专业数学与应用数学姓名王蓉学号0921111028成绩

关于泛函分析的简述

一、泛函分析的起源

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。

研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

二、什么是泛函分析

泛函分析综合运用函数论、几何学和现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析，主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析也是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述

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源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

三、泛函分析研究的主要内容

泛函分析研究的主要内容可以用下图来表示

1.映射:指的是算子和泛函。

2.空间: X是定义在某数域上的“一些对象”的集合，若X是线性空间，在X上

赋上距离，则就是赋距离线性空间；在 X上赋上范数，则就是赋范数线

性空间；在 X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。

四、泛函分析中的一些主要定理

1. 一致有界定理（亦称共鸣定理）【该定理描述一族有界算子的性质】。

2. 谱定理【包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用】。

3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）【研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性】。

4. 开映射定理和闭图像定理。

五、度量空间和赋范线性空间

1、度量空间

定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；

（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；

（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）

则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。

2、赋范线性空间

泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。

（一）、希尔伯特空间

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

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（二）、巴拿赫空间

巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。

六、线性算子

线性算子是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

1、线性算子与线性泛函

设x、Y是两个（实数或复数域上的）线性空间，T是x到Y的映射。T的定义域和值域分别记为D(T )、R(T )。如果对任何数α、β和x1、x2∈D(T)，满足αx1+βx2∈D(T)，并且

，

则称T是以D（T）为定义域的x到Y的线性算子。特别当D(T)=x，Y是实数域或复数域时，称T是x上的线性泛函。

2、线性算子的运算

设T1、T2是x到Y的线性算子,它们的定义域分别是D(T1)、D(T2)。对任一数α,规定αT1表示以D(T1)为定义域，而对任何 x∈D(T1),(α T1)x=α(T1x)的算子;规定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)为定义域，而对任何 的算子。易知αT1（称T1的α倍）,T1+T2(称T1与T2的和)仍是线性算子。又设T3是以D(T3)为定义域的Y到Z的线性算子，规定T3?T1（也记作T3T1）表示以

为定义域而对任何

积）也是线性算子。

参考文献 泛函分析（词条）

泛函分析论文（赵英杰）

泛函分析发展史（文库）

的算子。易知T3?T1（即T3与T1的

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第二篇：学习锻炼总结

学习锻炼总结

根据组织安排，我于今年x月x日起到区人大常委会学习锻炼。学习期间，我得到了区人大、区委组织部、街道党工委、办事处领导和同事们的亲切关心和精心指导，体会到了区人大常委会领导严谨的工作态度、积极的精神风貌、高精的业务素养，感受到了区人大常委会工作的高效率、快节奏和紧张、活泼、融洽的工作氛围。半年来，自己始终珍惜机遇、认真学习、主动参与、深入思考，得到了较为全面的学习锻炼，在思想政治素质、思维、工作能力等方面都有了不同程度的提高，受益匪浅，感触颇多，现总结如下。

一、主要工作

学习期间，我在区人大秘书科，协助秘书科科长，在办公室主任、副主任的领导下开展工作。秘书科的职责主要针对区人大常委会主任、副主任出席的各次主任会议、常委会议和重要公务活动的相关材料的起草、汇总，做好会议记录、整理会议纪要、信息收集、编发动态简报，协助领导和其他工委领导视察、检查、拟定每周工作计划，业务上涵盖了办文、办事、办会全部内容。我深知，到区人大常委会学习锻炼不是镀金，不是享受，而是学习，更是锻炼。因此，我严格按照作息时间上下班，尊重领导，团结周围同志，自觉参加区人大常委会的各种集体活动，严格按照领导的安排开展工作，并认真阅读有

关资料，坚持多听、多看、多学、多记、多想，通过与区人大常委会领导和同事们进行广泛的接触和交流，注意取人所长，补己之短，从中探求别人的经验，做到边学习、边交流、边思考。半年来，我协助秘书科参加5次区人大主任会议、2次常委会议、区人大常委会设立三十周年座谈会、对全区职能部门的工作评议、参加教育局工作评议组开展工作评议、区人大常委会承办第四届“市人大机关暨各县区人大机关乒乓球比赛”、编制区人大常委会20xx年工作年鉴、区人大法工委《劳动合同法》的执法检查及接待河南省长垣县人大机关来旅考察等工作，在工作中，对于自己拿不准的工作及时请示报告，同时，能够严格做到事前有计划，事中有监督，事后有总结，件件有始终。

