必修四 第二章 平面向量知识点归纳
一. 向量的基本概念与基本运算
1
向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用
……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：
几何表示法 ，
；坐标表示法
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为
，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝
｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量
为单位向量｜｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
大小相等，方向相同
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设
，则+=
=
（1）
；
（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
记作
,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）
=； (ii) +()=()+=；
(iii)若
、是互为相反向量，则=
,=,+=
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，
记作：
求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：
可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4实数与向量的积：
①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）当
时，λ的方向与的方向相同；当
时，λ的方向与的方向相反；当
时，
，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数
，使得=
6平面向量的基本定理：
如果
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
使：
，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
二. 平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成
，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算：
(1) 若
，则
(2) 若
，则
(3) 若=(x,y)，则=(x, y)
(4) 若，则
(5) 若，则
若
，则
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为
，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积） 规定
2向量的投影：︱︱cos=
∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：
；
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：
；
（2）消去律不成立
不能得到
（3）
=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
，则·=
8向量的夹角：已知两个非零向量与，作
=, 
=,则∠AOB= （
）叫做向量与的夹角
cos=
=
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件：
⊥·＝O
必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
，tanA＝
。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。
3．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
（一）. 正弦定理和余弦定理应用举例
1. 解三角形应用题的基本思路
（1）建模思想
解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：
（2）解三角形应用题的基本思路：
2. 解三角形应用题常见的几种情况：
（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。
（3）实际问题抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解。
注意：①解三角形应用题中，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器进行运算，当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求。
②如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁。
3. 实际应用问题中有关的名称、术语
在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。
（1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。
（2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。
（3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°。
如：方位角是60°的图形如图。
（4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。
4. 解三角形应用题的一般步骤：
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确。
其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；
（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答。
5. 熟悉三角形中有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：
；
；
（可用正弦定理推得）；
（r为内切圆半径）。
（海伦公式）：
，其中：
6. 常见问题及解决办法：
（1）测量一个底部不能到达的建筑物的高度的步骤：
关键点：怎样克服B点不能到达带来的测量不变？
方法一：（忽略测量仪器的高度）
S1在地面上任取C、D两点，连接CD，AC，AD；
S2测出∠ACD=α、∠ADC=β的大小及在C点测点A的仰角θ和CD的长m；
S3在△ACD中，利用正弦定理求得
S4在Rt△ABC中，得
方法二：（忽略测量仪器的高度）
S1在地面上取点C、D，使C、D与AB在同一个平面内（这样可以保证B、C、D三点共线）；
S2在C、D两点分别测得A点的仰角α、β及CD的长m；
S3设AB=x，则由
得
，即为AB的长。
（2）测量底面上两个不能到达的地方之间的距离的步骤：
S1在可到达之地取两点M、N，连接MN, MA, MB, NA, NB；
S2测出∠ANB=α，∠BNM=β，∠AMN=γ，∠AMB=θ，及MN的长m；
S3在△AMN中，利用正弦定理求得：
在△BMN中，利用正弦定理求得：
S4在△ABN中，利用余弦定理求得：
第二篇：解三角形知识点小结
解三角形知识点小结
一、知识梳理
1.形如
的函数：
（1）几个物理量：A—振幅；
—频率（周期的倒数）；
—相位；
—初相；
（2）函数表达式的确定：A由最值确定；
由周期确定；由图象上的特殊点确定，
（3）函数图象的画法：①“五点法”——设
，令
＝0，
求出相应的
值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：
（4）函数
的图象与
图象间的关系：若由
得到
的图象，则向左或向右平移应平移
个单位，如（1）函数
的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得
的图象，再向左平移
个单位得
的图象，横坐标扩大到原来的2倍得
的图象，最后将纵坐标缩小到原来的
即得的图象）；(2) 要得到函数
的图象，只需把函数
的图象向___平移____个单位（答：左；
）；（3）将函数
图像，按向量
平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量
）；（4）若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点，则
的取值范围是 （答：
）
（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
（1）函数
的递减区间是______（答：
）；
（2）
的递减区间是_______（答：
）；
（3）（4）（5）函数
的单调减区间为（ ）
A 
B 
C 
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二：
(边化正弦)
形式三：
（比的性质）
形式四：
（正弦化边）
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
(遇见二次想余弦)
形式二： 
，
，
二、经典例题
问题一：利用正弦定理解三角形
【例1】在
中，若
，
,
，则
.
【例2】在△ABC中，已知a=
,b=
,B=45°,求A、C和c.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设的内角
所对的边分别为
.已知
，
，
.
（Ⅰ）求的周长，（Ⅱ）求
的值.
【例4】设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3
+3
-3
=4
bc .
(Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求
的值.
练习：在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
=-
.
（1） 求角B的大小；（2）若b=
，a+c=4，求△ABC的面积.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】在
ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
．
（I） 求
的值；（II）若cosB=
，
【例6】在中，内角A、B、C的对边长分别为
、
、
，已知
，且
求b 
练习：在
分别为内角A、B、C的对边，且
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若
，试判断的形状。
问题四：三角恒等变形
【例7】△
中，
所对的边分别为
，
,
.（1）求
；（2）若
,求
.
问题五：判断三角形形状
【例8】在△ABC中，，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.
【例9】 在△ABC中，若＝，试判断三角形的形状.
练习1.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是
2.在△ABC中，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
【例10】已知向量
，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边
.（1）求角C的大小；（2）求
的取值范围.
练习：在中，角
所对的边分别为
，且满足
，
． （I）求的面积； （II）若
，求的值．
问题7：三角实际应用
【例11】．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时
海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
处
时,乙船位于甲船的北偏西
的方向
处,此时两船相距20海里.当甲
船航行20分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方
向的
处,此时两船相距
海里,问乙船每小时航行多少海里?
三、课后跟踪训练
1.若△
的三个内角满足
，则△ （ ）
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若
，
，则A=( ) （A）
（B）
（C）
（D）
3.在中，a=15,b=10,A=60°，则
=
A －
B 
C －
D
4.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=
, A+C=2B, 则sinC= .
5在锐角
中，
则
的值等于 ， 
的取值范围为 .
6.在
中，内角A、B、C的对边长分别为
、
、
，已知
，且
求b
7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求
的值。
8.在
中，
为锐角，角
所对的边分别为
，且
（I）求
的值；（II）若
，求
的值。 
9.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
10.在中，分别为内角
的对边，
且
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）若
，试判断
的形状.
11. 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求
的最大值.