高一下期末复习资料
板块一 指对幂函数
【知识要求】
（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。
1.1对数恒等式：
1.2对数公式：
（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。
（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。
【经典例题】
【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数
，则
。
．
．
．
．
（2）【2010湖北文05】函数
的定义域为 。
．
．
．
．
（3）【2010重庆文04】函数
的值域是 。
．
．
．
．
【例2】【2010北京文06】给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递减的函数的序号是 。
．①② ．②③ ．③④ ．①④
【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设
，
，
，则 。
．
．
．
．
板块二 三角比
【知识要求】
（1）角的定义与表示
1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）
1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。
1.3表示：与角
终边一致的角：
1.4弧度制
1.4.1为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。
1.4.2弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换
。
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做
。圆心角
；扇形面积
。
；
。
（2）三角比的定义
2.1三角比的定义
①用直角三角形边之比定义锐角三角比；
，
，
，
，
正割：
，余割：
②用终边上点的坐标定义任意角的三角比；
在任意角
的终边上任取一点
。设点的坐标为
，则
。
，
，
。
由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：
一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。
③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。
，
，
2.2特殊角的三角比
速记口诀如下：
0 30 45 60 90度，正余弦及正切值。
数字0 1 2 3 4 ，除以4求算术根；
计算结果都存在，对应五角正弦值。
数字4 3 2 1 0，除以4求算术根；
计算结果都存在，对应五角余弦值。
数字0 1 2 3 4 ，数字4 3 2 1 0，
对应相除若有商，算术根乃正切值。
（3）同角三角恒等式
【注】
、
、
、
、
、
以上表达式只需知其一，其余的必可求解！
（4）诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成
的形式，然后用口诀。
（5）两角和差展开公式
（6）二倍角公式
半角公式
（7）辅助角公式（提携公式）
，
，
*
，，
【经典例题】
【例4】（1）若
是第二象限角，那么
和
都不是 。
．第一象限角 ．第二象限角 ．第三象限角 ．第四象限角
（2）扇形的中心角为
，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 。
【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角的终边过点
，且
，则
的值为 。
．
．
．
．
（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是 。
．
．
．
．
【例6】（1）【2009山东临沂】已知
，
，则
的值是 。
（2）【2009安徽合肥】已知
，则
。
．
．
．
．
【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记
，那么
。
．
．
．
．
（2）【2009安徽皖北】若
，则
。
．
．
．
．
【例8】（1）已知
，则
。
（2）已知为锐角，且
，则
。
【例9】（1）已知
，则
。
（2）已知
，则
。
【例10】（1）【2008四川非延考理05】若
，
，则的取值范围是 。
．
．
．
．
（2）若
，且
，则
。
板块三 三角函数
【知识要求】
（1）定义：一般地，形如
，
，
的函数称为三角函数。
（2）图像
①由单位圆上的有向线段平移所得
②五点法
（3）图像变换
①同名函数之间进行变换；
②所有变换必须针对
或
；
③左加右减，“上正下负”。
（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称
【经典例题】
【例11】（1）作出函数
的图像。
（2）【2010江苏10】定义在区间
上的函数
的图像与
的图像的交点为，过点作
轴于点
，直线
与的图像交于点
，则线段
的长为 。
【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数
在区间
上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将
的图像上所有的点 。
(A)向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
（2）【2005天津理08】要得到
的图像，只需将函数
的图像上所有的点的 。
A、横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数
的部分图像如图所示，则 。
A．
B． 
C．
D．
（2）【2009浙江理08】已知
是实数，则函数
的图像不可能是 。
