20##卢湾区初三一模考试题
24．已知抛物线
与
轴交于点
，点
是抛物线上的点，且满足
∥
轴，点
是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的对称轴及点坐标；
（2）若抛物线经过点
，求抛物线的表达式；
（3）对（2）中的抛物线，点
在线段上，若以点
、、为顶点的三角形与
相似，试求点的坐标.
五、（本题满分14分）
25．如图，已知
与
都是等边三角形，点在边
上（不与、重合），
与相交于点
．
（1）求证：
∽
；
（2）若
，设
，
；
①求关于的函数解析式及定义域；
②当为何值时，
？
金山区初三一模考试题
24、（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：
（a≠0）分别交x轴、y轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA＝OD，过点D作CD⊥x轴，交AE于C，连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB⊥BC时
（1）求证：△ABO∽△BCD；
（2）求线段CD的长（用a的代数式表示）；
（3）若直线AE的方程是
，求tan∠BAC的值.
25、（本题满分14分）
已知边长为4的正方形ABCD截去一个角后变为五边形ABCFE（如图），其中EF＝
，cot∠DEF＝
，
（1）求线段DE、DF的长；
（2）若P是线段EF上的一个动点，过P做PG⊥AB，PH⊥BC，设PG＝x ，四边形BHPG的面积为y，求y和x的函数关系式（写出定义域），并画出函数大致图像；
（3）当点P运动到四边形BHPG相邻两边之比为2:3时，求四边形BHPG的面积.
20##年上海宝山区一模考试题
25．（本题共3小题，4分+5分+3分，满分12分）
我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．
如图9，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．
(1) 如图10，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A(-2，2)，
并求点O、A之间的距离；
(2) 如图11，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
(3) 若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．
26．（本题共3小题，3分+6分+5分，满分14分）
如图12，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，联结BD与PC交于点E，联结CD．
(1) 当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
(2) 若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时
的值；
(3) 记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，
若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
20##奉贤区初三一模考试题
24．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，已知抛物线与
轴交于点
，
，与y轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否
存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？
如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题7分）
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当
时，求线段
的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；
20##卢湾区初三一模考试题答案
24. 解（1）由题意得，
，∴对称轴为直线
；…………………（2分）
∵点，点是抛物线上的点，∥轴，
∴被直线垂直平分，∴
.………………………………………（1分）
（2）∵抛物线经过点
，，所以有
，……………（2分）
解得
，∴抛物线的表达式为
.………………………（1分）
（3）∵抛物线的对称轴为直线，∴
，…………………………（1分）
过点作
轴，垂足为点
，设对称轴与交于点.……………（1分）
∵∥轴，∴
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
∽
，…………（1分）
∴
，………………………………………………………………（1分）
当∽
时，有
，
∵
，∴
，∴
；…………………（1分）
当∽
时，有
，
∴
，∴
，………………………………………………………（1分）
综上所述满足条件的点的坐标为
或
.
五、（本题满分14分）
25．（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴
，……………………………………………………（1分）
∵
，∴
，……………………（2分）
∴∽.………………………………………………………………（1分）
（2）∵∽，∴
，………………………………………（1分）
∵，设，，∴
，………………………………（1分）
∴
.……………………………………………………………（2分）
（3）解法一：∵与都是等边三角形，
∴
，
，∴
，…………（1分）
∴
∽
，∴
，……………………………………………（1分）
∵
，，∴
,……………………………………………（1分）
∵∽，，∴
， ……………………（1分）
∴
，∴
，…………………………………………………（1分）
∴
，解得
，∴当
或
时，.…………（1分）
解法二：∵△ABC与都是等边三角形，
∴，，∴，…………（1分）
∴∽，∵，∴，……………………（1分）
∵，，∴
. ……………………………………………（1分）
过点作
于点
，……………………………………………………（1分）
∵
，∴
，∴
，
，
当点在线段
上时，
；………………………（1分）
当点在线段的延长线上时，
，……………（1分）
综上所述，当或时，
20##金山区初三一模
24、（1）∵CD⊥BE ∴∠CDO＝∠AOD＝90°……………………………………（1分）
∴∠ABO＋∠BAO＝90°
∵CB⊥AB ∴∠ABO＋∠CBD＝90°
∴∠BAO＝∠CBD…………………………………………………………………………（1分）
