初一数学上册知识点总结

（一）有理数及其运算复习

一、有理数的基础知识

1、三个重要的定义：

（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数.

2、有理数的分类：

（1）按定义分类：              （2）按性质符号分类:

         

3、数轴

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

4、相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数.0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.

5、绝对值

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

二、有理数的运算

1、有理数的加法

（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.

（2）有理数加法的运算律：

加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

2、有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.

（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.

（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

3、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac.

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.

4、有理数的除法

有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0.

5、有理数的乘法

（1）有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.

（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数

6、有理数的混合运算

（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.

（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.

                  

（2）整式的加减复习

（3）一元一次方程复习

一、方程的有关概念

1、方程的概念：

（1）含有未知数的等式叫方程.

（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程.

2、等式的基本性质：

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.若a=b，则a+c=b+c或a – c = b – c .

（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.若a=b，则ac=bc或

（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.若a=b，则b=a.

（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换.

二、解方程

1、移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项.这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据.要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号.

2、解一元一次方程的步骤：

(1)去分母    等式的性质2

注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号.

(2)去括号    去括号法则、乘法分配律

严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号.

(3)移项       等式的性质1

越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面

(4)合并同类项      合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变.

(5)系数化为1       等式的性质2

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒.

(6)检验

二、列方程解应用题

1、列方程解应用题的一般步骤：

（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系；

（3）设未知数，列出方程；（4）解方程；（5）检验并作答.

2、一些实际问题中的规律和等量关系：

（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7.日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围.

（2）几种常用的面积公式：

长方形面积公式：S=ab，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S = a²，a为边长，S为面积；

梯形面积公式：S = ，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；

圆形的面积公式：，r为圆的半径，S为圆的面积；

三角形面积公式：，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积.

（3）几种常用的周长公式：

长方形的周长：L=2（a+b），a，b为长方形的长和宽，L为周长.

正方形的周长：L=4a，a为正方形的边长，L为周长.

圆：L=2πr，r为半径，L为周长.

（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低.所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积.

（5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价–成本.

（6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度×时间，以及由此导出的其化关系.

（7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系.

（8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程.

（9）关于储蓄中的一些概念：

本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金×利率×期数；本息=本金+利息.

（4）图形初步认识总复习

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形

                           圆柱

柱

生活中的立体图形     球    棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……

(按名称分)        锥    圆锥

棱锥

4、棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

一个n棱柱，有n条侧棱，2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面.顶点数＋面数—棱数=2

5、正方体的平面展开图：11种

6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。主视图每列的方块数是俯视图该列中的最大数字。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。左视图的列数与俯视图的行数相同。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。左视图每列的方块数是俯视图该行中的最大数字。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。从某个边上出发可分为（n-1）个三角形，从内部出发可分为n个三角形.

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

（二）直线、射线、线段

1、基本概念

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

简单地：两点确定一条直线.

3、画一条线段等于已知线段

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的大小比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.

图形：

         

           A         M           B

符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.

6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.

7、两点的距离

连接两点的线段长度叫做两点的距离.

8、点与直线的位置关系

（1）点在直线上 （2）点在直线外.

（三）角

1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.

2、角的表示法（四种）：

3、角的度量单位及换算

4、角的分类

5、角的比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

6、角的和、差、倍、分及其近似值

7、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

8、角的平线线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.

图形：

符号：

9、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏东（西）方向

（3）东（西）北（南）方向

第六章  生活中的数据

1、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成 的形式，其中 ，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

2、扇形统计图及其画法：

扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。

画法：

（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比）。

（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。

（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3、各种统计图的优缺点

条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

第二篇：初一数学上册复习知识点总结

第一讲

第一章有理数

知识点：

                                                           

