集合、简易逻辑

知识梳理：

1、  集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。

元素与集合的关系：或

集合的常用表示法：列举法  、  描述法  。集合元素的特征：确定性  、  互异性  、无序性。

常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N；正整数集，整数集Z；有理数集Q；实数集R

2、子集：如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集，记为

3、真子集：如果，并且，那么集合成为集合的真子集，记为，读作“真包含于或真包含”，如：。

注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集  

结论：设集合A中有个元素，则A的子集个数为个，真子集个数为个

4、补集：设，由中不属于的所有元素组成的集合称为的子集的补集，记为，读作“在中的补集”，即=。

5、全集：如果集合包含我们所要研究的各个集合，这时可以看作一个全集。通常全集记作。

6、交集：一般地，由所有属于集合且属于的元素构成的集合，称为与的交集，记作即：=。

7、并集：一般地，由所有属于集合或属于的元素构成的集合，称为与的并集，记作即：=。

记住两个常见的结论：；；

9、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题  特称命题）

⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；

  全称命题p：；全称命题p的否定p：。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；

  特称命题p：；特称命题p的否定p：；

10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q；p且q；非p(记作┑q)。

11、“或”、“且”、“非”的真值判断：

非p与p真假相反；“p且q”：同真才真，

一假即假；“p或q”：同假才假，一真即真

12、命题的四种形式与相互关系：

?    原命题：若P则q；

?    逆命题：若q则p；

?    否命题：若┑P则┑q；

?    逆否命题：若┑q则┑p

?    原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；

?    逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；

13、从逻辑推理关系上看：

若，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”。

   若，则p 是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。

   若，且，那么称p是q的充分不必要条件。

若p q， 且qp，那么称p是q的必要不充分条件。

若pq，  且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。

从集合与集合之间的关系上看：

条件p、q对应集合分别为A、B，则

若，则p是q的充分条件，若，则p是q的充分非必要条件

若，则p是q的必要条件，若，则p是q的必要非充分条件

若A=B，则p是q的充要条件

若，则p是q的非充分必要条件                                                                         

第二篇：高中数学核心知识点及基本思想方法总结1----集合与简易逻辑

高中数学核心知识点及基本思想方法总结

  第一章    集合与简易逻辑 

¤第一部分·集合与集合运算¤

◆内容概述◆

集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

◆知识点拨◆

※< 1 >※  集合与元素。一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（确定性）。集合中每个对象叫做这个集合的元素。

【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么）

②元素与集合的关系。（属于、不属于）

【例题】设集合，若，试判断a+b与A、B的关系。

〖分析〗两个集合中的k不可以理解成是同一个变量，即解作：

，此法失去任意性。

〖解答〗

③集合中元素的三个特征。（确定性、互异性、无序性）

【例题】已知，其中。

（1）若，求实数的值；（2）当为何值时，集合的表示不正确？

〖解答〗

④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）

【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。

【例题1】用符号语言表示图中阴影部分的集合，

〖解答〗。

【例题2】

A．P=M     B．Q=R     C．R=M     D．Q=N

〖解答〗D．集合中的许多概念都是用“元素”来定义的，因此遇到集合问题时首先要弄清楚集合中的元素是什么，这是解题的关键。

⑤常用数集记住了吗？（）

※< 2 >※  集合与集合之间的关系。（对于集合A、B、C、U）

①包含关系：

②运算关系：

③重要性质及结论：

【注意】ⅰ）注重数与形的结合是解集合问题的常用技巧，解题时要尽可能地借助数轴（多用于集合运算，含绝对值不等式求解，标根法等）、直角坐标系或文氏图（多用于集合关系的表示等）等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。

【例题1】（08北京1）已知全集U=R，集合，那么集合等于（  D  ）

A． B． C． D．

【例题2】（05全国Ⅰ理2）设I为全集，是I的三个非空子集且，则下面判断正确的是（    ）

A．       B．

C．    D．

〖解答〗C.本题是抽象集合的关系问题，结合已知画出文氏图观察即可，也可以用特例法。

【例题3】已知集合

〖解答〗

☆方法技巧☆  处理集合运算问题先确定集合是前提，同时要清楚集合中的元素是什么，对于含参数的集合要注意讨论，然后根据集合之间的关系借助于数轴列出符合题意的不等式组求解。

ⅱ）注意对空集的讨论，空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

【例题】集合则实数a的值构成的集合为               。

〖解答〗。注意对情况的讨论，即对进行讨论。

ⅲ）注重一些结论的应用。

【例题1】（06重庆理1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则集合=（    ）  A. {1,6}  B. {4,5}  C. {2,3,4,5,7}  D. {1,2,3,6,7}

