求极限的方法小结
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：
一、利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
例 1. 
2. 
二、利用两个重要极限
两个重要极限为：
或
使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
例 1. 
2. 
三、利用夹逼准则求极限
关键在于选用合适的不等式。
例 1. 
2. 设
，且
求
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设
，
求极限
。
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 
2. 
六、利用函数连续性求极限
设
在点
处连续，则
。
例 1. 
2. 
七、利用洛必达法则求极限
洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。
例 1. 
2. 
3. 
八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限
设函数在
的某个邻域内有定义，且
存在，则对该邻域内任意点
有如下表示式成立
此式称为的具有皮亚诺余项的
阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。必须熟悉一些常用的展式，如：
计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。
例 
九、利用定积分定义及性质求极限
若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。
例 1.
2. 
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：若级数
收敛，则
，故对某些极限
，可将函数
作为级数
的一般项，只须证明此技术收敛，便有
。
例 
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例 求
第二篇：求极限的方法小结
求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关， 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外） 须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C. 极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内， E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值 1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限 、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1) 2. 约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1) 约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法， 同时还有分母， 分子有理化。 通分后在用约分法） （ 这只是最简单的约分法， 同时还有分母， 分子有理化。 通分后在用约分法） 3. 利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。。。。 利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。。。。 ——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1<x->-∞)、limarctanx=π/2(x->∞) 、 4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1) =(4+1/x 2 +1/x 4 )/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞) 4、 比值法 、 Lima n/n!( n->∞,a>0) 因为（ 因为 （ a n+1 /（ n+1） !） / （ a n/n!） =a/(n+1) ( n->∞,a>0) （ ） ） ） n+1 n 所以 0<（ a /（ n+1） !） / （ a /n!） =a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0 （ （ ） ） ） n 2 (求 limn /n! =_( n->∞) 求 5、 极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x -1)/x=（ ex） 、 （ x=0） =1(x->0) ——利用导数的定义 、 极限与导数—— （ ） 6. 有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞) 7. 利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 , (1+ax)b -1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0) （ 在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在） 在 ， 不能得到原极限不存在 ） 8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞) 利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2 (解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略) 解释 中间的配凑略 1/f(x) limg(x)/f(x) Lim(1+g(x)) =e (g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小) 都是无穷小 ∞ (1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法， 时上述方法就显得更简单了恩） 函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩） 9.利用洛比达法则 可转化为 0/0, ∞/∞型) 利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0) 利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。 （ 对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦) 充要的哦) 10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3 (x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3 )-x+x 2 /2!-0(x 3 ))/x 3 =lim (x 3 /3+o(x 3 ))/ x 3 =1/3 (在极限中很少用 ， 但可以解决一些特殊的高数上有哈 ） 在极限中很少用， 在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈） 11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______
解:
=
12.利用柯西准则来求 ！ 12. 利用柯西准则来求！ 利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N ， 使 得当 n>N 时 ， 对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn - xm|<ε. 利用变量替换求极限！ 13. 利用变量替换求极限 ！ (x^1/m-1)/(x^1/n例如 lim (x^1/m - 1)/(x^1/n - 1) ：＝n/m. 可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m. 14.利用单调有界必有极限来求 14. 利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝ 。。。。。。）存在极限 存在极限， 证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, 。。。。。。）存在极限， 并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ .∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)= (2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2- 2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍). 15.利用夹逼准则求极限 15. 利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值， 然后再证明。 求数列极限时， 16. 求数列极限时 ， 可以先算出其极限值 ， 然后再证明 。 17.利用级数收敛的必要条件求极限 17. 利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18. 利用幂级数的和函数求极限