1.

其实，

我不是一定要等你，

只是等上了，

就等不了别人了。

——《朝露若颜》

2.

如果世界上曾经有那个人出现过， 其他人都会变成将就！

而我不愿意将就。

——《何以笙箫默》

3.

我不能给你全世界，

但是，

我的世界，

全部给你。

——《念念不忘》

4.

第一步，抬头。

第二步，闭眼。

这样，

眼泪就都流进心里了。

我想起来了 我从来没有不喜欢你， 那些让你伤心的难听话， 全是我撒谎。

——《岁月是朵两生花》

5.

没有我在家等着你，

不要，

忘了回家的路。

——《十年一品温如言》

6. 一生一世……不离不弃！ 你是我的……我亦是你的。 ——《独步天下》

7.

我知道她想要什么， 可是我给不了她。 我给过你的，

再也给不了别人。 ——《来不及说我爱你》

8.

我已经暗恋他很久了， 如果我不走到他的前面， 他永远不会看见我。

——《被时光掩埋的秘密》

11.

如果幸福不在巴黎， 就一定在别处。 10. 岁岁长相伴， 白头不相离。 ----------《长相思》 9. 时间没有等我， 是你忘了带我走。 ——《夏至未至》

可是我的世界已没有巴黎， 只有你。

——《巴黎没有摩天轮》

12.

你喜欢我，

因为我是个不错的人， 但你爱他，

哪怕他是个错的人。

——《许我向你看》

13. 遇见你， 我打开一扇门， 门后是天堂。

——《原来爱很殇》

14.

你的心，

是我去到世界尽头、

也想回来的地方。

——《温暖的弦》

15.

原来眼泪真的可以绵绵不绝, 而天堂却比不上你对我的微微一笑。 ——《一光年的距离有多远》

16. 你转身的一瞬， 我萧条的一生。 ——《何以笙箫默》 17. 如果当初我勇敢， 结局是不是不一样。 如果当时你坚持， 回忆会不会不这样。 ——《曾有一个人爱我如生命》 18. 明明是无所谓的东西， 一旦自己突然说好想要， 久而久之， 就真的很想要了。 我想要你。 ——《牧小疯的燃情岁月》

19.

有时候恨你， 更多的时候 我爱你。 ——《原来你还在这里》

20. 曾经我们都以为自己可以为爱情死， 其实爱情死不了人， 它只会在最疼的地方扎上一针， 然后我们欲哭无泪， 我们辗转反侧， 我们久病成医， 我们百炼成钢。 你不是风儿，

我也不是沙，

再缠绵也到不了天涯。 ——《致我们终将逝去的青春》

第二篇：新贸易理论、新新贸易理论经典文献导读

新贸易理论、新新贸易理论经典文献导读

本文档为草稿，如有问题请联系：gaoguowei@live.cn 目录

1、消费者行为.........................................................................................................................3

2、生产者行为.........................................................................................................................6

3、封闭经济条件下的均衡.....................................................................................................7

4、开放经济.............................................................................................................................8

5、两国的市场规模与相对工资............................................................................................11

6、市场规模效应...................................................................................................................12

1、消费者行为.......................................................................................................................17

2、生产者行为.......................................................................................................................19

3、封闭经济时的均衡...........................................................................................................21

4、开放经济时的均衡...........................................................................................................21

5、练习题...............................................................................................................................23

1、消费者行为.......................................................................................................................26

2、生产者行为.......................................................................................................................27

3、行业内所有企业的平均生产率.......................................................................................29

4、封闭经济条件下的均衡...................................................................................................30

5、封闭经济条件下均衡时的厂商数量和消费者效用.......................................................32

6、开放经济...........................................................................................................................33

7、开放经济条件下的ZCP和FE条件..............................................................................35

8、贸易的影响.......................................................................................................................36 1

9、练习...................................................................................................................................37

1、消费者行为.......................................................................................................................38

2、生产者行为.......................................................................................................................42

3、无贸易成本时的国际贸易...............................................................................................46

4、存在贸易成本时的国际贸易...........................................................................................46

5、其他问题...........................................................................................................................49

6、练习题...............................................................................................................................50

经济地理基础模型.......................................................53

1、消费者行为.......................................................................................................................53

2、生产者行为.......................................................................................................................55

3、价格指数、收入和工资...................................................................................................57

4、市场规模效应、价格指数效应和名义工资效应...........................................................59

5、集聚均衡的维持和对称均衡的瓦解...............................................................................62

6、练习题...............................................................................................................................66

2

Krugman（1980，American Economic Review）

1、消费者行为

假定消费者的效用函数为CES效用函数：

U=?∫q(ω)ρdω??ω∈Ω?ρ，其中0<ρ<1。

?是消费者所消费的的变体的集合。ω是集合中的一个变体。也就是说在这个经济体中只有一种商品（比如汽车），这种商品有很多变体（比如各种不同品牌的汽车）。集合?中变体的数目n是内生的，在后面我们把n求出来。 我们定义σ=(1?ρ)，所以该效用函数也可以写成：

σσ?1)U=?∫q(ω)(σ?1)dω??ω∈Ω?。

消费者面临的预算约束是：

∫ω∈Ωp(ω)q(ω)dω=R。

R为消费者的支出。在预算约束条件下最大化消费者的效用函数，可以得到消费者对变体ω的需求函数：

R?p(ω)?q(ω)=??P?P??σ。

其中，价格指数P的表达式是：

P=?∫p(ω)(1?σ)dω??ω∈Ω??σ)。

求解需求函数的具体过程如下：

3

σ?maxU=?(σ?1)?q(ω)dωq(ω)??∫ω∈Ω???s..t ∫p(ω)q(ω)dω=Rω∈Ω?(σ?1)

