高一数学必修3 知识点总结

高中数学必修3 知识点总结

第一章 算法初步

知识梳理

 

一、理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…       (algorithm)

     1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言.

     2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等

                             ②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构

二、流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

三、算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构

 

                       

                            

                                     

                                            直到型循环            当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequence  structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。    

四、基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo  code），且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。

Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：x=y，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“”，但此时的“ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2*a + 3

   都是正确的。

     2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a = b = c = 2  , a , b ,c =2 都是错误的，

   而 a = 3 是正确的.

例题：将x和y的值交换

  ,  同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :     

Ⅱ.  输入语句（input statement）:  INPUT a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out   statement） ：PRINT x ,y  表示一次输出 运算结果x ,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.INPUT 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. PRINT 语句不能起赋值语句，意旨不能在PRINT 语句中用 “ = ”4.PRINT语句可以输出常量和表达式的值.

例题：当x等于5时，PRINT “x = ”; x  在屏幕上输出的结果是   x = 5

Ⅲ.条件语句（conditional statement）：

If  A  Then  B   注：①不要忘记结束语句End   IF ，当有IF语句嵌套使用时，有几个IF，就必须要有几个End  IF ②. ELSE  IF 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外 ELSE If 后面也要有END  IF ③  注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④  为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

 

例题:  用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

 注：1.  同样的你可以写出求三个数中最小的数。2.  也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句（ cycle statement）:While循环 v  Do  循环有两种表达形式

 

说明：1. DO循环是后测试型的，即满足什么条件才跨出循环. 2.WHILE循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环3.WHILE循环和Do循环可以相互转化 4.注意临界条件的判定.

例题：

提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出程序，而有的题目则是既写出算法画出程序框图还要写出程序。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画程序框图较为简单，但也有的算法程序比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画程序框图，最后写程序。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

第二章统计

u基本定义：

(1)总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.(3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本.(4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.

v抽样方法：

（1）简单随机抽样（simple random sampling）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页）

(2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔，然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为  ，然后就可以将编号为 的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组相同编号的个体。

(3)分层抽样（stratifed sampling）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

样本容量越大，估计越精确！

提醒：1.  把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程

2. 个体数N的总体中抽取一个样本容量为n的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于.其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的

3.  三种抽样都是不放回的抽样

4.  在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力.

w两种抽样方法的区别与联系：

 

典型例题剖析：

例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.

例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，

求 ①  每个个体被抽到的概率，

   ②　若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，

③  若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.

例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为，求这个样本容量.

例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.

(1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.

(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

例5、 某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?

 

例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？

x                              总体分布的估计

Ⅰ.频率分布表：

1. 注意全距，组距的确定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取适当的量作为全距，正常情况下分为十组左右，，也就是合理分组

2. 分组的时候一般取左闭右开区间，最后一个区间取闭区间，然后填写分组、频数、频率、合计

3. 如果全距不利于分组（如不能被组数整除）就可适当的增大全距，即在左右两端增加相同的量

4.分组过少，总体的特征不明显；分组过多，总体特征不利于比较

Ⅱ.频率分布直方图：1.横轴表示数据的内容，每一线段表示一个组的组距，注意横轴要有单位

2.纵轴表示的是：  3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率

Ⅲ.频率分布折线图： 1. 由频率分布直方图直接得到，取值区间的两端点分别向外延伸半个组距并取此组距上再x轴上的点，然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的中点，形成折线图   2.当样本容量足够大，分组的组距取得足够小时，折线图取与一条平滑的曲线，称这条曲线为总体分布的密度曲线，而且曲线与横轴围成的面积为1  3.  在总体密度曲线中，总体在区间（a,b）内取值的可能性就是直线x=a , x=b , y=0 和总体密度曲线围成的面积   4. 累计频率分布曲线上任意一点  的纵坐标标b表示的连续型总体，取小于等于 a 的值的可能性

Ⅳ. 三者的特点

频率分布表：数据翔实、具体、清晰明了，便于查阅

频率分布直方图：形象直观，对比效果强烈

频率分布折线图：能够反映变化趋势

Ⅴ.茎叶图的特点： 优点——简单易行，杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数据的水平状况、稳定程度；所有的数据都可以在茎叶图中找到.  缺点——分析只是粗略的，对差异不大的两组数据不易分析，另外，对位数较多的数据不易操作，数据较多时效果不是很好.