∴△ABO∽△BCD…………………………………………………………………………（1分）
（2）∵A（0,4） B（﹣a，0）（a＜0）
∴AO＝4 BO＝﹣a ……………………………………………………………………（2分）
∵△ABO∽△BCD
∴
∵OD＝AO＝4， ∴BD＝4＋a…………………………………………………………（1分）
∴
（﹣4＜a＜0） ………………………………………………………（2分）
（3）∵C（4，
），b＝4
∴
即：
………………………………………………（2分）
∵△ABO∽△BCD
∴
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
tan∠BAC＝
当
时，tan∠BAC＝
……………………………………………………………（1分）
当
时，tan∠BAC＝
………………………………………………………（1分）
25、（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°
∵cot∠DEF＝
设DE＝m，则DF＝2m ……………………………………………………………（1分）
∴
……………………………………………………………………（1分）
即
m＝1 ∴DE＝1 DF＝2 ……………………………………………（2分）
（2）延长GP交DC于M
∵PG⊥AB，PH⊥BC
∴GP∥DA∥BC ∴PH∥BG
∴
……………………………………………………………………………（1分）
∵PG＝x，GM＝BC＝4 PM＝4－x FM＝2（4－x） ……………………………（1分）
∴PH＝MC＝CF＋FM＝10－2x ………………………………………………………（1分）
∴
（3≤x≤4） ……………………………………………（2分）
画图正确 ……………………………………………………………………………（2分）
（3）当
时，即
∴
（不合题意舍去） …………………（1分）
当
时，即
∴
…………………………………………（1分）
…………………………………………………………………………………（1分）
20##年上海宝山区一模考试题
25. (1) 图(略) ----------------（1分）
作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，
AN∥x轴，AN与y轴交于点N，
则四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，-----（1分）
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∠xOy=60°，∴∠MOA=60°，---------------（1分）
∴△MOA是等边三角形，
∴OA=OM=2 ----------------（1分）
(2) 过点P分别作两坐标轴的平行线，
与x轴、y轴交于点M、N，----------------（1分）
则PN=x，PM=y，----------------（1分）
由PN∥OB，得
，即
.--------------（1分）
由PM∥OC，得
，即
.------------（1分）
∴
.----------------（1分）
即
.
（3）当点P在线段BC的延长线上时，
上述结论仍然成立。理由如下：
这时PN = -x，PM=y，----------------（1分）
与（2）类似，
，.----------------（1分）
又
. ∴
，即
----------------（1分）
26．(1) ∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，----------------（1分）
当BC⊥CD时，
，----------------（1分）
∴PC⊥CD，
----------------（1分）
(2) 由已知，
，即
，
又∠DCE=∠BCD， ∴△DCE∽△BCD----------------（1分）
∴
----------------（1分）
又CP=BC，
∵ PC∥BD， ∴
----------------（1分）
∴ 
，∴CD=BE ----------------（1分）
∴ 
，即点E是线段BD的黄金分割点。
∴
----------------（1分）
又PC∥AD，∴
----------------（1分）
(3) 设AP=a，PB=b，∴
，
----------------（1分）
因为AD∥PC，PD∥BC，∴
，
∴
，∴
----------------（1分）
∴
----------------（1分）
作DH⊥AB，
则
，
，
∴
----------------（1分）
∴ 
-
∴S与BD2是否成正比例，比例系数为
。---------------（1分）
2010奉贤区初三一模试题
24．解：（1）设该抛物线的解析式为
，
由抛物线与y轴交于点C（0，8）,可知c=8.
即抛物线的解析式为
． ………………………1分
把，，代入, 得
解得
.
∴ 抛物线的解析式为
……………………………………………3分
∴ 顶点D的坐标为(1,9). ……………………………………………………2分
（2）设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F，
直线CD的解析式为
∴ 
,
,即直线CD的解析式为
∴ 点E坐标为 （-8，0）, 点F坐标为 （2，10）,EH=FH=10，EF=10
…2分
假设线段OB的垂直平分线上存在点P，那么令点P坐标为 （2，m），
过点P作PQ⊥CD交CD于点Q，则有OP=PQ=
，PF=
……2分
由题意知，Rt△FPQ∽Rt△FEH．
∴
．∴ 
解得 
……………………………………………1分
∴ 点P坐标为 （2，
）， ……………………………………………1分
25． 解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分
∴
． 即
，∴
． …………………………………1分
（2）
或
或4． ……………………………………………4分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC =
PC·QE=
………………………………………………1分
即
当
＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
．
由题意得，
．
∴ 
． ∴
．
∴ 
． ∴
．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………2分
∴S△PQC =PQ·CH=
………………………………………1分
即y=
综上所述 
或y= ( 2<<6) …………………1分
