初中数学常用公式定理

1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，0.231，0.737373…­­．­无限不环循小数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数．

2、­绝对值：a≥0­­丨a丨＝a；­a≤0­­丨a丨＝－a．如：­­丨3.14－π丨＝π－3.14．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个­近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

4、把一个数写成±a×10ⁿ­的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×10⁵，0.000043＝­4.3×10^－5．

5、乘法公式：①(a＋b)(a－b)＝a²－b²．②(a±b)²＝a²±2ab＋b²．③­(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³．④(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³；a²＋b²＝(a＋b)²－2ab，(a－b)²＝(a＋b)²－4ab．

6、幂的运算性质：①­a^m×aⁿ＝a^m＋n．②a^m÷aⁿ＝a^m－n．③(a^m)ⁿ＝a^mn．④(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ．⑤      ⑥a^－n＝  ­⑦­a⁰＝1(a≠0)．如：a³×a²＝a⁵，a⁶÷a²＝a⁴，(a³)²＝a⁶，(3a³­)³＝27a⁹，

7、二次根式：①­(­­)²＝a­(a≥0)，②      ­­＝丨a丨，③­­      ＝­­    ×      ­­，④      ­­＝­­        （ a＞0，b≥0)­．如： a＜0时，      ­­  ＝－a      ．

8、一元二次方程：对于方程：ax²＋bx＋c＝0：

①求根公式是x＝­                  ­，其中­△＝b²－4ac叫做根­的判别式．注意：当△≥0时，方程有实数根．△<0时，方程无实根

②若方程有两个实数根x₁和x₂，并且二次三项式ax²＋bx＋c可分解为a(x－x₁)(x－x₂)．

③以a和b为根的一­元二次方程是­x²－(a＋b)x＋ab＝0．

9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y­随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx­(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．

10、反比例函数y＝­    ­(k≠0)．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．

11、统计初步：（1）概念：①总体，个体．样本，样本容量．②众数．③中位数．

（2）公式：设有n个数­、……, ，那么：①平均数为：                                    ；②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，即：极差=最大值-最小值；③方差：数据、……, 的方差为，

则=                                         一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。标准差：方差的算术平方根.

12、频率与概率：

（1）频率=      各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率①用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；②运用列举法计算简单事件发生的概率。③大量重复实验频率可视为事件发生概率的估计值；

13、锐角三角函数：

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则：sinA＝­，cosA＝­­，tanA＝­．并且sin²A＋cos²A＝1．0＜sinA＜1，­0＜cosA＜1，­tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，­cos(90º－A)＝sinA．

③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝­­，sin45º＝cos45º＝­­，sin60º＝cos30º＝­­，      tan30º＝，tan45º＝1，tan60º­＝．

④斜坡的坡度：­i＝­­＝­­．设坡角为α，则i＝tanα＝­­．

14、平面直角坐标系中的有关知识：

（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P₁（a，－b），P关于y轴对称的点为P₂（－a，b），关于原点对称的点为P₃（－a，－b）.

（2）坐标平移：点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，变为P（a，b－h）.

15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果                       是常数，       ，那么叫做的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

3求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，                                       ∴顶点是（                               ，对称轴是直线.           

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为                         的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为：

4.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于的对称轴是直线         ，故：①时，对称轴为轴；②时，对称轴在轴左侧；③时，对称轴在轴右侧.

 （3）的大小决定抛物线                与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c=0，抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧则               

5.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：                       .已知图像上三点或三对x、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：                          已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标、，通常选用交点式：                                      .

6.直线与抛物线的交点

 （1）y轴与抛物线                          的交点为(0,c).

 （2）抛物线                       与x轴的交点:二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点()抛物线与轴相交;  ②有一个交点（顶点在x轴上） ()抛物线与x轴相切;  ③没有交点 ()抛物线与x轴相离.

  （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点

    同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组                 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点                             .

  （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 

几何部分：

1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º

2、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a∥b∥c，直线l₁与l₂分别与直线a、b、c相交于

点A、B、C、D、E、F，则有

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：

＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90^o，CD⊥AB于D，则有：

（1）（2）（3）

4、圆的有关性质：

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的­任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；­⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度­数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周­角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等­弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角­所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三­角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径­；（2）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则

＊6、弦切角定理及其推论：

（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。                               

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD

割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB

 

             ①                                                            ②                                             ③

8、面积公式：

①S_正△＝­­×(边长)²．②S_{平行四边形}＝底×高．③S_菱形＝底×高＝­­×(对角线的积­

④S_圆＝πR²．⑤l_圆周长＝2πR．⑥弧长L＝_­­． ⑦ ⑧S_圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S_全面积＝S_侧＋S_底＝2πrh＋2πr²⑨S_圆锥侧＝­­×底面周长×母线＝πrb， S_全面积＝S_侧＋S_底＝πrb＋πr²

9、图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。
全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然

相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

10、中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

11、图形与变换：
1：图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

第二篇：初中数学圆知识点总结

《圆》单元测试题

一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题4分，共40分)

1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ）

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°

B 第1题图 第2题图 第3题图 C 第4题 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC =（

）

A．90° B．60° C．45° D．30°（ ）

4. 如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )

A．25° B．30° C．40° D．50°

5.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（ ）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2 =10cm，则两圆的位置关系是（ ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 A1 7.下列命题错误的是（ ） ．．

A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 C OH1 H 1 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 A C1O B C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 12

8.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）

A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离

C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切

9已知两圆的半径R、r分别为方程x?5x?6?0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( )

A．外离 B．内切 C．相交 D．外切

10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ）

A2 ∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．12

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）

A．25π B．65π C．90π D．130π

12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

77Aπ－ 3 38 47B． π3 38 C．π 4D． π3 32

二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，

且?AEB?60，则?P?

D

C?

17题图

14. 在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径 为_______________ .

15.已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD

=10

，则

AB与CD的距离为__________.

16.一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm

时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为_______ (假设绳索与滑轮之间没有滑动)

17.如图，在边长为3cm的正方形中，⊙P与⊙Q相外切，且⊙P分别与DA、DC边相切，⊙Q分别与BA、BC边相切，则圆心距PQ为______________．

18.如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_________s时，BP与⊙O相切．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分）

19.（本题满分8分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？ 第13题图A 第18题图

20.（本题满分8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°．求∠P的度数．

21.（本题满分8分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D在⊙O上，连接AD、BD，B=30°，BD是⊙O的切线吗？请说明理由．

22.如图所示，AB是?O的一条弦，OD?AB，垂足为C，交?O于点D，点E在?O上．

（1）若?AOD?52?，求?DEB的度数；

（2）若OC?3，OA?5，求AB的长．(10分)

23.如图，AB、CD是?O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连结AD、BC交于点E．?P?30?，?ABC?50?，求?A的度数．(8分)

24. (12分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；

（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数

25.（本题满分12分）已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，

OH=3 ．请求出：

（1）∠AOC的度数；

（2）劣弧AC的长（结果保留π）； （3）线段AD的长（结果保留根号）.

26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙

M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已

知点M的坐标为（03 ），直线CD的函数解析式为

y=3 x＋53 ．

⑴求点D的坐标和BC的长；

⑵求点C的坐标和⊙M的半径；

⑶求证：CD是⊙M的切线．

x

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d﹤r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d﹥r

22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

27、圆的外切四边形的两组对边的和相等

28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35、①两圆外离 d﹥R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)

36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

42、正三角形面积√3a／4 a表示边长

43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，

因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

44、弧长计算公式：L=n兀R／180

45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)