第二章 《解三角形》小结与复习

一、教学目标

1.熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。

2.通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。

3.注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。

二、教学重点、难点

重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。

难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

2.知识归纳

（1）解三角形常见类型及解法

①已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;

②已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;

③已知三边,利用余弦定理求其它的角;

④已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形.

（2）三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.

（3）三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.

（4）解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答.

（三）例题探析

例1在中，，．

（1）求角的大小；（2）若最大边的边长为，求最小边的边长．

解（1），．

又，．

（2），    边最大，即．

又，      角最小，边为最小边．

由且，得．

由得：．     所以，最小边．

例2 在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；    （2）求的最大值．

解（1）的内角和，由得．

    应用正弦定理，知 ，

．

    因为，所以，

（2）因为

，

    所以，当，即时，取得最大值．

例3在中，角的对边分别为．

（1）求；       （2）若，且，求．

解 （1）   又     解得．

    ，是锐角．       ．

（2），  ，     ．

    又      ．    ．

    ．             ．

例4 已知的周长为，且．

（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．

解（1）由题意及正弦定理，得，     ，

两式相减，得．

（2）由的面积，得，

由余弦定理，得，

所以．

例5 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

ACB=+= (14x) = 9+ (10x)  -2910xcos

化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sinBAC ===

BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83

答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

（四）小结：通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。

（五）作业布置

课本复习题二A组5、6、7   B组1    C组2

五、教后反思

第二篇：因式分解小结与复习

因式分解小结与复习

主 备 人：杨树华 授课班级：138班

参与备课人：罗海建、唐思梁、吴小珍、杨焕良

分层目标

A层：能正确记忆公式，会正确运用公式进行简单因式分解；

B层：理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

C层：培养逆向思维与解决问题的能力。

重点与难点

重点：记住公式

难点：正确运用公式法进行简单因式分解

教学过程:

一、引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个 整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?

二、知识详解

知识点1 因式分解的定义

分解因式.

【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

例如:

(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

怎样把一个多项式分解因式?

知识点2 提公因式法

多项式ma+mb+mc中的各项都 有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是 各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商, 像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1), 8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流

A层：下列变形是否是因式分解?为什么?

(1)3x2y-xy+y= y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn( x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.

典例剖析 师生互动

A层： 用提公因式法将下列各式因式分解.

(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);

小结：运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内 不能再分解.

(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。这时注意到

(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).

(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.

学生做一做 把下列各式分解因式.

A层：(1) (2a+b) (2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ; (2) 4p(1-q)3+2(q-1)2

知识点3 公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).即两个 数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).

(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a ±b)2.其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2-2?2x?3y+(3y)2=(2x-3y)2.

探究交流

A层：下列变形是否正确?为什么?

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y); (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2; (3)x2-2x-1=(x-1)2.

A层：把下列各式分解因式.

(1) (a+b)2-4a2; (2)1-10x+25x2; ( 3) (m+n)2-6(m+n)+9.

B层：学生做一做 把下列各式分解因式.

(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1; (2) (x+y)2 -4(x+y-1).

综合运用

B层：分解因式.

(1)x3-2x2+x; (2) x2(x-y)+y2(y-x);

小结 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式都不能再分解为止.

探索与创新题

B层： 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= .

三、学生做一做 A层： 若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k= .

四、课堂小结

用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.

各项有"公"先提"公",首项有负常提负,某项提出莫漏"1",括号里面分到"底"。 自我评价 知识巩固

A层：1.若x2+2(m-3)x+16是完 全平方式,则m的值等于( )

A.3 B.-5 C.7. D.7或-1

B层：2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

A层：3.分解因式:4x2-9y2= .

B层：4.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.

C层：5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式 C层：6.分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.