1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

2.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

3.绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。

4.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

或

绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；

互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；

任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0

②若|a|=0，则a=0，

③若|a|=b，则a=±b

④对任何有理数a,都有|a|=|-a|

二、有理数的运算

2.1 有理数加法法则：

加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加；

②符号相同的数，可以先相加；

③分母相同的数，可以先相加；

④几个数相加能得到整数，可以先相加。

2.2 有理数减法法则：同加法法则

【随堂练习】

1、(1) 45+(﹣30 )                  （2）(-)-(-)              （3）(3－11)－(11－2)

(4)22 .54﹢(﹣4 .4 )﹢(﹣12 .54 ) + 4 .4                       （5）（－23）＋|－63|＋|－37|＋（－77）

(6)(－1＋－)×(－1)                              （7）－6÷（－0.25）×（－）

（8）（－7）×（－）＋13×（－）－6×（－）

2.3有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与-、…等）

乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

有理数乘法运算步骤：

①先确定积的符号；

②求出各因数的绝对值的积。

乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意：

①零没有倒数

②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

2.4 有理数除法法则：

①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。

【随堂练习】

1.                      2.   

3.                 4.   

5.         6.  

2.5 有理数的乘方

1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在  中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

注意：

①一个数可以看作是本身的一次方，如5=5¹；

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

乘方的运算性质：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

③任何数的偶数次幂都是非负数；

④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；

⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

2.7 有理数混合运算法则：

①先算乘方,再算乘除,最后算加减。

②如果有括号,先算括号里面的。

2.8

科学记数法、近似数和有效数字

①任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。用字母N表示数，则N=a×10ⁿ(1≤|a|＜10，n是整数)，这就是科学记数法。

②近似数和有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数为止，所有的数学，都叫做这个数的有效数字。

例1．用科学记数法表示下列各数:

(1)水星和太阳的平均距离约为57900000km。          (2)冥王星和太阳的平均距离约为5900000000km。

例2．用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值。

(1)0.9541(精确到十分位)；              (2)2.5678(精确到0.01)；       (3)14945(精确到万位)；

           

(4)4995(保留三个有效数字)；            (5)1.00253(保留三个有效数字)。

练习：

1．302400=            (科学记数法表示)，

2．近似数3.10 有效数字是       

3．下列四个近似数中，含有三个有效数字的是（    ）

A、0．3140　　　B、0．03140　　　　C、1．314　　　D、314

第二讲

第二章整式的加减

（用字母表示数）

代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数：单项式中的数字因数

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和

多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。

整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

代数式书写规范：

①   数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；

②   出现除式时，用分数表示；

③   带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；

④   若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

合并同类项

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项；（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。

去括号的法则

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。

整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项。

随堂练习：

1.代数式-7,x,-m,x²y,, -5ab²c³, 中,单项式有______个,其中系数为1 的有_____.系数为-1的有_____,次数是1的有________.

2.把4x²y³,-3x²y⁴,2x,-7y³,5 这几个单项式按次数由高到低的顺序写出是_________.

3.当5-│x+1│取得最大值时,x=_____,这时的最大值是_______.

4.不改变2-xy+3x²y-4xy²的值,把前面两项放在前面带有“+”号的括号里, 后面两项放在前面带有“-”号的括号里,得_______.

5.五个连续奇数中,中间的一个为2n+1,则这五个数的和是_________.

6.某音像社对外出租光盘的收费方法是:每张光盘在租出后的头两天每天收0. 8元,以后每天收0.5元,那么一张光盘在租出的第n天(n是大于2的自然数),应收租金______元.

7.如果m-n=50,则n-m=_____,5-m+n=______,70+2m-2n=________.

8.设M=3a³-10a²-5,N=-2a³+5-10a,P=7-5a-2a²,那么M+2n-3P=_________.M-3N+2P=_______.