〖解答〗D.利用德摩根定律即可。

【例题2】若A、B、C为三个集合，，则一定有（    ）

A．    B．    C．    D．

〖解答〗A．本题也可以由图示法求得。

【例题3】设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（    ）

A．1       B．3        C．4        D．8

〖解答〗C．由已知只需求集合A的子集个数即可，即个。

ⅳ）会用“补集思想”解决问题（排除法、间接法）。

【例题】已知函数，在区间上至少存在一个实数c使f(c)>0，求实数p的取值范围。

〖解答〗设所求p的范围为A，

则，

注意到函数的图象开口向上，∴

，∴。

◆跟踪训练（一）◆

1. 下列各组对象中不能形成集合的是（    ）

A．所有的无理数   B．26个英文字母   C．所有的正三角形   D．文静的女孩

2. 已知集合A={a，b，c}中的三个元素，可成为△ABC的边长，则△ABC一定不是（    ）

A．等腰三角形  B．直角三角形  C．锐角三角形  D．钝角三角形

3.（06福建理4）已知全集U=R，且则

等于（    ）    A.     B.     C.      D.

4. 满足条件的集合的个数为（    ）

A．6      B．7     C．8      D．9

5.已知，则a的取值范围是（  ）

A.a<1或a>5     B.a≤1或a≥5     C.1<a<5     D.1≤a≤5

6.已知，则集合中所有元素的和为           。

7.已知集合为无限集，则            。

8.含三个实数的集合既可表示为，也可表示为，求的值。

9.已知集合若，求实数m的取值范围。

10. 已知集合，求时实数k的取值范围。

¤第二部分·简易逻辑¤

◆内容概述◆

    逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具。对本部分的考查主要分两方面，一是直接考查命题真假的判定、复合命题的组成、四种命题及充要条件的判定，以客观题为主；二是体现其工具作用，从理解题意、分析解决问题、叙述问题、寻找等价问题等进行广义上的考查。要求我们理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充要条件的意义。

◆知识点拨◆

※< 3 >※  语句与命题。可以判断真假的语句叫做命题，一般为陈述句（也有反问句）。

【例题】下列语句为命题的是        ，①集合A={x|x=2n,n∈Ζ}是奇数集;②2x=1;③x<3;④x²+1≥0;⑤小于直角的角;⑥很高的山顶常常终年积雪;⑦垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑧求证：若x∈R，方程x²-x+1=0无实根。

〖解答〗①是假命题；④是真命题。②③为开语句（含有变量），在给出变量值之前无法判断；⑤⑥有不确定因素；⑦是疑问句不是命题；⑧是祈使句不是命题（例：把门关上）。

【注意】1．区分好逻辑联结词与日常用语。

常用的逻辑联结词有“或”(∪)具有选择性，即至少有一个成立；“且”(∩)具有兼有性，即同时成立；“非”(¬)具有否定性，即对原命题的否定。

2．命题按是否含有逻辑联结词可分为简单命题与复合命题（由简单命题和逻辑联结词构成的命题）。对复合命题真值的判断可分为三步：①确定复合命题的构成形式；②判断各简单命题的真值；③用真值表判断复合命题的真值。附真值表如下

【例题1】命题p：若a,b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件。命题q：函数的定义域是，则（  D  ）

A.p或q为假     B.p且q为真     C.p真q假     D.p假q真

【例题2】如果命题p或q为真，p且q为假，则（  D  ）

A.命题p和命题q都是假命题          B.命题p和命题q都是真命题

C.命题p和命题非q真值不同          D.命题p和命题非q真值相同

☆方法技巧☆  由真值表中原命题与命题的否定之间的真值相反的关系，我们能得到一种证明问题的重要方法，即反证法（从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法），属于间接证法。当直接证明比较困难，如结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等语句时或证明一些存在性问题时往往采用此法。其证明命题的一般步骤如下：

⑴假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；

⑵从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；

⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（判定）。

【例题3】证明：不论x,y取任何非零实数，等式总不成立。

〖证明〗假设存在非零实数使成立，带入整理有，即，出现矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

【例题4】若，试证|f(0)|,|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个大于等于。

〖证明〗

※< 4 >※  命题的四种形式及其相互关系。命题由条件和结论两部分构成，即一般都可以写成若p则q的形式，附四种形式关系图：

【思考】①原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真；

②互为逆否命题的两个命题同真假。

☆方法技巧☆  当一个命题的真值难以判断时，可以考虑其逆否命题的真值判断。

【例题1】设原命题是“已知a,b,c,d是实数，若a=b且c=d，则a+c=b+d”写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断真值。

