圆知识点总结

一．  圆的定义

1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆                  

                  的大小．

二． 同圆、同心圆、等圆

1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

 3．半径相等的圆叫做等圆．

三．弦和弧

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作⌒AB

   读作弧AB．  在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

四．与圆有关的角及相关定理

1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

    圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这      

                条弧所对的圆心角的一半．

 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角圆周角所对的弦是直径

3．圆内接四边形的对角互补.

4．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

5．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心

   角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距     

      中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

五．垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

            平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

 2．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；

⑸平分优弧．  以上五个条件知二推三．

六．点与圆的位置关系

1．点与圆的位置有三种：如下表所示：

2．过已知点作圆

⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．

⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．

⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有且只有一个．

3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，就是说，在同一直线上

三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，表示唯一.

4．三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

   ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，（如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）

五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

  从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

四．切线的性质及判定

  1. 切线的性质：

     定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

     推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

     推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

  2. 切线的判定

     定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

     距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

     定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

  3. 切线长和切线长定理：

   ⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点

到圆的切线长．

⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

五．三角形内切圆

 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．外心到三角形三边的距离相等。

 2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．

六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定

  设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：

说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

七．正多边形与圆

1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形．

2. 正多边形的相关概念：

⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3. 正多边形的性质：

⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；

⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；

⑶偶数条边的正多边形是轴对称图形，也是中心对称图形，中心就是对称中心．

八、圆中计算的相关公式

设的半径为，圆心角所对弧长为，

1. 弧长公式：

2. 扇形面积公式：

3. 圆柱体表面积公式：

4. 圆锥体表面积公式：（为母线）

第二篇：中考圆知识点经典总结

              圆知识点学案

考点一、圆的相关概念   

    1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

 

考点二、弦、弧等与圆有关的定义   

    （1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

（2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）

直径等于半径的2倍。

（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

 

考点三、垂径定理及其推论   

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

       过圆心

       垂直于弦

直径   平分弦             知二推三

       平分弦所对的优弧

       平分弦所对的劣弧

 

考点四、圆的对称性   

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

    2、圆的中心对称性

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

 

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理   

    1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

 

考点六、圆周角定理及其推论   

    1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

 

考点七、点和圆的位置关系   

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d<r点P在⊙O内；

d=r点P在⊙O上；

d>r点P在⊙O外。

 

考点八、过三点的圆   

    1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）

    圆内接四边形对角互补。

 

考点九、直线与圆的位置关系   

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交d<r；

直线l与⊙O相切d=r；

直线l与⊙O相离d>r；

考点十、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

     即：在⊙中，  ∵四边是内接四边形

                     ∴ 

                      

考点十一、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

       两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

                  即：∵且过半径外端

                      ∴是⊙的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

         推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

         推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点十二、切线长定理

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

       ∴；平分

考点十三、圆幂定理

1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，

                      ∴

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，

                   ∴

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

                    ∴

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。

即：在⊙中，∵、是割线

                    ∴

考点十四、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

            ∴垂直平分

考点十五、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：中，；

（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和

考点十六、三角形的内切圆和外接圆  

    1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

 

考点十七、圆和圆的位置关系   

    1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r

两圆外切d=R+r

两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）

两圆内切d=R-r（R>r）

两圆内含d<R-r（R>r）

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十八、圆内正多边形的计算

   1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

3、正三角形  

 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

4、正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

5、正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

考点十九、与正多边形有关的概念   

    1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

 

考点二十、正多边形的对称性   

    1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

 

考点二十一、弧长和扇形面积   

    1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

考点二十二、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。

（3）S_△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

     如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。      C

 

考点二十三、反证法   

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。