今天,老师在数学课上出了这么一道题:一个等腰直角三角形的斜边长是8厘米,求面积。老师刚说完题目,同学们就议论纷纷,时间一分一秒地过去了,可还是没有一个人举手,我忽然灵机一动,想到了一种解法,我便举起手。老师见了连忙让我回答;我说:“作等腰直角三角形斜边上的高,这个等腰三角形既然有一个角是直角,那么这个角是90度,另外两个角分别是45度,度数之间的关系是倍数关系。则斜边与斜边上的高也是倍数关系;可知斜边上的高是斜边的一半。即高就是8÷2=4(厘米)。然后再根据三角形的面积公式求等腰直角三角形的面积。算式是8×4÷2=16(平方厘米)。老师听了满意地笑了,忽然我不知哪来的灵感又想了一种解法,于是,我鼓起勇气对老师说还有一种方法,老师听了高兴地说:“说吧”。“把这个等腰直角三角形对折后再打开,沿折痕剪开,将两个小等腰直角三角形拼成一个正方形,边长是原等腰直角三角形斜边的一半,即8÷2=4(厘米)。这个正方形的面积就是原等腰直角三角形的面积”。算式是4×4=16(平方厘米)。我刚说完教室里响起了一片热烈的掌声。
老师听了我说的两种方法神秘地说:“还有什么方法。”大家听后想莫非这道题还有其它解法;正在大家苦思暝想网的时候,班长小红把手举得高高的,老师请她站起来说:“还可以用两个这样的等腰直角三角形拼成一个大等腰直角三角形,这个大等腰直角三角形的直角边就是原等腰直角三角形斜边的长8厘米,原等腰直角三角形的面是拼成大等腰直角三角形面积的一半,算式是:8×8÷2÷2=16(平方厘米)。还可以用四个这样的等腰直角三角形拼成一个正方形,正方形的边长是等腰直角三角形斜边的长8厘米,正方形面积的四分之一就是这个等腰直角三角形的面积,算式是8×8÷4=16(平方厘米)。对这精彩的回答,周围又响起了一阵热烈的掌声。
第二篇:巧用面积法解题方法
许多数学问题,表面上看来似与面积无关,但灵活运用面积法,往往能使问题顺利获解,下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知:如图1,AD是△ABC的中线,CF⊥AD于F,BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证:CF=BE。
图1
证明:连结EC,由BD=DC得,
两式两边分别相加,得
所以BE=CF。
注:直接由二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2,C是线段AB上的一点,△ACD、△BCE都是等边三角形,AE、BD相交于O。
求证:∠AOC=∠BOC。
图2
证明:过点C作CP⊥AE,CQ⊥BD,垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形,
所以AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE,
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD,可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3,在△ABC中,已知AB>AC,∠A的平分线交BC于D。
求证:BD>CD。
图3
证明:过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为且AD>AC
所以所以BD>CD
四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知:如图4,设等边△ABC一边上的高为h,P为等边△ABC内的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F。
求证:PE+PF+PD=h。
图4
证明:连结PA、PB、PC
因为因为△ABC是等边三角形
所以即PE+PF+PD=h
五. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5,AD是△ABC的角的平分线。
求证:图5
证明:过D点作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线,
所以DE=DF,
则有过A点作AH⊥BC,垂足为H,
则有六. 用面积比求线段的比
例6. 如图6,在△ABC中,已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证:图6
证明:连结CM,过B作BG⊥AD交AD延长线于G,则