9.下列判断中,正确的个数是(   )

   ①在等式x+8=8+x中,x可以是任何数;②在代数式中,x可以是任何数;

   ③代数式x+8的值一定大于8;④代数式x+8的相反数是x-8

  A.0个    B.1个    C.2个   D.3个

10.一种商品单价为a元,先按原价提高5%,再按新价降低5%,得到单价b元,则a、b的大小关系为(   )

  A.a>b    B.a=b    C.a<b    D.无法确定

11.若x<y<z,则│x-y│+│y-z│+│z-x│的值为(   )

  A.2x-2z   B.0    C.2x-2y    D.2z-2x        

12.对于单项式-2³x²y²z的系数、次数说法正确的是(   )

  A.系数为-2,次数为8     B.系数为-8,次数为5

  C.系数为-2³,次数为4    D.系数为-2,次数为7

13.下列说法正确的有(   )

   ①-1999与2000是同类项    ②4a²b与-ba²不是同类项

   ③-5x⁶与-6x⁵是同类项     ④-3(a-b)²与(b-a)²可以看作同类项

  A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

14.已知x是两数,y是一位数,那么把y放在x的左边所得的三位数是(   )

  A.yx    B.x+y    C.10y+x    D.100y+x

15.如果m是三次多项式,n是三次多项式,则m+n一定是(   )

  A.六次多项式      B.次数不高于三的整式

  C.三次多项式      D.次数不低于三的多项式

16.若2ax²-x+2=-4x²-x+2对任何x都成立,则a+b的值为(   )

  A.-2    B.-1    C.0    D.1

第三讲

一元一次方程

知识点：

1.等式及其性质

1.1 等式

用等号表示相等关系的式子叫等式。

2.2 等式的性质

等式性质1   等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

a=b，那么a±c=b±c

等式性质2  等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

1.2 含有未知数的等式叫做方程。

1.3只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.

【典型例题】

1．判断下列各式是不是方程：

（1）-7x+3            （2）1+4=5          （3）       （4） 

2．判断下列方程中是不是一元一次方程：

①              ②0.1x=1             ③    

 ④x-2y=0            ⑤

3．若方程  是关于X的一元一次方程，则k=      

2.解一元一次方程

2.1使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程，叫做解方程。

2.2解一元一次方程的一般步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化1

例：.

   解：第一次去分母，得

                      

第一次去括号，得  

，       

 第二次去分母，得

                     

       移项，合并同类项，得

                            

       把系数化为1，得

                               .

一元一次方程的应用1

解题思路

①审题：弄清题意；

②找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．

③设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已

找出的等量关系列出方程；

④解方程：解所列的方程，求出未知数的值；

⑤检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。

列方程解应用题的一般步骤是：

（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的等量关系；

（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的未知数；

（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据等量关系列出方程；

（4）“解”：解方程；

（5）“检”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；

（6）“答”：答出题目中所问的问题。

一元一次方程应用2

【一元一次方程应用题的几种类型】

1.数量关系问题

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

2.等积变形问题

    常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

    ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝r²h

    ②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

3．数字问题

    一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

    十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．

    然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

4．市场经济问题

  （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100%

  （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

  （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

  （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标

价的80%出售．

5．行程问题：路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

  （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

  （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

  （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

                 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

6．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间    

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

7．储蓄问题

   利润＝×100%     利息＝本金×利率×期数

8. 比例问题：若甲、乙的比是3:5，可设甲为3x，乙为5x

9. 分配问题：注意调配前的数量关系，调配后的数量关系

第四讲

图形的初步认识

知识点：

一、多姿多彩的图形

(一)知识回顾

1．立体图形：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等都是立体图形。

2．平面图形：三角形、四边形、多边形、圆等都是平面图形。

3．三视图：从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；

4．立体图形的平面展开图，正方体的展开图方式

 (二) 、例题与练习：

1． 画出下列几何体的三视图

2. 下列几何体的展开图是什么

3．（1）以长方形的一边为轴把长方形绕轴一周得到的立体图形是什么？

（2）把直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体又是什么？以斜边呢？

7、填空题.

（1）在立体图形中，面与面相交成         ，线与线相交成        .

(2)圆柱体由      个面围成，圆锥是       个面围成，它们的底面都是       ，侧面都是        .

(3)三棱柱有        个顶点，        条棱.

