函数的奇偶性

1知识点

（1） 定义：

 偶函数：对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；

奇函数: 对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。

(2) 判断函数奇偶性的步骤

①定义域关于原点对称      

②判断与的关系 

若=则函数为偶函数

若=则函数为奇函数

（3）奇函数的性质

①奇函数定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称

②在有意义，则         

③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性             

（4）偶函数的性质

①偶函数定义域关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称

②偶函数在其关于原点对称的区间上单调性             

(5)常见的奇偶函数

    ①，② ，③ ，④⑤

   ⑥

（1）       函数f(x)=a^x+a^-x为偶函数;

       函数f(x)=a^x-a^-x为奇函数；

（2）       函数f(x)=( a^x-a^-x)/( a^x+a^-x)=( a^x-1)/( a^x+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；

（3）       函数f(x)=log_a()为奇函数（a>0且a≠1）;

（4）       函数f(x)= log_a()为奇函数（a>0且a≠1）

奇偶函数的性质

1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。

2、在公共定义域内，

亦即：

（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。

考点一：奇偶性的概念

1．下面四个结论中，正确命题的个数是（  ）

①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数的充要条件是；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．

A．1                    B．2                       C．3                       D．4

2．已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　

A．，b＝0     B．，b＝0      C．，b＝0     D．，b＝0

3．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，的表达式是                        　

4．已知，且，那么f（2）等于            　　

5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=    6. 6.设函数 (x∈R)为奇函数，，，则

考点二：判断函数的奇偶性

（1.定义法：分两步,  2.图象法：看是否关于原点或y轴对称）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1），      (2) ；       （3）；

（4）     （5）（6）

2.若函数与的定义域均为R，则

A. 与与均为偶函数     B.为奇函数，为偶函数

C. 与与均为奇函数     D.为偶函数，为奇函数

考点三：奇偶性性质的应用（最值，不等式，单调性,图象）

           注重数形结合的方法，通过图象来分析解决问题

1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，

则实数的取值范围为                    。已知偶函数f(x)在区间[0，+∞）单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x取值范围是        

2． 如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（    ）

    A．最大值        B．最小值                C ．没有最大值       D． 没有最小值

3. 若是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）

A．最小值－5　　B．最大值－5     C．最小值－1　　　D．最大值－3

4．  （1）若函数是奇函数，则常数值为__________。

（2）已知是奇函数，则＋=          

5.若函数 f(x)=(K-2)x²+(K-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是             。

6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是   

①； ②；③；④．

7.函数y=的图像关于（     ）对称

   （A）原点   （B）直线   （C）轴   （D）直线 

8.已知函数（     ）

       A．b                        B．－b                     C．                      D．－

9.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是                   

10．若函数是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（  ）

       A．              B． 

      C．           D．

11.函数在其定义域内是(     )

A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数

C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，

，且，则不等式的解集是（ ）

A.                   B.

C.               D.

【感悟高考真题】

1.（2011·广东高考理科·Ｔ4）设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

 A．+||是偶函数    B．-||是奇函数

C．|| +是偶函数    D．||- 是奇函数

2、（2011·安徽高考文科·Ｔ11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则       .

3、（2011·广东高考文科·Ｔ12）设函数f(x)=x³cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_______.

4、（2011·浙江高考理科·Ｔ11）若函数为偶函数，则实数    

第二篇：函数周期性总结

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。

问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= 2π2π?

y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T= ?

f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？

y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x) ?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b) ?y?f(x)的周期为T?b?a 3、f(x?a)??f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a 4、f(x?a)?c

f(x) (C为常数) ?y?f(x)的周期为T?2a 5 f(x?a)?1?f(x)

1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a

7、 f(x?a)??1

f(x)?1 ?y?f(x)的周期为T?4a

8、f(x?a)?1?f(x)

1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?4a

9、f(x?2a)?f(x?a)?f(x) ?y?f(x)的周期为T?6a

10、f(x?n?2)?f(x?n)?f(x?n?1)；（它是周期函数，一个周期为6） 11、y?f(x)有两条对称轴x?a和x?b（a?b) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 12、y?f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 13、y?f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)?y?f(x) 周期T?4(b?a)

14、奇函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x) 周期T?4a。

15、偶函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x) 周期T?2a。 练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=1

f(x) ③f(x+a)=－1

f(x)

④f(x+a)=f(x)?1

f(x)?1 ⑤f(x+a)=f(x-a) T= ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) T=6a 十一 对称性加奇偶性得到周期

f(x)为偶函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=2a f(x)为奇函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=4a eg：练1：（07天津7）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)是减函数，则f(x)( )

A.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?

2,?1]D.在区间[?

2,?1]上是减函数，在区间[3,

4]上是减函数，在区间[3,

4]?f(2?x).若f(x)在区间[1,2]上上是增函数 上是增函数