【例14】（1）【2010浙江理11】函数
的最小正周期是______。
（2）【2010北京理15改编】函数
的最大值为______，最小值为______。
（3）【自编】函数
，
的值域为______。
【例15】（1）【自编】已知函数
，
（ⅰ）求函数的值域；
（ⅱ）求函数的最小正周期；
（ⅲ）求函数的单调性；
（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；
（2）【自编】下列命题
①函数
的最小正周期是
；
②函数
在（，）上是递增的；
③函数
的图像关于点
中心对称；
④函数
是奇函数。
其中正确命题的序号为 。
【例16】（1）【2003天津文21】已知函数
是
上的偶函数，其图像关于点
对称，且在区间
上是单调函数。求
的值。
（2）【2008辽宁理16】已知
，且
在区间
有最小值，无最大值，则
＝__________。
板块四 反函数
【知识要求】
1.1定义：若函数
的定义域为，值域为，对于中每一个元素
在中有唯一确定的元素
与之对应，则函数存在反函数，即为
，否则不存在反函数。
1.2存在反函数的前提条件：一一映射。
1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换
1.4互为反函数的两函数的性质：
①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。
②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。
③原函数与反函数关于直线
对称。
1.5反三角：
①反三角公式：
，
，
当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
②反三角函数的图像和性质
【经典例题】
【例17】（1）函数
的反函数为 。
（2）【1992全国理】函数
的反函数为 。
．奇函数，且在
单调递减 ．偶函数，且在单调递
．奇函数，且在单调递增 ．偶函数，且在单调递增
（3）【2004全国理15】已知函数是奇函数。当
时，
，设的反函数是
，则
。
【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：
，
，则等于 。
．
．
．
．
（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若
，则
的取值范围是 。
板块五 解三角
【知识要求】
（1）解三角工具
1.1解三角问题：、
、
、、、、
、
，已知部分量，求解其它量的问题
1.2解三角工具
①
，
②
为内切圆半径，
③正弦定理：
，为外接圆半径
变形： 1）
2）
适用情况：1）两角一边；2）两边一对角
④余弦定理：
，
，
变形：
，
，
适用情况：1）三边；2）两边一夹角
⑤三角形内的诱导公式
，
，
，
，
，
⑥三角形内的不等关系：
1）大边对大角，大角对大边；
2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3）
，
；
4）锐角三角形
任一角的余弦值大于
；钝角三角形最大角的余弦值小于；
；
；
；
5）
；
6）在
中，给定、的正弦或余弦值，则有解的充要条件为
。
（2）解三角思想
2.1、
、、、、、、，
个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；
2.2边
角，角边
【经典例题】
【例19】（1）【2010山东文15理15】在中，角、、对应的边分别为、、，若
，
，
，则角的大小为 。
（2）【2009湖南文14】在锐角中，
，
，则
的值等于 ，
的取值范围为 。
（3）在中，下列结论：①若
，则此三角形为钝角三角形；②若
，则此三角形为等腰三角形；③若
，则
；④，其中正确的个数为 。
．
个 ．
个 ．
个 ．个
【例20】（1）【2008浙江文14理13】在中，角、、对应的边分别为、、，若
，则
。
（2）【2010江苏13】在锐角中，角、、对应的边分别为、、，若
，则
的值是 。
【例21】【2010陕西理17】如图，，是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于点北偏东
，点北偏西
的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距
海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为
海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？
板块六 方程
【知识要求】
（1）“8”字环思想
【经典例题】
【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数
。
（1）求方程
的所有解；
（2）若方程
在
范围内有两个不同的解，求实数的取值范围。
【例23】（1）【2010浙江文09】已知
是函数
的一个零点。若
，
，则 。
．
，
．，
．
， ．，
（2）【2010上海文17】若是方程
的解，则属于区间 。
． ．
．
．
板块七 数列通论
【知识要求】
1.1定义
1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集
（或它的有限子集
）的特殊函数。
2）通项公式：数列的第
项
与之间的关系。即
，
。
3）前项和：
。前项和也可写成关于的函数，即
，。
4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。
【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项）都是给出数列的方式。
1.2表示
1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图像（孤立的点（离散的点））；
1.3分类
1）有穷数列、无穷数列；
