一. 圆锥曲线定义：
椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于
叫做椭圆的焦距。
）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离数学语言：
常数2a=， 轨迹是线段2a=； 常数2a<，轨迹不存在；
x2y2
椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）的几何性质： ab
①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个
a2
对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； c
c⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 a
双曲线：平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
数学语言： MF1?MF2?2a （2a?F1F2）
常数2a=，轨迹是两条射线；常数2a>，轨迹不存在；常数2a=0,轨迹是F1F2的中垂线。
x2y2??1（a?0,b?0）的几何性质 双曲线（以a2b2
①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
2ca称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双ac
曲线?e?1，等轴双曲线?e?be越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。 a抛物线
平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛
物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）
当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。
抛物线（以y?2px(p?0)为例）的几何性质： 2
p,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：2
pc一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，2a
抛物线?e?1。 ①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(
定义中要重视“括号”内的限制条件
1
(1)定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( )
A．PF B．PF C．PF D．PF11?PF2?101?PF2?41?PF2?6
（2）
8表示的曲线是____
二、圆锥曲线的标准方程 2?PF22?12
x2y2y2x2
椭圆：焦点在x轴上时： 2?2?1 焦点在y轴上时：2?2?1 abab
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
x2y2y2x2
双曲线：焦点在x轴上时：2?2?1 焦点在y轴上时：2?2?1 abab
注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。
x2y2
练习：（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____ 3?k2?k
x2y2
??1表示双曲线，求m取值范围。 （2）已知方程m?2m?1
x2y2
（3）已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( ) m?12?m
（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．
x2y2（5）椭圆若椭圆，则m的值是__ ??1的离心率e?5m5
（6）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______
（7）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为__
x2y2
（8）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________ ab
(9)设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________ 2
x2y25（10）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_____ 942
（11）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?
的方程为____
（12）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离为___ 22的双曲线C过点P(4,?)，则C
2
（13）抛物线y2?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______
x2y2
四、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系： ab
222222x0y0x0y0x0y0?2?1?p点在椭圆上。2?2?1?p点在椭圆内。2?2?1?p点在椭圆外。 2ababab
五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______
x2y2
??1恒有公共点，则m的取值范围是______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆5m
x2y2
??1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有__条. （3）过双曲线12
x2y2
（4）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： ab
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
（6）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有__ 2
x2y2
（7）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______ 916
y2
（8）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，满足条件的直线l有__条 22
（9）对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_____
（10）过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则22
11??_______ pq
（11）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离
（12）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。
①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
题型一、求中点弦所在直线方程问题 22
3
例1 过椭圆xy??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 16422
题型二、求弦中点的轨迹方程问题
x2y2
??1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 例2 过椭圆6436
题型三、弦中点的坐标问题
例3 求直线y?x?1被抛物线y2?4x截得线段的中点坐标。
题型四：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2
??1始终有交点，求m的取值范围 例题4、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4m
题型五：弦的垂直平分线问题
13x2y2
例5已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,)，且离心率e?。 22ab
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点
1G(,0)，求k的取值范围。
8
题型六：动弦过定点的问题
例6、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
题型七：过已知曲线上定点的弦的问题
例7已知，椭圆C以过点A（1，
（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定
值，并求出这个定值。
题型八：弦长问题 3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2
4
（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线y2?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
2、圆锥曲线的中点弦问题：
x2y2
??1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （1）如果椭圆369
x2y2
（2）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：ab
x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
x2y2
（3）试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不同的两点关于直线y?4x?m对称 43
特别提醒3、直线恒过定点问题：
（1）A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）
求证：直线AB经过一个定点；
（2）抛物线y2＝2px（p＞0）上有两个动点A、B及一定点M（p，2p），F为焦点；
若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。
4、焦点三角形问题： （1）短轴长为，离心率e?例3图
2的椭圆的两焦点为F1、F2，3过F1作直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为________
（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支2
交于A、B两点，且是AF2与BF2等差中项，则＝_______
5
（4）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60?，S?PF1F2?3．求该双曲线的标准方程。
5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
p若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（，0）的直线交抛物线与 2
A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则
p2(1) y1y2＝－p；x1x2＝； 42
(2)| AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P
112(3) ； |AF||BF|p
(4) 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；
(5) 以弦AB为直径的圆与准线相切。
x2y2
(6)与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,2)的双曲线方程为_______ 916
(7) 中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是--------
题型九、动点轨迹方程问题：
1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1．点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y?8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
变式：已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．
2、待定系数法：
已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。
例1、 已知椭圆的焦点坐标为和，且经过点
0，求椭圆的标准方程。 变式：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为
3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2、求与圆(x?3)?y?1及(x?3)?y?92222
解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得
MF1?3?r,MF2?1?r， 又因为MF1?MF2?(3?r)?(1?r)?2，
由双曲线的定义可知，点M 6
x2y2
??1(x?1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18
变式：（1）、一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
（2 、 已知?ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB?sinC?