利用拉格朗日乘数法得到的一阶条件是：

?q(ω)????q(ω′)??1σ=p(ω)。 p(ω′)

ω和ω′是任意取的两个不同的变体。 把一阶条件写成q(ω)=(p(ω)p(ω′))?σq(ω′)并带入预算约束条件可得：

q(ω′)p(ω′)σ∫ω∈Ωp(ω)1?σdω=R，即q(ω′)=p(ω′)?σR∫ω∈Ωp(ω)1?σdω。

也就是说，消费者对变体ω的需求函数是：

q(ω)=p(ω)?σR

∫ω∈Ωp(ω)1?σdω

为了使用方便，我们还要进一步把这个需求函数变形。把这个需求函数带入效用函数可得：

U=R(∫ω∈Ωp(ω)1?σdω)σ?1)。

我们把价格指数P定义为效用U为1时的支出（R），这样可以求出P：

(1?σ)P=?p(ω)dω??∫ω∈Ω?1?σ)。

p(ω)?σR把P的表达式带入q(ω)=

p(ω)?σRR?p(ω)?q(ω)==??1?σPP?P??σ∫ω∈Ωp(ω)1?σdω可以使之变形为： 。

消费者的总支出就等于所有劳动力的总收入，所以R=wL。需求函数变为：

4

wL?p(ω)?q(ω)=??P?P??σ。

CES效用函数在国际贸易模型中应用广泛，我们现在解释一下CES效用函数的一些特点：

（1）该效用函数也可以写成这样的形式：U=((σ?1)q(ω)∑ω∈Ω)σσ?1)。如果把变体数目看成离散的（n是一个整

数），效用函数就采用“∑”形式；如果把变体数目看成连续的（n是一个分布在数轴的点），效用函数就采用“∫”形式。当然效用函数

U=还也q(ω)可(σ?1)以σ(σ?1)写成n?U=∫q(ω)(σ?1)dω????0?σσ?1)或者(∑n

ω=1)。

（2）消费者消费的变体数目越多，消费者的福利越大。证明过程如下：假定每种变体的价格都是相同的，用p表示，这样每种变体的消费量就是Rnp，消费者的效用变为U=n(σ?1)R/p。显然，效用U是n的增函数。

表示消费者偏好变体多样化的程度。（3）ρ（也就是(σ?1)）

当ρ＝1时，消费者的效用等于所有变体数量简单相加，这样消费者就不在乎变体是否多样化。ρ越趋近于0，则表明消费者越偏好变体多样化。

（4）σ（也就是(1?ρ)）表示两种变体之间的替代弹性。替代弹性的计算公式是： dln(q(ω2)q(ω1))

??Udln???q(ω1)

?U???q(ω2)?。把?U?q(ω1)?q(ω1)??U=???q(ω2)?q(ω2)??1σ带入替代弹性5

的计算公式可以求出替代弹性是σ。

（5）CES效用函数对应的需求函数有一个重要的性质：如果n很大，即消费者所消费的变体数目很多时，我们可以认为每种变体的价格对总价格指数的影响可以忽略，这样变体ω需求的价格弹性e(ω)=?dq(ω)p(ω)=σdp(ω)q(ω)是常数。这一性质在本模型中起到重要作用。后面我们介绍的Krugman（1979）模型和Melitz and Ottaviano（2008）模型会讨论需求的价格弹性不是常数时的情况。

2、生产者行为

假定只有劳动这一种生产要素，变体ω的生产者对劳动的需求函数是：

l(q(ω))=f+q(ω)

?，其中l(q(ω))表示生产q单位变体ω所需要

的劳动数量，f是固定成本。?是一个固定的参数，对所有的生产者都是一样的。在后面介绍的模型（如Melitz（2003）模型等）中我们将讨论每个生产者的生产率都不同，即?不是一个固定的参数而一个随机变量时的情况。

变体ω的生产者对劳动的需求函数决定了生产者的总成本函数是：

TC(q(ω))=wf+wq(ω)

?，其中w是劳动工资。

变体ω的生产者的平均成本函数是：

6

AC(q(ω))=wfw+。 q(ω)?

很明显，随着产量的增加，平均成本是递减的，这就体现了生产的规模报酬递增。 生产者的边际成本是。厂商的定价原则是边际收益MR等?w

于边际MC。这一定价原则可以写成p(1?=MC，其中e是需求的价格弹性。前面已经求出本模型中的需求的价格弹性是σ，所以：

σw?1?wp(ω)?1??=，即：p(ω)=。 σ?1??σ??1e

需要注意的是，所有变体生产者的定价都是相同的，都是σw。 σ?1?

知道了厂商的定价后可以求出变体ω的生产者的利润函数： π(ω)=q(ω)??σw??q(ω)?wf?+???。 ???σ?1???

