第六章弯曲变形知识要点
1、弯曲变形的概念
1）、挠曲线
弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形
在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。 1》 纯弯曲时，弯矩—曲率的关系 （由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）
2》 横力弯曲时，弯矩—曲率的关系
3）、平面弯曲时的位移
1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以
表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以
表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。沿y轴正方向的挠度为正。转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程
5）、受弯曲构件的刚度条件 ，
2、积分法求梁的挠度和转角
由
积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁
边界条件：固定端挠度为0，转角为0
连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等
简支梁
边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0
连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等
连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等
3、叠加原理求梁的挠度和转角
1）、叠加原理
各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制
叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：
1》 弯矩M和曲率
成线性关系，这就要求材料是线弹性材料
2》 曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形
4、弯曲时的超静定问题——超静定梁
1）、超静定梁
约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
2）、求解简单超静定梁的变形比较法
1》多与约束——超静定梁中多于维持其静力平衡所必须的约束
2》基本系统——超静定梁解除多余约束后的静定系统
3》 解题步骤：
a、 选择多余约束，确定基本系统，并以相应于多余约束的反力作为基本系统的未知外力
b、 比较基本系统与超静定梁在多余约束处的变形，应用叠加原理列出变形相容方程
c、 应用弯曲变形表写出力—变形间的物理关系，代入变形相容方程得到补充方程，由补充方程求解相应于多余约束的未知反力。
d、 由静力平衡方程求解其余的约束反力。
第五章弯曲应力
1、梁的正应力、正应力强度条件
1）、中性层与中性轴
1》中性层——弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，因而他们不受拉应力或压应力，该纤维层称为梁的中性层。
2》中性轴——中性层与横截面的交线（即横截面上正应力为0的各点的连线）
3》中性轴的位置——在弹性范围内、平面弯曲的梁上，其中性轴通过截面的形心，且与载荷作用面垂直。
2）、梁轴线的曲率与弯矩间的关系
由此可得，在纯弯曲等直梁上，各点处的曲率相等，故轴线应该是一条圆弧线，且长度不变（轴线即各横截面形心的连线，均处于中性轴上）
3）、梁横截面上的正应力
1》分布规律——任一点正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。
2》计算公式：
，
对于纯弯曲梁，上式为精确解，对于横力弯曲，上式为近似解（细长梁也即轴向长度L与纵向长度h的比值大于等于5时，误差约为2%）
4）、梁的正应力强度条件
强度计算三类问题：
1》强度校核
注意：找准危险截面 。最大弯矩处或最小的抗弯截面系数处也即最小截面处，另外注意台阶轴的截面突变处需要校核
2》截面设计 ， 已知最大弯矩值和许用正应力值，求得最小的抗弯截面系数，再由WZ计算出最小截面尺寸
3》许用载荷计算 ，已知截面形状和许用正应力计算出最大弯矩，再由最大弯矩计算出许用载荷
2、梁的切应力、切应力强度条件（一般机械设计中不考虑切应力强度计算）
1）、矩形截面梁的切应力
1》分布规律——切应力方向与剪切力方向平行，其大小沿截面宽度均匀今年分不，沿高度成抛物线变化。
2》计算公式
2）、工字型截面梁的切应力
1》分布规律——铅垂方向的切应力的分布规律与矩形截面相同。
2》计算公式：
腹板部分： 注意：
a、翼缘部分，铅垂方向的切应力很小，主要为水平方向切应力
b、铅垂方向的切应力主要由腹板承受（为95%~97%），且腹板上最大切应力和最小切应力相差不大。故工字型截面上的最大切应力近似为:
3）、圆形截面梁的最大切应力
1》、切应力分布假设——截面上同高度各点的切应力作用线汇交于一点，其铅垂分量沿截面宽度均匀分布，沿高度按抛物线规律变化。
2》、最大切应力公式：
4）、梁的切应力强度条件：
3、受弯杆件强度问题的说明
1）、对于细长杆而言，由弯矩产生的正应力是主要的，剪力产生的切应力是次要的。故只需要考虑正应力强度即可。但当构件较粗短，剪力较大而弯矩较小时，或在薄壁截面梁中，应核算切应力强度。
2）、最大正应力
发生在弯矩最大的截面的上下边缘处，该处切应力为0（单向应力状态）；最大切应力
发生在剪力最大的截面的中性轴上，该处正应力为0（平面应力状态）。对于其他既有正应力又有切应力的点，计算强度时应该计算出该点的主应力并应用强度理论进行核算。（与第七章结合）
弯曲应力知识要点
1、梁的正应力、正应力强度条件
1）、中性层与中性轴
1》中性层——弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，因而他们不受拉应力或压应力，该纤维层称为梁的中性层。
2》中性轴——中性层与横截面的交线（即横截面上正应力为0的各点的连线）
3》中性轴的位置——在弹性范围内、平面弯曲的梁上，其中性轴通过截面的形心，且与载荷作用面垂直。
2）、梁轴线的曲率与弯矩间的关系
由此可得，在纯弯曲等直梁上，各点处的曲率相等，故轴线应该是一条圆弧线，且长度不变（轴线即各横截面形心的连线，均处于中性轴上）
3）、梁横截面上的正应力
1》分布规律——任一点正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。
2》计算公式：
对于纯弯曲梁，上式为精确解，对于横力弯曲，上式为近似解（细长梁也即轴向长度L与纵向长度h的比值大于等于5时，误差约为2%）
4）、梁的正应力强度条件
强度计算三类问题：
1》强度校核
注意：找准危险截面 。最大弯矩处或最小的抗弯截面系数处也即最小截面处，另外注意台阶轴的截面突变处需要校核
2》截面设计 ， 已知最大弯矩值和许用正应力值，求得最小的抗弯截面系数，再由WZ计算出最小截面尺寸
3》许用载荷计算 ，已知截面形状和许用正应力计算出最大弯矩，再由最大弯矩计算出许用载荷
2、梁的切应力、切应力强度条件（一般机械设计中不考虑切应力强度计算）
1）、矩形截面梁的切应力
1》分布规律——切应力方向与剪切力方向平行，其大小沿截面宽度均匀今年分不，沿高度成抛物线变化。
2》计算公式
2）、工字型截面梁的切应力
1》分布规律——铅垂方向的切应力的分布规律与矩形截面相同。
2》计算公式：
腹板部分：
注意：
a、翼缘部分，铅垂方向的切应力很小，主要为水平方向切应力
b、铅垂方向的切应力主要由腹板承受（为95%~97%），且腹板上最大切应力和最小切应力相差不大。故工字型截面上的最大切应力近似为
3）、圆形截面梁的最大切应力
1》、切应力分布假设——截面上同高度各点的切应力作用线汇交于一点，其铅垂分量沿截面宽度均匀分布，沿高度按抛物线规律变化。
2》、最大切应力公式：
4）、梁的切应力强度条件：
3、受弯杆件强度问题的说明
1）、对于细长杆而言，由弯矩产生的正应力是主要的，剪力产生的切应力是次要的。故只需要考虑正应力强度即可。但当构件较粗短，剪力较大而弯矩较小时，或在薄壁截面梁中，应核算切应力强度。
2）、最大正应力发生在弯矩最大的截面的上下边缘处，该处切应力为0（单向应力状态）；最大切应力发生在剪力最大的截面的中性轴上，该处正应力为0（平面应力状态）。对于其他既有正应力又有切应力的点，计算强度时应该计算出该点的主应力并应用强度理论进行核算。（与第七章结合）
第二章知识要点
1、轴向拉伸与压缩的概念和实例
受力特点和变形特点
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合。杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
2、轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1）、求内力方法：截面法
2）轴力：截面上的内力。（由于外力（或外力合力的）作用线与杆件的轴线重合，故由平衡方程，内力的作用线也与杆件轴线重合。所以称为轴力）
3）、轴力的符号：拉为正，压为负
4）、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面积有关，必须用应力来比较和判断杆件的强度
3、轴向拉伸（压缩）时横截面上的应力
1）、应力定义：由外力作用所引起的内力密度
2）、应力的特征：应力定义在物体的假想平面或边界上的一点处；量纲位单位面积的力，应力的单位为或记作Pa（因为数值一般比较大，所以多用MPa作单位）
3）、轴向拉伸（压缩）时横截面上的应力
分布规律：对等截面直杆，正应力在整个截面上均匀分布。
推导方法：基于两个假设。（连续性假设、平面假设）
计算公式：
4、轴向拉伸（压缩）时，斜截面上的应力——可与第七章结合学习
1）、斜截面上的应力
正应力
，切应力
2）、最大、最小应力
最大正应力出现在横截面上 
