动能和动能定理

【基础知识】

  一、动能

1.定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.

2.公式:E_k=mv²,动能的单位是焦耳.

说明:(1)动能是状态量,物体的运动状态一定,其动能就有确定的值,与物体是否受力无关.

(2)动能是标量,且动能恒为正值,动能与物体的速度方向无关.一个物体,不论其速度的方向如何,只要速度的大小相等,该物体具有的动能就相等.

(3)像所有的能量一样,动能也是相对的,同一物体,对不同的参考系会有不同的动能.没有特别指明时,都是以地面为参考系相对地面的动能.

 基础演练

1.下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是（   ）

A.如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做的功一定为零

B.如果合外力对物体做的功为零，则合外力一定为零

C.物体在合外力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零

D.物体的动能不发生变化，物体所受合外力一定是零

2.关于动能的理解，下列说法正确的是（   ）

A.动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能

B.动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的

C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D.动能不变的物体，一定处于平衡状态

二、动能定理

1.内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的变化.

2.表达式:W=E-E,W是外力所做的总功,E、E分别为初末状态的动能.若初、末速度分别为v₁、v₂,则E=mv₂1,E=mv.

3.物理意义:动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系,即外力对物体做的总功,对应着物体动能的变化,变化的大小由做功的多少来度量.动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系,即做功的过程是能量转化的过程.

利用动能定理来求解变力所做的功通常有以下两种情况：

①如果物体只受到一个变力的作用，那么：W=E_k2-E_k1.

只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔE_k，也就等于知道了这个过程中变力所做的功.

②如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F₁是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：

W₁+W_其他=ΔE_k.

可见应把变力所做的功包括在上述动能定理的方程中.

③注意以下两点：

a.变力的功只能用表示功的符号W来表示，一般不能用力和位移的乘积来表示.

b.变力做功，可借助动能定理求解，动能中的速度有时也可以用分速度来表示.

三、理解动能定理

（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为　　　　 W=E_k2－E_k1。

通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：

①  外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。

②  合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。

四、应用动能定理解题的一般步骤：

① 确定研究对象和研究过程。

② 分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。

③ 找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）

④ 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。

二、经典例题

例1、（课本例题）一架喷气式飞机，质量ｍ＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s＝5.3×102ｍ时，达到起飞速度ｖ＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍(ｋ＝0.02)，求飞机受到的牵引力.

例2、如图所示，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力.

例3．如图所示，质量为m的物体置于光滑水平面上，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F作用下，以恒定速率v₀竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角=45º过程中，绳中拉力对物体做的功为（   ）

       A．mv₀²                B．mv₀²

C．mv₀²                D．mv₀²

例4、一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（   ）

A. mglcosθ       B. mgl(1－cosθ)      C. Flcosθ      D. Flsinθ

例5、如图11所示为“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.1 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为M＝0.15 kg，g＝10 m/s²，求：

(1)若v₀＝5 m/s，小球从p点抛出后的水平射程；

(2)若v₀＝5 m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；

例6、如图5-3-2所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功.

基础演练

3.某物体在力F的作用下从光滑斜面的底端运动到斜面的顶端，动能的增加量为ΔΕk，重力势能的增加量为ΔΕp，则下列说法正确的是（   ）

A.重力所做的功等于-ΔΕp

B.力F所做的功等于ΔΕk+ΔΕp

C.合外力对物体做的功等于ΔΕk

D.合外力对物体所做的功等于ΔΕk+ΔΕp

4.质量为m的物体从地面上方H高处无初速度释放，落在水平地面后砸出一个深为h的坑，如图7-7-4所示,则在整个过程中（   ）

A.重力对物体做功为mgH

B.物体的重力势能减少了mg(h+H)

C.外力对物体做的总功为零

D.地面对物体平均阻力大小为mg(h+H)/h

四、能力提升

1.（2010·武汉高一检测）一个质量为25 kg的小孩从高度为3.0 m的弧形滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g=10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是（    ）

A.支持力做功50 J     B.克服阻力做功500 J

C.重力做功750 J      D.合外力做功50 J

2、起重机钢索吊着m=1.0×103 kg的物体以a=2 m/s2的加速度竖直向上提升了5 m，钢索对物体的拉力做的功为多少？物体的动能增加了多少？（g取10 m/s2）

3.如图5－2－9所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为s，重力加速度为g.下列说法正确的是(　  　)

A．小车克服重力所做的功是mgh           B．合外力对小车做的功是mv²

C．推力对小车做的功是mv²＋mgh         D．阻力对小车做的功是mv²＋mgh－Fs                          

4．一个木块静止于光滑水平面上，现有一个水平飞来的子弹射入此木块并深入2 cm而相对于木块静止，同时间内木块被带动前移了1 cm，则子弹损失的动能、木块获得动能以及子弹和木块共同损失的动能三者之比为(　 　)

A．3∶1∶2         B．3∶2∶1         C．2∶1∶3         D．2∶3∶1

五、提高题

01.如图5－2－15所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A，B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A和B都向前移动一段距离，在此过程中(　　)