3、封闭经济条件下的均衡

在垄断竞争条件下，因为厂商是可以自由进出该行业的，所以厂商的利润为0。由π(ω)=0可以得到变体ω生产者的产量：

q(ω)=(σ?1)?f。

同样，对任何一种变体，生产者的产量都是(σ?1)?f。

由于规模经济的存在，每个厂商只生产一种变体。同时，每个厂商都会生产与其他厂商不同的变体，因为两个厂商生产同一 7

种变体要面临更激烈的竞争。这样，均衡时厂商的数量就等于变体数目，当然也等于消费者所消费的变体数目。

由于所有厂商对劳动需求之和就是总人口数，所以?q(ω)?n?f+?=L。把q(ω)=(σ?1)?f???带入到这个等式可以得到本国厂

商的数量（也就是生产的变体数目，也就是消费的变体数目）n：

n=Lf。

把q(ω)=(σ?1)?f和n=Lf带入到效用函数可以求出封闭状态下均衡时消费者的效用：

U=?∫q(ω)(σ?1)dω??ω∈Ω?

(σ?1)?=?nq(ω)??σσ?1)n=?∫q(ω)(σ?1)dω??0???σσ?1) σσ?1)=(Lf)σ(σ?1)(σ?1)?f。

由此我们可以得到这样一个结论：一个国家的规模越大（L越大），则这个国家消费者福利就越大。之所以如此，是因为L越大则消费者所消费的变体的数目（n=Lf）就越多，即消费者的选择变得多样化了。需要注意的是，不管L有多大，这个国家每个厂商所生产的数量并没有变化：q(ω)=(σ?1)?f；每种变体的价格也没有变化：p(ω)=σw。 σ?1?

4、开放经济

（1）开放经济条件下模型设定

假定存在两个国家：本国和外国。假定本国和外国的人口不同（也就是规模不同），本国人口数是L，假定外国人口数是L*。 8

两国的效用函数、生产成本都是一样的。与本国类似，我们可以求出封闭经济条件下外国厂商给每种变体所定的价格是σw*

σ?1?

（w*表示外国工资）；封闭经济条件下外国每个厂商所生产的数

封闭经济条件下外国生产的变体数目是n*=Lf。 量是(σ?1)?f；

假定两国的贸易存在“冰山运输成本”（iceberg cost）：要想使1单位的产品运抵外国，在本国装船时需要装入τ单位的产品（τ>1）。在运输过程中被“融化”掉的产品就是运输成本。冰山运输成本是国际贸易学模型中表示运输成本的最常用方法。Samuelson（1952）第一次将冰山成本引入经济学模型。冰山成本可以追溯到冯·杜能在《孤立国》中的思想：谷物运输的成本就是拉车的马在路上吃掉的谷物。

（2）开放经济条件下的价格与产量

下面我们先来求开放经济时本国的价格和产量。

开放经济后，本国厂商的成本、消费者需求的价格弹性没有变化，所以本国厂商的在本国销售产品所定的价格仍然是：

p(ω)=σw。为了简单，我们把这个价格写作p。 σ?1?

由于存在运输成本，本国厂商在外国市场所定的价格是τp。 由消费者的需求函数可知，本国市场对本国的变体ω的需求量qD是：

wL?p?qD(ω)=??P?P??σ；

外国市场对本国的变体ω的需求量qX是：

9

w*L*?τp?qX(ω)=??P*?P*??σ。

在开放经济条件下，ω变体生产者的利润函数变为：

π=pqD(ω)+τpqX(ω)?w?f+??q(ω)?DX?，其中q(ω)=q(ω)+τq(ω)。 ??

由于厂商可以自由进入，所以每个厂商的利润都是0。令π=0可以求出开放经济条件下每个厂商的产量：

q(ω)=(σ?1)?f。这与封闭经济时每个厂商的产量是一样的。 因为开放经济条件下每个厂商的产量与封闭经济条件下一样，所以开放经济条件下本国厂商数量与封闭经济条件下也是一样：

n=Lf。

与本国类似，我们可以求出开放经济条件下外国厂商给每种变体所定的价格p*(w)是σw*；开放经济条件下外国每个厂商σ?1?

所生产的数量是（(σ?1)?f）；开放经济条件下外国生产的变体数目n*是Lf。

（3）开放经济条件下消费者福利

与封闭经济相比，开放经济后每个国家的产品价格、每个厂商的产量和厂商数目（变体数目）都没有什么变化。但是，消费者的福利却因为开放贸易而变好了，因为开放贸易后消费者所消费的变体数目增加了。开放贸易后消费者的效用函数可以写为：

?n+n*U=?∫q(ω)0?σ?1σ???σσ?1。

10

我们可以求出开放经济条件下消费者的效用是：

?n+n*U=?∫q(ω)0?σ?1σ???σσ?1σ?1?(nn*)q()ω=?+??σ?1?L+L*?=???σf?σ?1(σ?1)?f。 显然，这要比封闭经济时的效用更大。

5、两国的市场规模与相对工资

我们可以令外国的工资w*=1，这样本国的工资w就变成两国的相对工资。我们利用贸易平衡条件可以求出两国的相对工资。贸易平衡就是说本国出口到外国的产品价值总额等于外国出口到本国的产品价值总额。

本国出口到外国的产品价值总额X=n?τ?p?qX。其中n是本国厂商数量，τ?p是本国产品在外国市场的售价，qX是外国市场对本国一种产品的需求量。可以求得本国出口到外国的产品价值总额X=n?τ?p?qX为：

X=

1λ=σfn?τ?p?qX1?σ=λLL*(τw)1?σ11?σ+L*?λ?τL(w)??。其中?σ??(σ?1)f???。

求解过程如下：

w*L*?τp?q=??P*?P*?X?σ，其中外国的价格指数

。把n=Lf、n*=Lf、p=σw和w*=1σ?1?P*=(n(τp)1?σ+n*p1?σ)1

1?σ

带入P*的表达式并求出qX，最后再把n、p和qX的表达式带入 11

X=n?τ?p?qX的表达式。

类似地，可以求出外国出口到本国的价值总额X*=n*?τ?p*?(qX)*为：

X*=n*?τ?p*?(qX)*=λLL*(τ)1?σw。 1?σ1?σ?+λ?*τLwL??