(4)圆锥的侧面与底面相交成        条线，这条线是       线.（填“曲”、“直”）

8．如图，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数

字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图与左视图

二、  直线、射线和线段

(一) 、知识回顾

1.点的表示方法：常用英文大写字母表示，一个大写字母表示一点，不同的点要用不同的字母来表示

2．直线的表示方法：①一条直线可以用在这条直线上的两个点来表示，如"直线AB”；②一条直线可以用一个小写字母来表示,如"直线a”                                                     

3．射线的表示方法：

①一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，端点必须写在前面，如射线OA；

②一条射线也可用一个小写字母来表示，如射线b．　　　　　　　　　　　　　　　

4．直线的性质：经过过两点有一条直线，并且只有一条直线。或者说两点确定一条直线。　

5．线段的表示方法：

①一条线段可用它的的两个端点的两个大写字母表示，如线段AB或线段BA；②一条线段也可用一个小写字母来表示，如线段a

注意：①表示直线、射线和线段时，都要在字母的前面写上直线、射线或线段；②用两个大写字母表示直线或线段时，两个字母的地位平等，可以交换位置；表示射线的两个字母不能交换位置，必须把端点字母放在前面

6．线段的画法、连接AB的意义、线段的延长线

①  用直尺可以画出以A、B为端点线段,画时注意不要向任何一方延伸;

②  连接A、B的意义就是画出以A、B的线段;

③线段的延长线:延长AB是指由A到B的方向延长,延BA是指由B到A的方向延长(也可说成反向延长AB),注意延长线应画成虚线．

7．画一条线段等于已知线段：①度量法　②尺规作图

8．线段的中点及等分点的概念：如图，

点B把线段AC分成相等的两条线段,点B叫线段AC的中点，这时有AC=2AB=2BC，AB=BC=AC；点B和点C把线段AD分成等的三段，点B和点C叫线段AD的三等分点；类似的，还有线段的四等分点等.

9．线段的性质：两点之间，线段最短。

10．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。

（二）例题分析

例1．如图，已知CB＝4，DB＝7，D是AC的中点， 则AC＝_________ .

例2．如图，M是AB的中点，AB＝BC，N是BD的中点，且BC＝2CD，如果

AB＝2cm，求AD、AN的长.

三、角

（一）、知识回顾

1． 角的概念：(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边,(2)也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。 (4)射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫做周角。

2． 角的表示方法：（1）用数字表示一个角，如∠1、∠2等。（2）用一个小写希腊字母表示一个角，如∠α、∠β、∠γ、∠θ等。（3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角），如∠A、∠B等。（4）用三个大写英文字母表示任意一个角，如∠ABC等。                                                       

3． 角的度量单位及换算：把一个周角等分成    份，一份就是1度的角；把1度的角等分成    份，每一份就是1分的角；把1分的角等分成     份，每一份是1秒的角；1度记作1º，1分记作1¹，1秒记作1¹¹。1º=     ¹，1¹=     ¹¹

4． 角的分类：平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角。所以小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类。

1周角=    平角=     直角=      º

1平角=    直角=     º 1直角=    º

5． 角的简单性质：（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的边的两条射线张开的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量，可以比较，也可以参与运算。角的比较方法：（1）度量法     （2）叠合法

6． 角的和差：如图

∠AOC=∠AOB+∠       =∠    

— ∠        ；∠BOC=       

7． 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。                                                        

8． 互余、互补：（1）如果两个角的和为    ，那么这两个角互为余角。其中一个角是另一个的余角，锐角α的余角是90º-∠α。（2）如果两个角的和为    º那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个的补角，∠α的余角是180º-∠α。（3）互余互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等。                                                

9． 用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA方向

可表示为北偏西60º 。     

 

（二）、例题分析 

1．如图，OC平分∠AOD，OE是∠BOD的平分线，如果∠AOB=130º，那么∠COE是多少度？   

 

2．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90º，求这个角。