椭圆知识点

1.椭圆的定义
 ,动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.

2椭圆的标准方程
　注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，       才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；　3．椭圆的焦点总在长轴上.

3.椭圆的简单几何性质
（1）对称性：（2）范围：，。
（3）顶点：  ，，，其中长轴长为2，短轴长为2；（4）准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥通径4：椭圆 与 的区别和联系

4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；

5、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

7．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离；

注意．

1.判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

③ 若把曲线方程中、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。

2.点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

3  因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

[例3 ] 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

题型3:椭圆的几何性质的运用

4. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为(      )                                                          

  A      B    C    D 

题型4:椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．

6. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大

7.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，

是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

考点4 椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例8 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

9 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

   （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

   （2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

10在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

              圆锥曲线的性质总结

1   若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

2   椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

3   椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

4   AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

5  已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。

6   若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

7   双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,

8   椭圆上一P（除、）与长轴的端点、的连线斜率的积是（焦点在y轴时）

9  已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则

10    设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

11   过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

12   若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

13    已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）（3）的最小值是.

14   为椭圆上一点，过点作斜率互为相反数的两条直线、，分别交椭圆于、两点。求证直线的斜率为定值

15  设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

17  若是过抛物线的焦点的弦。设，则（1）；（2）。（2）（3）设直线的倾斜角为，则。（4）若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与抛物线的准线相切。（5）

18 若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。

第二篇：椭圆知识点小结

椭圆知识点

知识要点小结：知识点一：

椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，       才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为        ，，，　　
    ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
　　（2）；；；
　　（3）；；；

知识点四：椭圆 与 的区别和联系

注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法：

 1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

 2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义
　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。

可借助右图理解记忆：  　       　
　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

 4．方程是表示椭圆的条件

方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF₁F₂（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF₁F₂有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。

将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。

显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。