贸易平衡意味着X= X*，即：

w2?2σ1?σ??τ??1?σ?L+L*???=L(τw)+L*。 ?w?????

可以证明，当L>L*时w>1。即一个国家规模越大，则这个国家的工资越高。如果允许劳动自由流动，那么劳动都会向大国集聚——这就是Krugman开创的新经济地理理论要进一步研究的问题。我们后面还会介绍相关模型。

6、市场规模效应

如果某个国家对某种产品的需求量特别大，这个国家会进口这种产品呢还是出口这种产品呢？对这个问题可能有两种答案：这个国家对这种产品的需求量很大，以致于本国产出无法满足需求，这个国家就要进口这种产品；这个国家对这种产品的需求量很大，高需求培育了一个发达的产业，不仅能满足本国的需求，还会大量出口。Krugman（1980）认为，后一种答案正确，这就是他提出的市场规模效应（Home Market Effect）。

市场规模效应的含义是：规模报酬递增的产业会集中在市场 12

规模较大的国家，厂商在这个规模较大的国家生产然后出口到其他国家。

前面已经讲过，国家间的工资是不同的，一个国家规模越大，则这个国家的工资越高。但是为了得到市场规模效应，我们需要让各国的工资都相同。所以我们要把上面介绍的模型做一个改造，改造的方法就是引入一个计价商品（numeraire）。

引入计价商品是国际贸易模型中常见的做法。计价商品的含义就是把所有其他商品的都用计价商品的价格来表示，或者说把计价商品当作货币，让计价商品的价格等于1。

这样整个经济中就有了两种商品，一种是无差异的计价商品q0，另一种是差异商品。差异商品就是我们上面研究的这种商品，有很多种变体，其生产具有规模报酬递增的特点。假定计价商品和差异商品以CD效用函数的形式组合成消费者的效用函数，即：

U=(q01?μ)(σ?1)?q(ω)dω??∫ω∈Ω?σμ(σ?1)。

其中μ表示总支出中用于差异商品的比例，1-μ表示总支出中用于计价商品的比例。这样消费者对变体ω的需求函数变为：

q(ω)=μwL?p(ω)???P?P??σ。

假定计价商品所处的市场环境是完全竞争的，假定生产1单位q0需要1单位的劳动。这就意味着工资是1。还要假定q0在国家间自由贸易的，这样世界上所有国家的工资都是1。

引入计价商品的最重要的作用就是使所有国家工资相同。Davis（1998）证明，必须存在这样一个计价商品才能得到市场 13

规模效应。

下面我们来看怎样得到市场规模效应。

本国差异商品的总产出是：

?p?σ

nq=nμL?1?σ1?σ?np+n*(τp)???(τp)?στnLμ*+??n(τp)1?σ+n*p1?σ?； ???外国差异商品的总产出是：

?(τp)?στn*q=n*μL?1?σ1?σ?np+n*(τp)???p?σ*μ*nL+??n(τp)1?σ+n*p1?σ?。 ???

下面我们对参数做一个假定：令?=(σ?1)从而价格p=1。这样上面两个等式变为：

Lτ1?σL*=+； μn+n*τ1?σnτ1?σ+n*q

τ1?σLτ1?σL*=+1?σ。 1?σμn+n*τnτ+n*q

由这两个方程可以得到n和n*的解是（有三种可能）： τ1?σL≤当L+L*1+τ1?σ时，n=0，n*=μ(L+L*)q； μ(L?τ1?σL*)μ(L*?τ1?σL)τ1?σL1当<<时，n= ，n*=。 1?σ1?σ1?σ1?σ1+τL+L*1+τq1?τq1?τ为了方便，我们令sn=nL，sL=，也就是说sn表示本n+n*L+L*

国差异商品产量占世界总产量的比例，sL表示本国人口占世界总

人口的比例。这样n和n*的解可以写成：

14

?τ1?σ

?0 当sL≤1+τ1?σ?1?σ1?σ?1τ1?σ?sL(1+τ)?τsn=?s≤≤当L1?σ1?σ111+τ1?σττ?+?1?1s 当≥L?1+τ1?σ?? τ1?σ可见，如果两国市场规模差异很大（当sL≤时或者1+τ1?σ

sL≥1

1+τ1?σ时），差异商品将全部在市场规模大的国家生产，市场

规模小的国家将不生产差异商品。如果两国市场规模差异不是很τ1?σ1≤s≤时），两国都会生产差异商品，但是市场大（当L1+τ1?σ1+τ1?σ

规模相对较大的国家生产更多差异商品，市场规模相对较大的国家生产的差异商品占世界差异商品总产出的比例要大于该国人口占世界总人口的比例。

如下图所示，线段AB表示两国都生产差异产品。AB的斜率要大于45°直线，说明市场规模相对较大的国家生产的差异商品占世界差异商品总产出的比例要大于该国人口占世界总人口的比例。

