在通信开发工作好多年了，感觉很多东西特别是数字信号处理方面的理论知识很欠缺，而数学又是数字信号处理的基础，很多看似复杂的问题在数学中都变得非常简单，基于此，把大学时学习的高数从头到尾又翻了一遍，并做了笔记。

e的最重要性质是以其为底的指数函数的导数等于其本身，这有点类似于象乘法运算中的1的地位。

高等数学中的导数，微分，积分都是建立在极限的基础上的。导数刻划了函数的瞬时变化率，而微分则表示了函数的瞬时变化量。

初等数学研究在均匀变化情况下的函数变化率，使用除法计算，高等数学研究在非均匀变化的情况下的函数变化率，使用求导来计算，因此，导数可看作初等数学中商的推广；积分是研究函数在某一区间内变化的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。

一．函数与极限

1.      函数y=f(x)，y是x的函数，x是自变量，y是因变量，f表示x与y之间的一种对应关系。

2.      函数的性质：收敛性；单调性；奇偶性；周期性。

3.      基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，其中幂函数与指数函数的区别，指数函数与对数函数互为反函数。

4.      函数的极限：自变量趋于有限值时函数的极限；自变量趋于无穷大时函数的极限。数列的极限可看做函数的极限的第二种情况。

5.      两个重要极限：lim(x->0)(sinx/x)=1；lim(x->无穷)(1+1/x)^x=e，该极限证明时使用了二次项展开公式；

6.      函数的连续性与间断点。

二．导数与微分

1. 函数的导函数

定义：如果函数y=f(x)在区间内每一点处都可导，那么f(x)的导函数为：

y = f (x) =  

其中，是自变量的增量，是因变量的增量，可以看出，导数是变化率的一个概念，它是因变量的增量与自变量的增量之比，反应了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

函数f(x)在点x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在x= x0处的函数值。

常数的导数等于0；

幂函数的导数：；

三角函数的导数： = ； = ；

指数函数的导数：；；

函数的和、差、积、商的求导法则；

符合函数的求导法则；

2. 微分

对于函数y=f(x)，当自变量x的增量趋于0时，称为自变量的微分（注意：只有趋于0时），记为dx，即dx=，此时函数y=f(x)的增量称为函数的微分，记为dy，即dy=，那么有：dy = f (x) dx，从而有f (x)，这就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，因此，导数也叫做微商。

小结：dx，dy是自变量和因变量的微分，而，只是自变量和因变量的增量，只有当和趋于0时，才定义为dx和dy。导数是两个微分的商，也是微分的概念。

微分函数的求取

根据dy = f (x) dx计算，如：

d() =  dx；

d(sinx) = dx；

d(cosx) = dx；

d() =  dx;

d() =  dx

函数的和、差、积、商的微分法则；

符合函数的微分法则；

三．积分

1．不定积分

2．定积分

四．级数

1．常数项级数

2．函数项级数

常用的函数项级数：幂级数，幂级数的收敛域和发散域。

如1+x+x^2+。。。x^n+。。。

当|x|<1时，级数收敛于和1/(1-x)，当|x|>=1时，级数发散。

3.  函数展开成幂级数：泰勒级数，需要满足的条件是函数f(x)在点x0的某一临域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n->无穷时的极限为零。

泰勒级数中的x0=0即为麦克劳林级数。

4. 使用麦克劳林级数推导欧拉公式

  

5.  函数展开成傅里叶级数

展开傅里叶级数的前提条件：周期函数

Tangent：正切，y/x

Cotangent：余切,x/y

正切和余切两个函数取值都是负无穷大到正无穷大，而sin和cos函数的取值从-1到+1。

第二篇：高数复习总结

第一章

1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；

2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；

3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；

5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；

6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；

7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；

8）两个重要极限、两个基本极限 把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;

9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。例题：无穷大无穷小 有界变量无界变量；

10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；

11）“见根号差，用有理化”！！！ 这是思维定势，很管用；

第二章

1） 导数的概念非常重要！！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；

2） 导数公式倒背如流的要求不算过分吧 呵呵；

3） 连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；

4） 由于有些函数求导会出现x在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中某个因子在某点不可导，但乘积在该点也可能可导；

5） 中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；

6） 函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；

7） 三个式子的不等事，即A 8） 能用微分中值定理的，一般用积分中值定理也可以搞定，你也试试吧，体会一下数学思想和定理的联系，是有好处的；

9） 这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；

第三章

1） 一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；

2） 给你说几个准公式： ； ； ，作题时相当有用的哦，关键是反过来用你要有意识；

3） 这里特别提醒注意积分限函数，一句话：“积分限x在积分过程中是常量，在积分完毕后是变量”，这是核心的东西，抓住它就不会迷失方向；

4） 旋转体的体积看来是一定要考了，当然是重点，关键：一个是公式记清，应该是绕x轴还是y轴都要搞的清清楚楚，另一个就是体会移图和移轴的不同，这里要用到积分的计算，是体现基本功的地方；

5） 积分在经济中的应用也是重重之重，记清概念，把握公式，清醒审题，仔细答题，搞定；

6） 广义积分关键是计算，不是证明！！！记住重点；

7） 广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限，你做做这个题就明白了：I= .

8） 其实广义积分和定积分的概念很容易搞清，一句话：定积分存在有两个必要条件，即积分区间有限，被积函数有界。破坏了积分区间有限，引出无穷区间上的广义积分，破坏了被积函数有界，引出无界函数的广义积分。

9） 把握住上面的这句话，就可以不晕了，看出来了吧，基本概念非常清楚的人才能学好；

10） 定积分是一个数！！！这是一个经常命题的地方，好记吗？那就记住吧；

11） 不定积分去根号时不用考虑绝对值，而定积分去根号时则要考虑绝对值！！！这个好错，一定要记住，会的可不要错哦，不然就惨喽；

12） 经验一个：三角有理函数式的积分，若有理函数式分母为 ，则可以通过分子分母同时乘上一个式子，使分母变为积的形式，另外，

还可以直接变形为积的形式来求解

13） 被积函数只要是可以看成两个不同类函数的积，就要优先考虑分步积分法，经验哦：）；

14） 这里提一下，对于选择题中的抽象函数问题，我个人的认识是：将复杂的形式化成简单的形式，比如对抽象复合函数做变量替换，与其说是一种技巧方法，不如说是一条普遍的规律，任何事物都有由繁到简的趋势，这是可以上升到哲学层面的认识问题，（哈哈，这是英语学多了，not so much…as…用了一下）；

15） 一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数，当它是同一个x的函数时，比如f(x)g(x)的形式，可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形，而另一个可以不动，这样的处理往往是需要的，很有用，当你作不下去时，想想我说的这个