〖解答〗逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a=b且c=d。假（举反例即可）

否命题：已知a,b,c,d是实数，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d。假（与逆命题真值相同）

逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d，则a≠b或c≠d。真（与原命题真值相同）

【例题2】在原命题“若a>b，则a²>b²”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为  3  个。

【思考】命题的四种形式中真（或假）命题的个数的特点（答：只能是偶数个）

【注意】①区分命题的否定(只否定结论)和否命题(条件和结论全否)。

*命题的否定只否定结论（若p则¬q），强调语意的全面否定，其真值必然与原命题相反。

*否命题对条件和结论要完全否定（若¬p则¬q），其真值与原命题无关。

附常见否定词表：

【例题】若x,y∈R且x²+y²=0，则x,y全为0。写出其否定形式               。

〖解答〗若x,y∈R且x²+y²=0，则x,y不全为0。

【例题】命题“四边相等的四边形是正方形”的否命题是                    。

〖解答〗四边不相等的四边形不是正方形。

②确定命题为正确的要有严格的证明，确定命题为假只需举一个反例即可（证成立要严密，不成立举反例）。

※< 5 >※  充分条件与必要条件。

☆方法技巧☆  判断充分条件、必要条件及充要条件的方法主要有：

（1）定义法：若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。定义反映了条件和结论的因果关系，其情况（p作条件，q作结论时）有4种，即充分不必要条件（）；充要条件（）；必要不充分条件（）；既不充分也不必要条件（）。表述时需要注意语序，一种是结论的什么条件是什么；另一种是条件是结论的什么条件。

【例题1】若p:-2<a<0,0<b<1，q:关于x的方程x²+ax+b=0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？

〖解答〗若a=-1,b=1/2,则△=a²-4b<0, 关于x的方程x²+ax+b=0无实根，则。

若关于x的方程x²+ax+b=0有两个小于1的正根，不妨设为x₁,x₂,且0<x₁≤x₂<1,则0<x₁+x₂=-a<2,0<x₁x₂=b<1,则，可见p是q的必要不充分条件。

【例题2】命题p：不等式的解集为{x|0<x<1}，命题q：在ΔABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要非充分条件，则(  A  )

A. p真q假      B. p且q 为真      C. p或q为假       D. p假q真

（2）图示法（传递法）：对于较复杂的、多个的或抽象的关系，常用等符号进行传递。

【例题】若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则(1)s是p的什么条件；(2)r是q的什么条件？

〖解答〗如右图，s是p的必要不充分条件；r是q的充要条件。（图示中各语句构成“顺次封闭环”，则互为充要条件）

（3）集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件(小集合能推出大集合，反之不可以，集合相等时互为充要条件)；

【例题1】已知p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0，则p是q的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

〖解答〗A.由已知p:1<x<2,q:0<x<3，则。

【例题2】已知p:x²-8x-20>0,q:x²-2x+1-a²>0若p是q的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是          。

〖分析〗从集合观点看，建立命题p,q相应的集合。，

，那么有如下对应关系：

〖解答〗

（4）等价命题法：即利用等价关系进行判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用此法。

【例题】已知，则的           条件。

答：充分不必要条件。可根据等价于。

◆跟踪训练（二）◆

1.（08湖南理2）“成立”是“成立”的（    ）

A．充分而不必要条件        B．必要而不充分条件

C．充分必要条件            D．既不充分也不必要条件

2.命题“对任意的，都有成立”的否定是（    ）

A．对任意的，都有成立

B．存在，使成立

C．存在，使成立

D．不存在，使成立

3.设p,q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的（    ）

A. 必要不充分条件  B. 充分不必要条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

4.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

5.一元二次方程ax²+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ）

A.a<0        B.a>0        C.a<-1        D.a>1

6.有下列四个命题：①“若，则互为相反数”的逆命题；②“若，则”的逆否命题；③“若，则”的否命题；④“若是无理数，则是无理数”的逆命题。其中真命题有              。

7.若非A是B的充分不必要条件，则A是非B的               条件。

8.某班主任计划带领同学们开展一次参观考察活动，地点从A、B、C、D、E5个地方选定，选择时要依据下列约束条件：⑴若去A地，则也必须去B地；⑵D、E两地至少去一地；⑶B、C两地只去一地；⑷C、D两地都去或都不去；⑸若去E地，则A、D两地也必须去。请问同学们的参观地点只可能是哪里？

9.已知。

求证：中至少有一个不大于。

10.已知，又知非p是非q的必要非充分条件，求实数的取值范围。