15

1+τ

21+τ1?σ

市场规模效应

运输成本τ的降低会使市场规模效应更加明显：当τ很小时（如τ趋近于1时），国家规模的微小差异也会导致差异商品完全集中在市场规模稍微大一点的那个国家。其经济意义也很容易理解：如果运输成本很高，进口差异产品的价格就很高市场，规模小国家就不得不多生产一些差异产品；如果运输成本很低，差异产品就可以集中在市场规模大的国家生产，然后运出口到市场规模小的国家即可。

由于工资是1，所以人口多的国家收入也就多，从而对差异产品的需求更大。所以市场规模效应也可以理解为：一个国家对某种产品的需求越大，则这个国家就更有可能出口这种产品。 16

Krugman（1979，Journal of International Economics）

1、消费者行为

假定一个经济体共有L个相同的消费者，每个消费者的效用函数是：

U=∑ω=1v(qc(ω))。也就是说在这个经济体中一共有N1种商品，

这种商品有N种变体。qc(ω)表示每个消费者对变体ω的消费量。当然我们也可以把效用函数写成U=∫ω∈Ωv(qc(ω))dω，其中集合?中

包含N种变体，或者写成U=∫0Nv(qc(ω))dω。

假定v′(?)>0，v′′(?)<0，v(0)=0。v′(?)>0意味着消费者的效用随着每种变体消费量的增加而增加。v′′(?)<0意味着效用增加的速度越来越慢，即边际效用是递减的。

在预算约束条件下最大化每个消费者的效用：

?maxc∑Nv(qc(ω))q(ω)?ω=1 ?Nct ∑ω=1p(ω)q(ω)=E??s..

可以得到每个消费者效用最大化的一阶条件是： v′(qc(ω))=λp(ω)。

其中λ是拉格朗日乘数，也就是收入的边际效用。一般情况下，λ并不是一个常数，而是取决于qc(ω)。但是如果N很大，即 17

每个消费者所消费的变体数目很多时，每种变体的消费量对收入的边际效用的影响可以忽略，所以我们把λ看成一个常数，且收入的边际效用λ很明显大于0。

由效用最大化的一阶条件可以得到每个消费者的对变体ω的需求函数。很明显，需求是价格的减函数，且需求的价格弹性e(ω)是大于0的。证明如下：

把效用最大化的一阶条件对qc(ω)求导可得：v′′(qc(ω))dqc(ω)=λdp(ω)，即：dqc(ω)(ω)=λv′′(qc(ω))。因为v′′(?)<0，所以dqc(ω)dp(ω)<0，即需求是价格的减函数。

v′(qc(ω))dqc(ω)p(ω)=?c>0，所以需求的价格弹性e(ω)=?cdp(ω)qc(ω)′′q(ω)vq(ω)e(ω)

是大于0的。

需要注意的是，在本模型中需求的价格弹性不再是常数，而是由需求量决定。我们把需求的价格弹性写成e(qc(ω))。

还可以证明，消费者所消费的变体数目越多则效用越大。证明如下：假定每种变体的价格都相同，我们用p来表示变体价格。我们用qc来表示消费者对每种变体的消费量，qc=E/Np。这样效用函数变为：U=Nv(qc)=Nv(ENp)。对N求导可得：dUdN=v(ENp)?(ENp)v′(ENp)=v(qc)?qcv′(qc)。为了证明v(qc)?qcv′(qc)>0，我们令G(qc)=v(qc)?qcv′(qc)。因为G′(qc)=?qcv′′(qc)>0且G(0)=0，所以G(qc)=v(qc)?qcv′(qc)>0。也就是说dU/dN>0。

18

2、生产者行为

假定只有一种生产要素：劳动。变体ω的生产者对劳动的需求是：

l(q(ω))=f+q(ω)

?。q(ω)表示变体ω生产者的产量。均衡时每

个消费者的需求量乘以消费者总数N就是总产量，所以q(ω)=Lqc(ω)。这样变体ω的生产者的总成本函数、边际成本函数和平均成本函数分别是：

TC(q(ω))=wf+wq(ω)

?；MC(q(ω))=；AC(q(ω))=?wwfw+。 q(ω)?

由于消费者对每种变体的需求函数都是一样的，每种变体的成本函数都是一样的，所以均衡时每种变体的产量和价格也是一样的，这样我们就把每个变量后面括号里的ω去掉而不会引起混淆。我们用q表示每种变体的产量，用qc表示每个消费者对该变体的需求量，用p表示每种变体的价格。

根据厂商的定价原则MR=MC可得：

?1?wp1e(qc)=，即=p?1?。 cc?we(q)1ω??e(q)??建立一个横轴为qc、纵轴为p/w的坐标轴，这样厂商的定价原则就是可以表示成坐标轴内的一条曲线，Krugman把这条曲线叫做PP线。可以证明：当e′(qc)<0时，PP线的斜率是正数；当e′(qc)>0时，PP线的斜率是负数；当e′(qc)=0时，PP线的斜率为0。

证明过程：

19

e(qc)p1e(qc)p1

令η(q)=c，则=变为=(qc)。把η(qc)对c

w?e(q)?1w?e(q)?1

qc

求导得：η′(q)=

c

?e′(qc)

(e(q)?1)

c

2

。所以当e′(qc)<0时，η′(qc)>0，PP线的

斜率是正数；当e′(qc)>0时，η′(qc)<0，PP线的斜率是负数；当

e′(qc)=0时，η′(qc)=0，PP

线的斜率为0。

我们只考虑e′(qc)<0和e′(qc)=0的情况，即PP线向右上方倾斜时和PP线是水平线时。见下图。

?p???=?w?0 c

a. e′(q)<0时

c

q

c

1b. e′(q)=0时

c

q

封闭经济和开放经济时的均衡

厂商的利润函数是：

π=pq?w?f+?。

???