二、体会与收获

归纳起来，有以下几点体会和收获：

（一）规范的制度保证人大机关工作的高效率、高质量。区人大常委会在年初就以文件的形式制定全年主任会议、常委会议、执法检查、视察等工作计划，每个星期五人大常委会办公室制定下一周的工作安排，人大常委会各位领导、各个工委都严格按照工作计划开展工作。各工委职责细化到岗位，工作规范从会前、会中、会后办理程序到具体内容，工作流程从制定方案到逐级报批程序到总结都有严格的程序，环环紧扣，步步推进。职责明晰又互相衔接，各部门既有分工又有合作，非常规范细致，一目了然。工作中，区大人常委会的干部职工严

格按照制度和程序办事，从不随意变通或减少程序，哪个环节出问题，就追究具体承办人和分管领导责任。

（二）扎实的作风树立人大机关队伍的良好形象。细节决定成败，态度决定一切。秘书科承担着各次会议、接待、活动等文字材料工作，涉及方方面面，每一项工作都关系到整体功能的发挥和整体效率的提高。因此, 工作中始终做到认真、细致，想在前面、做在前面，凡事从大处着眼、从小处着手、精心组织、周密安排、认真落实,于细微之处见精神、见境界、见水平。在具体工作中，对人大常委会领导参加的每一次会议和活动的会议材料、讲话材料，都做到反复锤炼、字斟酌句、用语精炼规范，时间、地点、人物准确无误，并按照程序逐级报请领导审核。对各次重要会议，都能精心安排或提前进入会场进行指导，对会议场所的会标、坐席排位、会议资料顺序、音响效果等进行认真检查核对，特别注意及时掌握了解领导是否能按时参加会议或活动，对领导临时有事不能到场的及时调整，最大限度地避免细节上的失误，确保无差错。

（三）无私的奉献体现人大机关干部职工的优秀品质。原以为我们在基层，人少事多，经常加班，工作辛苦，而人大机关人多，分工细，工作单纯，不需要太多加班，事实并非如此，人大常委会办公室虽是一个部门，其工作内容涵盖了办文、办会、办事方方面面，区人大常委会会议多、活动多，办公室工作任务就多，工作量就大，而办公室干部职工仅有7人，工作

繁忙可想而知，很多需要晚上甚至周末加班加点，但从未听到办公室干部职工有什么怨言。

（四）精湛的业务打造人大机关高素质的干部职工队伍。从平时的言谈举止到具体承办的各项工作，区人大常委会的干部职工都表现出了较高的综合素质。在我参与各次人大领导的会议和活动中，从拟办会议材料到会场指导整套工作程序，得到了人大办公室领导及具体工作人员的精心指点，使我不仅初步掌握了服务会议、活动的基本流程，更在从中学到了发现问题、分析问题、解决问题的能力，学到了如何做到精益求精，同时也深深感到自己的差距和不足。特别是自己参与的旅顺口区人大承办第四届“市人大机关暨各县区人大机关乒乓球比赛”的《秩序册》、区人大常委《工作评议动态》、《区人大常委会20xx年年鉴》等材料的草拟，得到了吕主任、罗副主任和汪科长的精心指导、修改，从修改的语句中，我深刻体会到了办公室领导干部的认真、细致及文字表达才能，用词之精准，使长期从事业务工作的我自愧不如，深感敬佩。

（五）敏锐的政治增强人大机关干部职工的党性觉悟和明辨是非的能力。区人大常委会领导提出要增强政治意识、大局意识和责任意识，做到在政治上敏锐、业务上精锐。在工作和生活中，区人大领导对自己要求非常严格，始终保持政治上的清醒和坚定，从政治上观察、分析、鉴别和处理问题，严格按程序和规定来办事，做到依法依规，自觉维护区人大常委会权

威，并严格遵守保密纪律，从不议论是非，做到不该说的坚决不说。

到区人大常委会学习锻炼，对于长期在基层工作的我来说是一次难得的机遇，更是一次终生难忘的经历。半年的学习锻炼丰富了我的人生经历，填补了头脑中许多方面知识空缺，自己既感受到了差距与不足，也积累了宝贵的经验，更重要的是掌握了区人大常委会的一些先进的做法，坚定了工作的信心。在今后的工作中，我将加倍努力，务实工作，把学习到的好经验、好做法运用到实践中，贡献自己的绵薄之力。

光荣街道办事处

郑晓艺

20xx年x月x日