最小正应力出现在与横截面垂直的面上，
最大切应力出现在与横截面成45°角的斜截面上 
最小切应力出现在横截面上，切应力为0
轴向拉伸（压缩）时，应力状态为单向应力状态，主应力单元为包含横截面的单元体。
5、轴向拉伸（压缩）时的强度
1）低碳钢的静拉伸试验
1》弹性变形和塑性变形
a、 弹性变形：解除外力后能完全消失的变形
b、 塑性变形：解除外力后不能消失的永久变形
2》变形的四个阶段
弹性变形阶段；屈服阶段；强化阶段；（颈缩阶段）局部变形阶段。
3》力学性能指标
a、强度指标
比例极限
—应力和应变成正比的最高应力值
弹性极限
—只产生弹性变形的最高应力值
比例极限和弹性极限是弹性变形阶段的两个重要强度指标
屈服极限—应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值
强度极限
—材料在断裂前所能承受的最高应力值
b、弹性指标：弹性模量 
， 单位为Mpa
c、塑性指标：断后伸长率（延伸率）
断面收缩率
d、冷作硬化：材料经过预拉伸至强化阶段，卸载后，再受力时，呈现比例极限提高，塑性降低到现象。
2）、轴向拉伸（压缩）时的强度条件
构件最大应力不得超过材料的许用应力 
许用应力是材料容许承受的最大工作应力
， n为大于等于1的系数
3）、强度计算的三类问题
1》 强度校核
已知内力、杆件的形状（横截面积）、许用应力
2》 截面设计 
已知内力、许用应力，求横截面积的最小值
3》 许用载荷计算 
已知许用应力、横截面积，求许用的最大载荷
6、轴向拉伸（压缩）时的变形与位移
1）、变形的定义
受力物体形状改变时，两点之间线距离（线变形）或二正交线段之间夹角的改变（角变形）。变形是绝对的。
线变形对应正应力，角变形对应切应力。
2）、轴向拉压时的变形
1》纵向变形
2》纵向应变
3》胡克定律
或 
胡克定律的适用条件：
a、 应力不超过材料的比例极限，即材料处于弹性范围；
b、 在计算纵向变形
的长度L范围内，轴力
、弹性模量E、横截面积A均为常数。
4》横向应变 
5》横向应变
6》泊松比 
，横向应变除以纵向应变，量纲为1，即为无量纲量
因纵向伸长后横向必定缩短，所以横向应变和纵向应变的关系可写成如下公式
（泊松比前有负号）
和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹性常数。
3）、位移的定义
受力物体形状改变时，相对于某参考坐标系，物体上一点的未知改变的直线距离（线位移），或一线段方向改变的角度（角位移）。
不管线位移还是角位移，都是相对于某参考坐标系的，若参考坐标系变化，位移的数值也会变化。故位移是相对的。
7、轴向拉伸（压缩）时的超静定问题（本小结内容考研的同学可能要用到）
1）、超静定问题
未知数多于可被应用的独立平衡方程数，不能用静力学平衡方程完全确定全部未知数的问题。
2）、超静定问题的解题步骤
1》静力平衡条件—由静力平衡条件列出平衡方程
2》变形相容条件—根据结构或杆件变形后应保持连续性的变形相容条件，做出位移图（或变形图），由位移图的几何关系列出变形间的关系方程
3》物理关系—由胡克定律列出力—变形间的关系方程
4》将物理关系代入变形相容条件，得补充方程。补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
8、剪切及其实用计算
1）、剪切的力学模型
1》受力特征：构件受一对大小相等、方向相反、作用线互相紧靠但不重合的平行力作用。
2》变形特征：构件沿二平行力的交界面发生相对错动。
2）、剪切面：构件将发生相互错动的面。
3）、剪力：剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。
4）、实用计算方法
根据构件破坏的可能性，以直接试验为基础，用剪切面上的平均应力（名义应力）来进行构件的强度计算。平均切应力并非破坏截面上的实际应力。
5）、平均切应力（或名义切应力）
假设切应力在整个剪切面上是均匀分布的，则平均切应力等于剪切面上的剪
力除以剪切面面积，即
6）、剪切强度条件 
式中，
为根据直接试验并按名义切应力公式（平均切应力计算公式）求得的材料的许用切应力。
9、挤压及其实用计算
1）、挤压：构件局部面积的承压作用
2）、平均（名义）挤压应力
假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布，则
，并非挤压面内真实的挤压应力。
平面接触时，有效挤压面积
等于实际承压面面积，柱面接触时，有效挤压面积为实际承压面面积在其直径平面上的投影。
1 第四章基本知识点
1.1 基本概念
平面弯曲、简支梁、外伸梁、悬臂梁、剪力、弯矩、剪力图、弯矩图。
1.2 梁的简化和基本形式
梁的支承情况和载荷情况各种各样，通常用一个计算简图代替梁。
1在分析梁的内力和变形时，以梁的轴线来代替梁。
2梁的载荷可简化为集中力、集中力偶和分布载荷。
3梁的支座可简化为固定端、固定铰支座及可动铰支座。
4静定梁有三种基本形式，即简支梁、外伸梁、悬臂梁。
1.3 剪力和弯矩