?

q?

因为厂商所处的是垄断竞争市场，所以厂商的利润π=0。由π=0可得：

pf1

=+wq?

。

pw

f1+Lqc?

因为q=Lqc，所以我们把它写成=

。在横轴为qc、纵

20

轴为p/w的坐标轴内，这是一条斜率为负的曲线。Krugman把这条曲线叫做ZZ线。

3、封闭经济时的均衡

厂商利润最大化决定的PP曲线=

决定的ZZ曲线=p

wf1+Lqc?pw1e(q)和厂商利润为?e(q)?10相交就决定了封闭经济均衡时p/w值和

每个人的消费量qc，也可以得到每个厂商的产量q，因为q=Lqc。

同时厂商的数量也可以求出：

???q(ω)?q?Lqc?1，所以=+=+L=∑ω=1?f+NfNfN=???fqc???????????+L?N。

4、开放经济时的均衡

假定存在另一个国家，这个国家和本国是一样的。假定不存在贸易成本。贸易对本国的影响相当于本国人口增加了一倍。开放贸易后本国的PP曲线没有变化，而ZZ曲线变为：

pf1=+w2Lqc?。

反映在坐标轴上就是开放贸易后ZZ线向左下方移动。这对本国经济有什么影响？这取决于需求的价格弹性e(qc)。我们分两种情况来讨论：

21

当e′(qc)<0时（见图1a），贸易对消费者的影响是：

（1）商品的价格（相对于工资）变低了。从图1（a）可以p??p?看出，商品价格从封闭经济时的?降低到开放经济时的????。?w?0?w?1

很明显这提升了消费者福利。

（2）消费的变体数目增加了。因为2L>L而且(qc)0<(qc)1，所以开放经济下每个消费者所消费的变体数目N1=1

f+2L?qc要比0

封闭经济时每个消费者消费的变体数目N0=1

fq1+?Lc多。根据前

面的分析，消费者所消费的变体数目增加会使效用提升。

当e′(qc)<0时贸易对生产者的影响是：

（1）由厂商的零利润条件=+可知，开放经济时的下?pwfq1pw

降意味着q的增加。也就是说开放经济后每个厂商的产量增加了。

（2）由于L=N?f+?，所以每个厂商的产量q增加意味着????q?

本国厂商数目N变少了。需要注意的是，尽管本国厂商数目N变小了，也就是本国生产的变体数目减少了，这与本国的每个消费者所消费的变体数目增加并不矛盾，因为开放贸易后本国消费者还消费了进口的变体。

当e′(qc)=0时（见图1b），开放贸易后每个消费者所消费的变体数目仍然增加了，但是商品的价格（相对于工资）并没有变化。 22

当e′(qc)=0时，开放贸易后生产者情况没有变化。这与前面讨论的Krugman（1980）模型是一致的。在Krugman（1980）模型中，需求的价格弹性与消费量q没有关系，是一个常数，所以贸易提升福利的唯一途径是消费者所消费的变体数目增加了。

5、练习题

（1）消费者的效用函数是：U=(∑i=1nvciβ)β。n表示变体的数n1

目，ci表示变体i的消费量，β和v为参数。当v的取值是什么

时消费者效用不随n的变化而变化（在收入和价格不变的前提下）？

答案：

假定每种变体的价格是相同的，则每种变体的消费量是：c=E/np。把c的表达式带入到效用函数可得：

β1

?nv?E?U=?∑i=1n????np???βE1+v?β消费者效用不随?=nβ。p??n的变化而变化要求1+v?β

β=0，即v=β?1。

（2）消费者的效用函数是：

?nU=?∑i=1ci?σσ?1σ?1σ???，σ>1。前面我们讲过，当变体很多时，我们

可以认为每种变体的价格对价格指数的影响可以忽略，从而消费者需求的价格弹性为σ。现在假定：变体不是很多，从而每种变 23

体的价格对价格指数的影响不可以忽略。

（a）此时消费者需求的价格弹性e(pi,n)是什么？ （b）证明lime(pi,n)=σ。 n→∞

（c）假定存在一个政府，政府的目标是最大化所有消费者效用的总和，即：

?nL?∑i=1ci?

σ

σ?1σ?1σ

???

。政府面临的约束是：总人口是L；生产需要固

定成本是α单位的劳动，边际成本β的劳动。请问政府决定的每种变体的消费量和变体数目是多少？

答案：

（a）前面已经求出消费者对变体i的需求函数的表达式是：

ci=Yp

?σ

i

(∑

ni=1

p

1?σi

)

n

?1

。

对pi求导可得：

?ci

=?σYpi?σ?1?pi

(∑

pi=1

1?σi

)

?1

+(?1)Yp

?σi

(∑

pi=1

n

1?σi

)

?2

(1?σ)pi?σ，

所以需求的价格弹性是：

e(pi,n)

?cipi

=??pici

?σYp

?σi

=

?

