相似三角形
一、本章的定理
比例的有关性质：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割。
二、有关知识点：
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A型图的比例
，每个比的前项是同一个三
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成
的错误。
2、 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A型和X型。
Ⅰ.相交线型
三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
相似三角形测试卷
一、选择题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个矩形相似 D．任意两个等边三角形相似
2、．已知点C在直线AB上，且线段AB=2BC，则AC:BC=（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 1或3
3、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A． 2 cm2 B． 4 cm2 C． 8 cm2 D． 16 cm2
4、ΔABC中，DE//BC，且SΔADE:S梯形BCED=1:2，则DE:BC的值是（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:
D．1:
5、如图□ABCD中,Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ）
A．4:3 B．4:7 C．3:4 D．3:7
6、如图，梯形ABCD的对角线相交于点O，有如下结论：①ΔAOB∽ΔCOD，②ΔAOD∽ΔBOC，③SΔAOD=SΔBOC，④SΔCOD:SΔAOD=DC:AB；其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7 、如图，□ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为S，则△DCF的面积为（ ）
A．S B．2S C．3S D．4
8、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为
A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64c
第3题 第5题 第6题 第7题
9、如图，
中，
，
，
，
是
上一点，
作
于
，
于
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10、如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确的是( )
A、BF=
DF B、S△FAD=2S△FBE
C、四边形AECD是等腰梯形 D、∠AEB=∠ADC
二、填空题
11、如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：
等于 度_________
12、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．
13、如图
中，
，垂足是D，下列条件中能证明是直角三角形的有 （只填序号）。
①
②
③
④
14、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 _______ ．
.
第11题 第12题 第13题 第14题
三、解答题
15、（1）已知：
，求 
的值
16、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.①求证：△ADF∽△DEC②若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
17、已知
，延长BC到D，使
．取
的中点
，连结
交
于点．
（1）求
的值；（2）若
，求的长．
18、如图，已知：
，求证：
19.如图，在△ABC中,AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动，设BD=
,CE=
.如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定与之间的函数关系。
20已知，如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交
DC 于 F、G，且 DF = FG，对角线 BD 交 AF 于 E，求证：AP∶PF = AE∶EF
21、E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的
延长线于 N，求证：⑴ EC
= DC·CN； ⑵ CN = 
； ⑶ NE = 
；
22、如图中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x,⑴求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；⑵求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式。
23正方形
边长为4，
、
分别是、
上的两个动点，当点在上运动时，保持
和
垂直，
（1）证明：
；
（2）设
，梯形
的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时
，求此时的值．
第二篇：相似三角形知识点复习习题讲解
知识点总结
一、平行线分线段成比例定理及其推论：
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 。
三、相似三角形：
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比； ②要注意两个图形元素的对应。
3. 判定定理：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
四、三角形相似的证题思路：
五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：
一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；
二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件；
三“证”：根据分析，写出证明过程。
如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。
六、相似与全等：
全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：
1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。
2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。
常见考法
（1）利用判定定理证明三角形相似；
（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。
误区提醒
（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息；（2）在定理的实际应用中，常常忽视“夹角相等”这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。
