圆的有关性质

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

2．判定一个点P是否在⊙O上．

设⊙O的半径为R，OP＝d，则有

d>r点P在⊙O 外；

d＝r点P在⊙O 上；

d<r点P在⊙O 内．

3．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三边高线的交点．

6．切线的判定、性质：

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．

③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．

8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．

(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．

9．圆和圆的位置关系：

设的半径为R、r(R>r)，圆心距．

(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．

(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r

(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．

(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．

11．圆中有关计算：

圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

重点、热点

垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.

【典型例析】

例1.（1）如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD

的弦心距，若OE=OF，则      （只需写出一个正确的结论）.

（2）如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD=     .

[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.

[解答]（1）AB=CD或 AB=CD或AD＝BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.

  （2）由三角形的中位线定理知OD=BC

[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用.

例2.（1）下列命题中真命题是（   ）.

A.

平分弦的直径垂直于弦  B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内  D.等弧所对的圆心角相等

（2）如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（   ）.

A.12cm   B.10cm  C.8cm    D.6cm

(3)已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100，则圆周角∠BAC的度数是（   ）.

A. 50  B.100   C.130   D.200

[特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价.

[解答] （1） D （考查对基本性质的理解）.

(2)D  (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍)

(3)A  (由圆周角定理可得)

[拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距.

例3.圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是      .

[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.

[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180，       ∴x+3x=180，    ∴ x=45.

∴∠A=45，  ∠ B=90，    ∠C=135，    ∠ D=90.

∴ 最大角为135.

[拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.

例4.已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E.

（1）求证：BE?BF=BD?BC

（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.

[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力.

[解答] （1）连结FC，则BF⊥FC.

在△BDF和△BCF中，

∵∠BFC=∠EDB=90 ，   ∠ FBC=∠EBD，

∴△BDE∽△BFC，       ∴  BE∶BC=BD∶BF.

即   BF?BE=BD?BC.

（2） AE>BD ,  连结AC、AB  则∠BAC=90.

∵,   ∴∠1=∠2.

又∵∠2+∠ABC=90，    ∠3+∠ABD=90，

∴∠2=∠3，     ∠1=∠3， ∴  AE=BE.

在Rt△EBD中，   BE>BD，   ∴AE>BD.

[拓展]  若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系？

例5.如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G.

（1）求⊙O的半径R；

（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.

[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力.

[解答] （1）连结OE，则OE⊥AD.

∵四边形是矩形，   ∴∠D=90,   OE∥CD,

∴AC===10.

∵△AOE∽△ACD，      ∴ OE∶CD=AO∶AC，     ∴ R∶6=(10-R) ∶10，

解之得：  R=.

（2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC，  ∵∠EGC=90+β，  

 ∴α =90+β    或   ∵ β<90，  α =∠EGC>90，    ∴ β  < 90< α.

[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.

第二篇：初三总复习知识点总结-圆

初三总复习知识点总结----------------圆

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高

三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形. 三 公式：

1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=（4）扇形面积S扇形 =图）

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =四 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交 ? d＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径

且R≥r）

两圆外离 ? d＞R+r； 两圆外切 ? d=R+r； 两圆相交 ? R-r＜d＜R+r； 两圆内切 ? d=R-r； 两圆内含 ? d＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

12LR

n?R360

2

n?R180

；（3）圆的面积S=πR.

2

?

12

LR

；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如

. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

7．关于圆的常见辅助线：