解三角形知识点小结

一、知识梳理

1.形如的函数：

（1）几个物理量：A—振幅；—频率（周期的倒数）；—相位；—初相；

（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，

（3）函数图象的画法：①“五点法”——设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

（4）函数的图象与图象间的关系：若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是                                 （答：）

（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

（1）函数的递减区间是______（答：）；

（2）的递减区间是_______（答：）；

（3）（4）（5）函数的单调减区间为（  ）

A                  B   

C   2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：  (解三角形的重要工具)

形式二：         (边化正弦)

形式三：（比的性质）

形式四：（正弦化边）

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：��

 (遇见二次想余弦)

形式二： ，，

二、经典例题

问题一：利用正弦定理解三角形

【例1】在中，若，,，则              .

【例2】在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设的内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求的周长，（Ⅱ）求的值.

【例4】设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .

(Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求的值.

练习：在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.

（1）   求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

【例5】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（I）        求的值；（II）若cosB=，

【例6】在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b         

练习：在分别为内角A、B、C的对边，且

   （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。

问题四：三角恒等变形

【例7】△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.  

   

问题五：判断三角形形状

【例8】在△ABC中，，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.

【例9】 在△ABC中，若＝，试判断三角形的形状.

练习1.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是

  2.在△ABC中，如果（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），判断三角形的形状.

问题六：与其他知识综合

【例10】已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.

练习：在中，角所对的边分别为，且满足，．  （I）求的面积；   （II）若，求的值．

问题7：三角实际应用

【例11】．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处

时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲

船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方

向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?

三、课后跟踪训练

1.若△的三个内角满足，则△     （     ）

（A）一定是锐角三角形.         （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形.          (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=(      )    （A）    （B）      （C）     （D）

3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A －  B  C － D

4.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B, 则sinC=     .

5在锐角中，则的值等于        ， 的取值范围为        .  

6.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且

 求b         

7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。

8.在中，为锐角，角所对的边分别为，且

 （I）求的值；（II）若，求的值。     

9.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

   

10.在中，分别为内角的对边，

且

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状.

11. 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

    （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

第二篇：解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳

一  正弦定理

（一）知识与工具：

正弦定理：在△ABC中，。

在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°     

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=absinC==2R²sinAsinBsinC   

(4)三角函数的恒等变形。

sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型

题型1 利用正弦定理公式原型解三角形

题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

题型3 三角形解的个数的讨论

方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

二余弦定理

（一）知识与工具：

a²=b²+c²﹣2bccosA   cosA=

b²=a²+c²﹣2accosB   cosB=

c²=a²+b²﹣2abcosC   cosC=

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°；

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(3)面积公式：S=absinC==2R²sinAsinBsinC

(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型

题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状

结论：根据余弦定理，当a²+b²＜c²、b²+c²＜a²、c²+a²＜b²中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a²+b²＞c²、b²+c²＞a²，c²+a²＞b²中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：

(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。

正余弦定理在实际中的应用

题型1 计算高度           题型2 计算距离   

题型3 计算角度           题型4 测量方案的设计

实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

练习题

1、  在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。

2、  在△ABC中，证明：。

3、  在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。

4、  在△ABC中，若，则△ABC是（      ）

A．有一内角为30°的直角三角形              B．等腰直角三角形              

C．有一内角为30°的等腰三角形             D．等边三角形

5、  已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（      ）

A．   B．  C．   D． 

6、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（      ）

A． 5                B．6                     C．7                     D．8

7、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 (            )

A．直角三角形     B．等腰三角形     C．等腰直角三角形     D．正三角形