(∑

ni=1

pi=1

n

1?σi

)

?1

+(?1)Yp

?σi

1?σi

Yp

∑

ni=1

(∑p1?σi

pi=1

n

1?σi

)

?2

(1?σ)pi?σ

?1

=σ+(1?σ)

pi1?σ

∑

p

1?σi

。

（b）当n→∞时需求的价格弹性e(pi,n)表达式中的第二项变成0，所以需求价格弹性为σ。

（c）假定每种变体的消费量都是相同的这样效用函数变为：

24

?L?nc?σ?1σ???σσ?1。 ?

?σ?1σ令F=L?nc???σσ?1+λ[L?n(α+βLc)]，一阶条件是：

???

???σ1σ?1σ?1σσ??F=L?ncσ?1??nσ?1??F=L?ncσ??cσ?1σc?λ(α+βLc)=0σ?1σσ1σ?11σ?1?σnc?NβLc=0 σ

?F=L?n(α+βLc)=0?λ

由此可得：

Lcλ(α+βLc)α(σ?1)=c=。把L=N(α+βLc)带入可得1?LβNβLcσ?1Lncσ?1σ。

σ

把c的表达式再次带入L=N(α+βLc)可得n=L

ασ。

可见，在Dixit-Stiglitz效用函数假定下，有一个中央计划者决策和由处于垄断竞争市场的分散厂商决策，得到的结果是一样的。

25

Melitz（2003，Econometrica）

1、消费者行为

消费者的效用函数是：

U=?∫q(ω)ρdω??ω∈Ω?ρ，其中0<ρ<1。

?是消费者所消费的的变体的集合。ω是集合中的一个变体。集合?中变体的数目我们用M来表示，M是一个内生变量，后面我们会求出M的表达式。我们可以把这个模型的研究对象是一种商品（比如汽车），这种商品有很多种变体（比如各种品牌的汽车）。前面介绍Krugman（1980）模型时已经讲过这种CES效用函数的性质：ρ表示消费者偏好变体多样化的程度；σ=(1?ρ)>1表示变体之间的替代弹性，也是需求的价格弹性；消费者所消费的变体数目越多，消费者的福利越大。 由于σ=(1?ρ)，所以该效用函数也可以写成：

σσ?1)U=?∫q(ω)(σ?1)dω??ω∈Ω?。

消费者面临的预算约束是：

∫ω∈Ωp(ω)q(ω)dω=R。

R为消费者的收入。在预算约束条件下最大化代表性消费者的效用函数，可以得到消费者对变体ω的需求函数：

R?p(ω)?q(ω)=??P?P??σ。

26

其中，价格指数P的表达式是：

P=?∫p(ω)1?σdω??ω∈Ω?(1?σ)。

2、生产者行为

（1）企业利润最大化条件

假定该商品所在的市场结构为垄断竞争市场。每个厂商只生产一种变体，而且这种变体与其他厂商生产的变体是不同的。这样经济体中所生产的变体数目和厂商的数目是相等的。我们把唯一的生产要素劳动作为计价商品，所以工资为1。生产的固定成本是f，边际成本是1/φ。需要注意的是，φ是一个随机变量，也就是说，不同的企业的边际成本是不同的，φ越大，意味着这个企业的边际成本越小，从而生产率越高。

这样，我们可以把企业总成本表示为φ的函数：

TC(?)=wf+wq(?)

?=f+q(?)

?。

在垄断竞争条件下，根据企业的定价原则（MR=MC）可知，产品的价格是：

p(?)=σ1。 σ?1?

还可以得到消费者的需求量q(φ)、企业的销售收入r(φ)和企业的利润π(φ)：

?σ?1?q(?)=RPσ?1????σ?σ；

27

σ?1??r(?)=p(?)q(?)=R?P?σ???

r(?)σ?1； ?fR?σ?1?π(?)=?f=?P?σσ?σ??σ?1。

由销售收入r(φ)的表达式很容易推出一个等式：r(?1)r(?2)=(?12)σ?1。这个等式在后面我们会多次用到。

（2）关于企业进出行业的假设

假定企业在进入该行业之前并不知道自己的生产率φ，企业必须投入沉没成本fe以后才知道自己的生产率φ。

可以这样理解：企业只有开始投资生产了，才知道自己的生产率有多高，而要投资生产，必须先付出fe的沉没成本。知道自己的生产率后，企业可能发现无利可图，想退出该行业，也可能发现有利可图，会继续生产，但是不管退出还是继续生产，企业的沉没成本fe已经无法收回。

付出fe的沉没成本后，企业就知道了自己的生产率φ。φ是随机变量，假定φ的分布函数是G(φ)，密度函数是g(φ)。知道自己的生产率φ以后，企业可以立刻退出，也可以继续生产。如果企业继续生产的话，在以后每期都面临退出的风险，在每期都以δ的概率退出行业。

企业是否继续生产呢？这取决于企业的预期利润的大小，如果预期利润大于零，那么企业就会继续生产，否则就会退出该行业。我们把预期利润的表达式写出来：

υ(?)=max0,∑t=0(1?δ)tπ(?)=max?0,

28{∞}?π(?)??。 δ??