梁横截面上的内力可用截面法求得，某截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力的代数和，截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。截面上剪力绕该段梁顺时针转动时为正，逆时针转动时为负；使梁上凹下凸变形时弯矩为正，反之为负。
1.4 剪力图和弯矩图
为了表明梁上各截面的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，通常以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置x为横坐标绘出表示剪力和弯矩的图线，称为梁的剪力图和弯矩图。
1.5 分布载荷、剪力和弯矩之间的微分关系
设分布载荷q(x)向上为正，分布载荷、剪力和弯矩之间有如下微分关系：
。
由上述微分关系可知，剪力图上一点的斜率等于梁上相应点的分布载荷集度；弯矩图上一点的斜率等于梁在相应截面的剪力。
2重点与难点
2.1剪力和弯矩的符号
在用静力平衡方程求梁上任意截面的内力时，建议使用“设正法”，即假设该截面的剪力和弯矩都为正值，计算结果的正负号即为内力的真实符号，应熟练掌握。
2.2剪力图和弯矩图
内力图分界点处有如下特点：
1集中力作用处，剪力图有突变，突变值等于集中力的数值；弯矩图有尖点。
2集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的数值。
3均布载荷作用处，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，剪力为零处抛物线出现极值。
4梁的端点处：无集中力作用时，剪力为零；有集中力作用时，剪力等于集中力的数值；无集中力偶作用时，弯矩为零；有集中力偶作用时，弯矩等于集中力偶的数值；
2.3分布载荷、剪力和弯矩之间的微分关系
利用微分关系，可以方便地画出梁的剪力图和弯矩图，也可校核所画出的内力图。建议在熟练的基础上多使用这种方法。
3解题方法要点
3.1列梁的内力方程
首先应根据梁上的载荷的具体情况，把梁分为若干段，分别列各段的内力方程。列梁的内力方程的基本方法是截面法，用截面任意一侧梁上外力直接计算该截面的内力，应特别注意外力的方向及其相应的内力符号。对列出的内力方程可以用微分关系校核。
3.2画梁的内力图
画内力图应分段来画，对于每一段可以直接根据内力方程画出内力图，也可以根据微分关系来画内力图，熟练的基础上建议使用后一种方法。
第三章扭转知识要点
1、扭转的力学模型
1）、构件特征 ——构件为等圆截面直杆
2）、受力特征 ——外力偶矩的作用面与杆件轴线相垂直
3）、变形特征 ——杆件各横截面绕杆轴作相对转动
2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩—扭矩
1）、传动轴的转速、传递的功率与外力偶矩之间的关系为
2）、扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T表示。
3）、扭矩正负号的规定——用右手螺旋定则，扭矩矢量方向指向截面外为正，指向截面内为负。
4）、扭矩图——表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。
3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件
1）、横截面上的切应力
a)、分布规律——切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。
b)、计算公式：
2）、极惯性矩与抗扭截面系数
a)、实心圆截面
b)、空心圆截面
3）、圆轴扭转的强度条件
4）、强度计算的三类问题
a)、强度校核
b)、截面设计
c)、许可载荷计算
4、圆轴扭转时的变形、刚度条件
1）、圆轴扭转时的变形
小变形时，圆轴二任意横截面之间仅产生相对角位移变形，称为相对扭转转角。
a)、相对扭转角
b)、单位长度相对扭转角
计算相对扭转角的公式，应在长度L范围内，T、G、Ip均为常数，若其中任一参数T或G或Ip不为常数，则应分段计算扭转角，然后叠加。
2）、圆轴扭转时的刚度条件
? 本章重点
? 圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度
? 圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转角）计算
? 圆轴扭转应力与强度计算中需要注意的几个问题
? 1.必须注意应力和变形公式的应用条件
? 只适用圆轴在弹性范围内的扭转
? 2.正确确定扭矩T和极惯性矩Ip的数值
? Ip是整个截面对其中心的极惯性矩，而与所求应力的点的位置无关。T是截面上的扭矩，它是内力而不是外力。
? 3.正确判断扭转剪应力的方向
? 根据平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向（转向相反），再根据力系与其合力的关系，即可由扭矩方向判断剪应力的方向（方向相同）
? 刚度计算时需要注意刚度条件中不等号两侧的计算
? 单位保持一致