2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；
3）有界数列、无界数列。
1.4等差数列
1） 定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即
。
【注】证明等差数列的两种方法：
①；②
。
2） 通项公式：
，（累加）
3） 前项和：
，（倒序相加）
4） 
、、、
、
中知三求二。
1.5等比数列
1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
【注】证明等比数列的两种方法：
① ；②
。
2）通项公式：
，（累乘）
3）前项和：
，当
时，也可写成
（错位相减）
4）、、、
、中知三求二。
1.6用函数观点来分析等差、等比
1）等差：
（一次型函数），
（没有常数项的二次型函数）
2）等比：
（指数型函数），
（分段函数，分别为一次型和指数型函数）
1.7等差数列性质
1）
【拓展】
2）等差中项：
【拓展】①当
时，有
；
【注】等差数列
，若，则不一定成立。
②
【注】
3）衍生等差数列：
①
为等差数列，公差
；
②
为等差数列，公差
；
③
（其中为间距，
为起始项，
）为等差数列，即等距项为等差数列，公差
；
④
，
，
，
，…为等差数列，公差
；
⑤
为等差数列，公差
；
⑥其它：
1） 项数为奇数
的等差数列，有：
，
；
项数为偶数
的等差数列，有：
，
；
2） 等差数列中，若
，
，则
；
等差数列中，若
，
，则
；
等差数列中，若
，
，则
；
等差数列中，若
，则
，；
等差数列中，若
，则
，
。
1.8等比数列性质
1）
【拓展】
2）等比中项：
【拓展】①当时，有
；
【注】等比数列，若，则不一定成立。
②
3）衍生等比数列：
①对任意非零实数
，
为等比数列，公比为；
②
为等比数列，公比为
；
为等比数列，公比为
；
③，，，，…依然成等比数列，公比为
。
【注】若
，，则
，
，
，…就不成等比数列。
【经典例题】
【例24】（1）【2008北京理06】已知数列对任意
、
满足
，且
，那么
等于 。
．
．
．
．
（2）数列满足：
，若
，则数列的第2010项为 。
【例25】（1）已知
，则在数列中最大项为 。
（2）已知数列中，
，且是递增数列，则实数的取值范围为 。
【例26】（1）已知等比数列中，
，
，则
。
（2）已知
，，
成等差数列，，
，
，
，成等比数列，则
。
（3）已知数列的通项为
，，数列
的每一项都有
，则数列的前项和
。
（4）【2006北京理07】设
，则
等于 。
．
．
．
．
【例27】（1）【2009全国Ⅰ文14理14】设等差数列
的前
项和为
，若
，则
。
（2）【2009辽宁理06】设等比数列的前项和为，若
，则
。
．
．
．
．
（3）等差数列、
的前项和分别为、
，且
，则
。
（4）【2010广东四校联考】等比数列的公比为
，其前项的积为，并且满足条件
，
，
，给出下列结论：
①
；
②
；
③
的值是中最大的；
④使
成立的最大自然数等于
。
其中正确的结论是 。
板块八 通项、前项和、递推公式之间的推导
【知识要求】
数列中的核心问题：
1.1
通法：
（1）公式求和：
① 
：
② 
：
③ 
（2）裂项相消
①分式：
②根式：
③对数：
④指数：
⑤其它：
（3）错位相减
错位相减用于差比数列（
）求和；
（4）倒序相加
主要用在类似于
（与指数相关函数，其中
定值）以及组合数问题上；
（5）分组求和
通项由多成分构成，可单独求和再相加。
【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。
1.2
通法：
1.3递推关系式
、
（1）递推关系式的形式
递推关系式的三种形式：①只含；②只含；③同时含有和
将第三种情况向第一种或第二种转化
转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。
方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。
(2) 递推、
①累加法
遇到
；
；
用累加法。
②累乘法
遇到
（
）；
；
用累乘法。
③构造熟悉数列
▲公式法
1）
当
时，用累加；当
时，采用待定系数法或两边同除以
求解。
当时，用待定系数法或两边同除以
。
2）非线性问题
ⅰ）
问题，可考虑两边取对数。
ⅱ）
或
，可考虑取倒数或两边同除以
。
3）多项递推问题
ⅰ）
问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。
ⅱ）无穷多项递推，可多些一项或少写一项，然后作差或作商。
④数学归纳法
【经典例题】
【例28】【2010山东理18】已知等差数列满足：
，
。的前项和为。
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令
，求数列的前项和。
【例29】【2010全国新课标理17】设数列满足
，
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列的前项和。
【例30】（1）已知数列的前项和
，则此数列的通项公式为 。
（2）已知数列的前项和
，
。求。
【例31】已知数列的前项和为，其中
，
，求。
【例32】已知数列中，
，
，求
。
【例33】（1）已知数列中，，
，。求数列的通项。
（2）已知数列中，，
，。求数列的通项。
（3）已知数列中，
，
，。求数列的通项。
（4）已知数列中，，
，。求数列的通项。
【例44】（1）已知数列中
，
，。求数列的通项。
（2）已知数列中，
，。求数列的通项。
【例45】（1）已知数列
，
，且
，求通项公式。
（2）数列满足
，求数列的通项公式和前项和。
【例46】【2006全国Ⅱ理22】设数列的前项和为，且方程
有一根为
，
（Ⅰ）求
，
；
（Ⅱ）求的通项公式。
【例47】【2010安徽理20】设数列
，，…，，…中的每一项都不为。
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有
。