A．外力F做的功等于A和B动能的增量

B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量

C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功

D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和

02．质量不等，但有相同动能的两物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行直到停止，则下列说法正确的有(　　)

A．质量大的物体滑行距离大                  B．质量小的物体滑行距离大

C．质量大的物体滑行时间长                  D．质量小的物体滑行时间长

03．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于(　　)

A.               B.          C.            D.

第二篇：动能定理经典题型总结

三ZHI学校 高中物理专练：动能定理 编辑教师 王丹丹 - 1 -

动能和动能定理

一、知识聚焦

1mv2

1、动能：物体由于运动而具有的能量叫动能． 表达式：Ek = 2 动能是标量，是状态量 单位：焦耳( J )

2、动能定理内容：合力对物体所做的功等于物体动能的变化。

113、动能定理表达式： 2W?mv2?mv12 22

二、经典例题

例1、（课本例题）一架喷气式飞机，质量ｍ＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s＝5.3×102ｍ时，达到起飞速度ｖ＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍(ｋ＝0.02)，求飞机受到的牵引力. 分析： 研究对象：飞机

研究过程：从静止→起飞（V=60m/s）

适用公式：动能定理：W合?112mv2?mv022

12mv(F?f)S?2 表达式：

mv2

F??kmg?1.8?104N2S 得到牵引力：

例2、将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）

提示 石头的整个下落过程分为两段，如图5—45所示，第一段是空中的自由下落运动，只受重力作用；第二段是在泥潭中的运动，受重力和泥的阻力。两阶段的联系是，前一段的末速度等于后一段的初速度。考虑用牛

顿第二定律与运动学公式求解，或者由动能定理求解。

解析 这里提供三种解法。

解法一（应用牛顿第二定律与运动学公式求解）：

石头在空中做自由落体运动，落地速度

v?2gH

在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有

v2=2ah， 图5—45

a?

解得Hgh 由牛顿第二定律F?mg?ma，

所以泥对石头的平均阻力

F?m(g?a)?m(g?HH?h2?0.05g)??mg??2?10hh0.05N=820N。

例题3、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.40m的竖直光滑圆轨道。质

量m=0.50kg的小物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦

因数μ=0.25，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s）

（1）物块滑到斜面底端B时的速度大小。

2

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（2）物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小。

三、基础演练

1.下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是（ ）

A.如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做的功一定为零

B.如果合外力对物体做的功为零，则合外力一定为零

C.物体在合外力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零

D.物体的动能不发生变化，物体所受合外力一定是零

【解析】选A.根据功的定义可知，A项对B项错；竖直上抛运动是一种匀变速直线运动，其在上升和下降阶段经过同一位置时动能相等，故C项错；动能不变化，只能说明速度大小不变，但速度方向不一定不变，因此合外力不一定为零，故D项错.

2.关于动能的理解，下列说法正确的是（ ）

A.动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能

B.动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的

C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D.动能不变的物体，一定处于平衡状态

【解析】选A、B、C.由于运动具有的能叫动能，A对.对不同参考系速度不同，动能不同，B对.动能变化时，速度（大小）一定变化，但只有速度方向变化时，动能不一定变化，C对.动能不变，速度方向变化时，物体处于非平衡状态，D错.

3.某物体在力F的作用下从光滑斜面的底端运动到斜面的顶端，动能的增加量为ΔΕk，重力势能的增加量为ΔΕp，则下列说法正确的是（ ）

A.重力所做的功等于-ΔΕp

B.力F所做的功等于ΔΕk+ΔΕp

C.合外力对物体做的功等于ΔΕk

D.合外力对物体所做的功等于ΔΕk+ΔΕp

【解析】选A、B、C.重力做功WG=-ΔΕp,A对.合力做功W合=ΔΕk，C对D错.又因W合=WF+WG=WF-ΔΕp，所以WF=ΔΕp+ΔΕk，B对.

4.（2010·晋江高一检测）质量为m的物体从地面上方H高处无初速度释放，落在水平地面后砸出一个深为h的坑，如图7-7-4所示,则在整个过程中（ ）

A.重力对物体做功为mgH

B.物体的重力势能减少了mg(h+H)

C.外力对物体做的总功为零

D.地面对物体平均阻力大小为mg(h+H)/h

5. 如图所示，一轻弹簧直立于水平地面上，质量为m的小球从距离弹簧上端B点h高处的A点自由下落，在C点处小

球速度达到最大．x0表示B、C两点之间的距离；Ek表示小球在C处的动能．若改变高度h，则下列表示x0随h变化的图象和Ek随h变化的图象中正确的是( BC )

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四、能力提升

1.（2010·武汉高一检测）一个质量为25 kg的小孩从高度为3.0 m的弧形滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g=10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是（ ）

A.支持力做功50 J B.克服阻力做功500 J

C.重力做功750 J D.合外力做功50 J [来源:.]

【解析】选C、D.重力做功WG=mgh=750 J，C对.合力做功W合=ΔEk=50 J，D对.支持力始终与速度垂直，不做功，A错.WG+Wf=W合知阻力做功Wf=-700 J，所以克服阻力做功为700 J，B错.