  注意点：1. 对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏 2. 茎要从小到大自上而下的排列，中间用一条竖线隔开  3. 叶也要按照从小到大的顺序排列，对于两组数据的可以用两条竖线把茎和叶隔开，左边的叶最好按照从大到小的顺序排列，右边的叶按照从小到大的顺序排列 4.  茎叶图一般在衡量一位或者两位运动员在比赛时的得分情况

y                 总体特征数的估计

反映总体某种特征的量较总体特征数，比如平均数、中位数、方差、众数等

  ⅰ.平均数（average） 或均值（mean）：     

    其原理：最小二乘法 ——设与实验数据近似的值为  x  则它与这n个实验数据的离差为由于上面的离差有正有负，故不易直接相加，就考虑离差的平方和

 所以当时，离差的平方和的函数取得最小，误差也就最小，故而用  作为这组数据的理想近似值.

ⅱ.平均数的求法:  题目类型有离散型和连续型两种情况

①  ②加权平均数:

（其中 为 对应的频率），这里也是为我们今后将要学习的数学期望作铺垫

注：特别地，对于连续型的随机变量在分好组后，其 应该取每一组的组中值近似的表示

ⅲ.样本方差（variance）:

=

样本标准差(standard deviation)：

说明：1.  平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量

      2.  方差、标准差是反映一组数据波动大小或稳定程度或各个数据与平均数的离散程度的统计量，记住它们的表达形式，在选择题中常出现关于它们的判断

3.   一个重要结论：

4.   方差与越大，稳定性越差

5.   关于它们的运算，分连续型和离散型两种情况， 对于离散型的随机变量也要注意选择组中值

  例题：从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）:

甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

根据以上数据回答下面的问题：

（1）哪种玉米苗长得高？  （2）哪种玉米苗长得齐？

ⅳ.几个重要的结论：对于一组数据的平均数为 方差为 标准差为

①  若 都增加 ,则平均数为   方差为    标准差为 

也可以这样解释：同时增加，也就是相当数据平移了，不会改变数据的波动程度，所以方差和标准差都不会变.

②若 都递增%，则平均数为   方差为    标准差为 

③若 都变为原来的倍，则平均数为   方差为    标准差为 

  例题: 已知的方差为2，则 的标准差为 ？

解法1：（公式推导法）

     

  

解法2：（推理法）

因为数据的每一项都是先2倍后加上3，而加上3对方差没有影响，2倍后则方差变为原来的4倍，即方差标为8 ，则标准差为 .

 z             线性回归方程

ⅰ.变量之间的关系：① 确定的函数关系 ② 相关关系（有一定的关系，但不能用函数表达出来）

ⅱ. 对于一组数据探讨它们满足的关系，可以先画出散点图，看它们的大致趋势，然后选择一种函数进行数据拟合，电脑和计算器一般给出6种拟合函数，也就是说对于一组数据可以用各种函数模型来拟合，只不过拟合度不同而已，当拟合度越接近于1则拟合得越好，本教材之研究线性拟合，也就是求线性回归方程

ⅲ. 线性回归分析：理论依据——最小二乘法   见课本  

ⅳ.  设线性回归方程为  ，关键在于求

               

ⅴ. 相关系数：    称为

ⅵ.说明：

1. 由于公式的复杂，数据有的也较多，所以在具体做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉 

2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出5～6组数据，算起来已经不是很难了

3. 当然这种拟合（我们主要学习线性拟合——就是求线性回归方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有兴趣的同学可以在Excel软件里试一试

§3.   概率

u   事件：随机事件（ random event ），确定性事件:  必然事件( certain  event  )和不可能事件( impossible  event )

v  随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件        在次实验中发生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为

    说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

w概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有 

② ③如果事件

x 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个  ②  每个基本事件发生的可能性都相等  满足这两个条件的概率模型成为古典概型

      如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为                     

y 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件，则事件发生的概率为

      （ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

z互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

 对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件  ，事件的对立事件 记为：

{独立事件的概率：，

若

说明：①  若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集   ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤  两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1  ⑥ 若事件是互斥事件，则有 ⑦  一般地，如果  两两互斥，则有   ⑧     ⑨ 在本教材中 指的是 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上的例题

|例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

变式训练1、 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

2、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：

（1）第1次抽到的是次品       （2）抽到的2次中，正品、次品各一次

3、甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？

4、一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？

5、设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？

例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？

变式训练

1、在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？

2、如图，已知矩形任取一点P，的概率？