探究点四 综合应用
例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
→→(2)若O为坐标原点，且OM·ON＝12，求k的值．
1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆
心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．
2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．
3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．
2．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝______________.
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是______________．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为3，则a＝________.
6．已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.
7．设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是________．
8．(2010·全国Ⅰ改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切
→→点，那么PA·PB的最小值为____________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
3π(1)当α＝AB的长； 4
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
10．(14分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
学案48 直线、圆的位置关系
答案
自主梳理
1．相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)外离 外切 相交 内切 内含 外离 外切 相交 内切 内含 (2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我检测
3－，0? 2.x－3y＋2＝0 3.2 4.23 1.??4?
5．x－y－3＝0
课堂活动区
例1 解题导引 (1)过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在．
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．
(3)切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则PM＝PC－R.
解 (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx， |k＋2|由2，解得k＝6，得y＝6)x. 1＋k②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0， |－1＋2－a|由2， 2
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(26)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由PO＝PM，
222得x21＋y1＝(x1＋1)＋(y1－2)－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
??2x＋y＝0，33?. 解方程组?得点P的坐标为??105??2x－4y＋3＝0，?
变式迁移1 解 设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，
|k＋2－2k|即kx－y＋3－2k＝0，∴1， k＋1
3∴kx＝2. 4
∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.
3－1圆心C为(1,1)，∴kPC＝2， 2－1
1∴过两切点的直线斜率为－，又x＝2与圆交于(2,1)， 2
∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.
例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.
方法一 代数法：弦长AB1＋k|x2－x1|
＝1＋k?x1＋x2?－4x1x2；
方法二 几何法：弦长AB＝
r－d. (2)有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)
如图所示，AB＝3，取AB的中点D，连结CD，则CD⊥AB，连结AC、BC， 则AD＝23，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx， 即kx－y＋5＝0.
|－2k－6＋5|由点C到直线AB的距离公式，得＝2， k＋?－1?3解得k＝. 4
3当k＝l的方程为3x－4y＋20＝0. 4
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，
此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
→→则CD⊥PD，即CD·PD＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
变式迁移2 (1)证明 由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.
∴直线和圆总有两个不同的交点．
3－4(2)解 kPC＝＝－1. 4－3
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为
|3－4－1|所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.PC＝2， ∴AB＝AC－PC＝2.
例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，
?m＋1?＋?－2－m?＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，
?m＋1?＋?m＋2?<3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
得－2<m<－1，
∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；
当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．
变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程
2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0. ①
依题意，公共弦应为⊙A的直径，
将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0. ②
??x＝a设圆B的圆心为(x，y)，∵?， ?y＝b?
∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0.
(2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2.
1由②得b[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5. 2
当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，
∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．
解 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
圆心为C(1，－2)．
假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.于是可知，kAB＝1.
设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
Δ＝4(b＋1)－8(b＋4b－4)>0，b＋6b－9<0，
解得－3－32<b<－3＋32.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，
1x1x2＝2＋2b－2. 2
由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0， 解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0.
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 变式迁移4 解 (1)∵直线l过点A(0,1)且斜率为k， ∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0， 474＋7得<k33
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
4＋4kx＋x??1＋k则由①得?7xx＝?1＋k?1212222 →→，∴OM·ON＝x1x2＋y1y2
4k?1＋k?＋8＝12 1＋k?k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1.
课后练习区 1．相交 2.－
33
3．3
解析 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝
如图所示，
x2＋y2－4y＝0?x2＋(y－2)2＝4，
∴A(0,2)，OA＝2，A到直线l：y3x的距离是AN＝1， ∴ON3，∴弦长OJ＝3.
4．(4,6) 5.1 6.－10
7．1
|0＋0－5|解析 圆C1的圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离为1，圆C1的半径为3＋42，AB弧上的点到直线3x＋4y－5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C2的半径最大为1.
8．－3＋22
解析 设∠APB＝2θ，则∠APO＝∠BPO＝θ，
1→→→2PA·PB＝(PA)·cos 2θ＝cos 2θ tanθ
21－sinθ1＝·(1－2sin2θ)＝2sin2θ－3≥2－3， sinθsinθ
12当且仅当2sin2θ，即sin2θ＝ sinθ2
3π9．解 (1)当α＝kAB＝－1， 4
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分)
|0＋0－1|2故圆心(0,0)到AB的距离d＝＝， 22
从而弦长AB＝2 830.(7分) 2
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2?x2?1＋y1＝8，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由?22 ?x＋y＝8，?22
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
y1－y21∴kAB＝分) x1－x22
1∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，
2
即x－2y＋5＝0.(14分)
10.
解 已知圆C：x＋y－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，
其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．(4分)
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则 |5k＋2＋3|1，(10分) 1＋k43即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－，k2＝－34
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
(14分)
11．解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.
(1)当两圆外切时，?5－1?＋?6－3?＝61－m.
解得m＝25＋1011.(4分) 22
(2)当两圆内切时，因定圆的半径1161－m11＝5. 解得m＝25－1011.(8分)
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
?|4＋3×3－23|?222×?11?－??＝7.(14分) 4＋3??