点A解：以底边BC 为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时 1sinA，求2
1B(?6,0),C(6,0)，由sinB?sinC?sinA得 2
1b?c?a?6,即|AC|?|AB|?所以，点A的轨迹是以B(?6,0),C(6,0)为焦点，2a=6的双曲线的2
x2y2
??1(x??3) 其方程为：927
（3）．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
4、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
x2y2
例3：点A位于双曲线2?2?1(a?0,b?0)上，F1,F2是它的两个焦点，求?AF1F2的重心G的轨ab
注意限制
解：设?AF1F2的重心G的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(3x,3y)
x2y2
因为点A位于双曲线2?2?1(a?0,b?0)上，从而有 ab
x2y2(3x)2(3y)2??1(y?0) ?2?1(y?0)，即2abab()2()2
33
x2y2
??1(y?0) 所以，?AF1F2的重心G的轨迹方程为a2b2()()33变式：如图，从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线 22
l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程
.
7
解：设P(x,y)，Q(x1,y1)，则N(2x?x1,2y?y1).?N在直线l上，
?2x?x1?2y?y1?2.① 又PN?l得y?y1?1,即x?y?y1?x1?0.② x?x1
3x?y?2?x?3x?y?223y?x?22?12C?()?()?1，化简整理得：联解①②得?.又点在双曲线上，Q?22?y?3y?x?2
1?2?
2x2?2y2?2x?2y?1?0，此即动点P的轨迹方程.
5、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例4 过抛物线y?2px（p?0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k?0)，则直线OB的斜率为?21.直线OA的方程为y?kx，k
x?2?y?kx??k，即A(2p,2p)，同理可得B(2pk2,?2pk). 由?2解得?2kk2p?y?2px?y???k?2p
?x???由中点坐标公式，得??y???
练习： p2?pk2k2，消去k，得y?p(x?2p)，此即点M的轨迹方程. p?pkk
(1)与y轴相切且和半圆x2?y2?4(0?x?2)内切的动圆圆心的轨迹方程是．
(2)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为
22 (3)由动点P向圆x?y?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为
（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______
(5) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 2222 8
第二篇：其他省市高考英语试卷知识点总结
试卷知识点
20xx四川高考英语卷
单项选择：交际用语、it作形式宾语、连词、倒装句、非谓语、时态、动词用法、名词、副词（that和so的用法）、冠词、情态动词
完型：连词、动词、形容词、名词
阅读理解：细节、猜词义、主旨题、推断题
短文填空：动词搭配、动词接宾补、时态、介词、疑问词
书面表达：建议
20xx年四川卷
单项选择：交际用语、动词短语、不定代词、让步状从、定语从句、情态动词、非谓语、形容词、名称短语、强调句
完型：动词、名词、连词、副词、形容词
阅读理解：细节、猜词义、主旨题、归纳总结、目的
短文填空：动词搭配、固定短语、代词、非谓语、形容词、动词
书面表达：Description
20xx四川卷
单项选择：交际用语、情态动词、动词过去式作定语、介词、系动词、代词、动词词组、倒装句、定语从句、动词不定式、形容词、宾语从句、主谓一致、时态、现在分词、语态、祈使句、时间状语从句
完型：动词、名词、连词、副词、形容词
阅读理解：细节、推断、猜词义、题目、主旨题、判断正误、目的
短文填空：动词时态、动词搭配、代词、连词、疑问词、介词、情态动词、名词单复数 书面表达：speech
20xx天津高考
单选、交际用语、一般过去时、固定搭配、让步状从、连词、倒装句、定语从句、情态动词、动词、whether 名词性从句、形容词、非谓语、虚拟
完型：形容词及短语、副词、名词、介词、动词及短语、连词
阅读：猜词义、细节、推断、归纳总结、目的主旨
作文：邀请信
20xx年山东卷
单选：代词、交际用语、定语从句、名词辨析、名词性从句、动词不定式、时间状语、动词时态、冠词、虚拟语气、地点状从、形容词、过去分词作定语
完型：动词、名词、形容词、副词
阅读：目的、细节、推断、归纳、猜词义、判断正误
书面表达：Description
20xx湖南卷
单项选择：动词不定式、时态、动词过去分词作定语、连词、whether引导宾语从句、虚拟
语气、强调句、让步状语从句、定语从句、主谓一致
阅读理解：细节、猜词义、主旨题、目的
完型：动词、名词、副词
短文填空：名词、情态动词、冠词、代词、介词
书面表达：记叙文
20xx年上海卷
单选：介词、代词、固定短语、情态动词、such/so 用法、反意疑问句、时态、动词ed形式、同位语、连词、名词性从句、定语从句
选词填空：形容词、副词、动词、名词
完形填空：形容词、副词、动词、名词
阅读理解：细节、判断、推断、题目判断、
翻译：时态、短语应用
书面表达：申请（书信）
20xx全国卷
单选：交际用语、冠词、定从、代词、非谓语、连词、动词短语、形容词、时态、情态动词、动词不定式、介词、名词搭配
完型：连词、形容词、动词、名词
阅读：细节、词义、题目、推断、目的、观点
短文改错：代词、名词单复、连词、时态、冠词、动词过去分词、介词
作文：邀请信
20xx湖北卷
单词：名词、动词、副词、形容词
完型： 名词、副词、连词、情态动词、形容词、动词（辨析、搭配、变形）、介词 阅读：细节、文章题目、猜词义
书面表达：翻译句子;写作—开放式写作