2、起重机钢索吊着m=1.0×103 kg的物体以a=2 m/s2的加速度竖直向上提升了5 m，钢索对物体的拉力做的功为多少？物体的动能增加了多少？（g取10 m/s2）

【解析】由动能定理得，物体动能的增加量

ΔEk=mah=1.0×103×2×5 J=1.0×104 J

由动能定理还可以得W拉-WG=ΔEk[来源:.]

所以拉力的功

W拉=ΔEk+WG=ΔEk+mgh

=1.0×104 J+1.0×103×10×5 J

=6.0×104 J

答案：6.0×104 J 1.0×104 J

3.如图5－2－9所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起

运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为s，重力加速度为g.下列说法

正确的是( )

A．小车克服重力所做的功是mgh

1C．推力对小车做的功是mv2＋mgh 21B．合外力对小车做的功是mv2 21D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fs 图5－2－9 2

解析：小车克服重力做功W＝Gh＝mgh，A选项正确；由动能定理小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合

1111＝ΔEkv2，B选项正确；由动能定理，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝v22222

11＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fs，D选项正确． 22

答案：ABD

4．一个木块静止于光滑水平面上，现有一个水平飞来的子弹射入此木块并深入2 cm而相对于木块静止，同时间内木

块被带动前移了1 cm，则子弹损失的动能、木块获得动能以及子弹和木块共同损失的动能三者之比为( )

A．3∶1∶2 B．3∶2∶1 C．2∶1∶3 D．2∶3∶1

解析：设子弹深入木块深度为d，木块移动s，则子弹对地位移为d＋s；设子弹与木块的相互作用力为f，由动能定理，子弹损失的动能等于子弹克服木块阻力所做的功，即ΔE1＝f(d＋s)，木块所获得的动能等于子弹对木块作用力所做的功，即ΔE2＝fs，子弹和木块共同损失的动能为ΔE3＝ΔE1－ΔE2＝fd，即三者之比为(d＋s)∶s∶d＝3∶1∶2. 答案：A

5. 一个质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为 （ C ）

A．mglcos? B．Flsin? C．mgl(1?cos?) D．Fl(1?cos?)

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6. 汽车在平直的公路上从静止开始做匀加速运动，当汽车速度达到vm时关闭发动机，汽车继续滑行了一段时间后停

止运动，其运动的速度如图3所示。若汽车加速行驶时其牵引力做功为W1，汽车整个运动中克服阻力做功等于W2，则W1与W2的比值为________。牵引力和阻力大小之比为________。

1∶1;4∶1

五、个性天地

LSC00001.如图5－2－15所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A，

B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A和B都向前移动一段距离，在此过程中( )

A．外力F做的功等于A和B动能的增量

B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量

C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功

D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和

解析：A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能的增量，即B对．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A，B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B物体应用动能定理，WF－Wf＝ΔEkB，即WF＝ΔEkB＋Wf，就是外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由前述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．

答案：BD

XRX00002．质量不等，但有相同动能的两物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行直到停止，则下列说法正确的有

( )

A．质量大的物体滑行距离大

C．质量大的物体滑行时间长 B．质量小的物体滑行距离大 D．质量小的物体滑行时间长 图3

E解析：物体的动能全部用来克服摩擦阻力做功，有Ek＝μmgl?l，质量小，滑行距离大． μmg

v而t＝＝ a

答案：BD

LDX00003．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度

h处，小球的动能是势能的2倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h等于( )

HA. 9 2H 93H C. 94H 9m μg

解析：设小球上升离地高度h时，速度为v1，地面上抛时速度为v0，下落至离地面高度h处速度为v2，设空气阻力为f 12112上升阶段：－mgH－fH＝－v0，－mgh－fh＝mv21－v0 222

1又2mghv2 21

121

下降阶段：mg(H－h)－f(H－h)＝mv2，mgh＝2×v2 222

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由上式联立得：h＝H. 9

答案：D

LHT00004质量为m的物体静止在水平桌面上，它与桌面之间的动摩擦因数为μ，物体在水平力F作用下开始运动，发生位移s1时撤去力F，问物体还能运动多远？

解析：研究对象：质量为m的物体.

研究过程：从静止开始，先加速，后减速至零.

受力分析、过程草图如图所示，其中mg（重力）、F（水平外力）、N（弹力）、f（滑动摩擦力），设加速位移为s1，减速位移为s2

方法一：可将物体运动分成两个阶段进行求解

物体开始做匀加速运动位移为s1，水平外力F做正功，f做负功，mg、N不做功；初始动能Ek0=0，末动能Ek1=根据动能定理：Fs1-fs1=12mv1 212mv1-0 2

又滑动摩擦力f=μN,N=mg

则：Fs1-μmgs1=12mv1-0 2

12mv1,末动能Ek2=0 2物体在s2段做匀减速运动，f做负功，mg、N不做功；初始动能Ek1=

根据动能定理：-fs2=0-

则：μmgs2=0-12mv1,又滑动摩擦力f=μN,N=mg 212mv1 2

即Fs1-μmgs1-μmgs2=0-0

s2=

(F??mg)s1. ?mg