知道自己的生产率后，只有发现自己的υ(?)>0时，该企业才会继续生产。我们定义??=inf{?:υ(?)>0}，也就是说，当企业付出沉没成本从而知道自己的生产率后，如果发现生产率大于??，企业会选择继续生产；如果发现生产率小于??，企业会退出。由??的定义可以看出π(??)=0。

3、行业内所有企业的平均生产率

下面我们定义行业内所有企业（当然不包括退出的那些企

~，并且把?~表示成??的函数，从而方便我们业）的平均生产率?

后面的推导。

~的表达式是： 我们定义行业内所有企业的平均生产率?

∞?=?∫?σ?1μ(?)d????0???(σ?1)，

其中μ(?)是行业内所有企业（不包括退出的企业）的生产率的密度函数，

?g(?)如果?>?*?μ(?)=?1?G(?*)。 ?0 如果?≤?*?

~叫做平均生产率呢？我们可以这样理解： 为什么可以把?

~，使得下面的式子成立： 如果存在一个?

P1?σ?σ1?=??σ?1?????1?σM，

~看作是平均意义上的生产率。由于那么我们可以把?

29

p(?)=σ1

σ?1?

1?σ，所以我们可以把??1?σ?σ1??看成平均意义上的价格。 ??σ?1??由P?σ1?=??σ?1?????M?＝可得?σP?1M?σ)，然后代入价格指数σ－1

∞?的表达式P=?∫0p(?)1?σMμ(?)d?????(σ?1)可得：

(σ?1)

∞=?∫?σ?1μ(?)d?????0?σ?1)1?σ??∞?σ1?σ(1?σ)?=?M?∫??Mμ(?)d??0σ?1????σ?1???。

~的理解。 以上就是对平均生产率?

~的表达式，可以把?~表示成φ*的函把μ(?)的表达式带入到?

数：

∞??1σ?1?(?*)=?g()d?????∫?1?G(?*)?*?σ?1)。

4、封闭经济条件下的均衡 ~对应的利润水平，可以求出的我们定义为平均生产率?

表达式：

σ?1?????(?*)??=π(?)=?f=f????1?。 σ?*???????)r(?

推导过程如下：

?)r(?*)=(??*)r(?σ?1σ?1?)=(??*)σf。然后带入到的，所以r(?

?)=r(??)?f即可得到。 表达式π(?

这就是Melitz所说的零利润临界（ZCP, Zero Cutoff Profit）条件。它表示的是那些决定继续生产的厂商的平均利润水平，而 30

且这个利润水平是用零利润时的生产率水平φ*表示的。只有生产率大于φ*的厂商才会继续生产，所以φ*是一个临界值，所以这个条件叫做零利润临界条件。

ZCP讨论的问题是这样的：假定一个厂商已经付出沉没成本从而进入了这个行业，它是不是继续生产？如果继续生产获得的平均利润是多少？现在我们考虑另一个问题：一个厂商会不会投入沉没成本以这个行业呢？这取决于预期的利润能不能抵消沉没成本fe。所以当下面等式成立时企业不再进入：

∫∞

0v(?)g(?)d?=fe。

∞这就是自由进入（FE, Free Entry）条件。如果∫0v(?)g(?)d?>fe，

会有厂商选择进入这个行业；如果∫0v(?)g(?)d?<fe，会有厂商退

出这个行业。∫0v(?)g(?)d?=fe就达到了均衡状态。

FE条件可以化简成=δfe，推导过程如下： 1?G(?*)

1∞∞∞∫

=1∞0v(?)g(?)d?=∫∞1?*δ(?)g(?)d?=[1?G(?*)]∫π(?)μ(?)d??*δ

δ[1?G(?*)]。

我们可以把ZCP和FE两条曲线画在横轴为φ、纵轴为的坐标轴上。由于G′(?*)>0，所以FE为增函数。Melitz证明，对于常见的分布函数，ZCP曲线都是减函数，而且FE和ZCP只有一个交点，这就决定了封闭经济情况下均衡时的φ*和。 31

ππδf_

图1 封闭经济条件下的均衡

5、封闭经济条件下均衡时的厂商数量和消费者效用 下面求封闭经济条件下均衡时厂商数量M：

由=?)r(?于σ?=P?1M(1?σ)?σ?1σ?11，所以R?σ?1???f=?P?σσ?σ???f=R?fσM，又因为总支出R等于总收

L。 σ(+f)入L（总收入等于人口总数乘以工资1），所以M=

均衡时效用函数可以写成：

ρ?∞?????Lσ(ρ?)?μ(?)dω?U=?∫q(ω)dω?=?∫?σ?1?*M(ρ??)????ω∈Ω????

1

σ?11σ?1ρρ =M1(σ?1)Lρ?∞σ?1MρL?σ1?。

?=LMσ?1ρ?=??μ(?)d??σ?1?∫?*?σ1??????)(ρ?σ

32

可见，melitz模型中封闭经济条件下均衡的效用水平等于

~时Krugman（1980）模型中封闭经济条件下所有企业的生产率为?

的效用水平。

6、开放经济

假定企业向外国出口时要克服两种成本：冰山成本（τ）和出口的固定成本fx。假定每个国家都是一样的。企业在国内的销售收入rd(φ)仍然是：

σ?1??rd(?)=p(?)qd(?)=R?P?σ???σ?1；

企业出口到另一个国家的销售收入rx(φ)是：

σ?1??rx(?)=p(?)qx(?)=τ1?σR?P?σ???σ?1。

假定一共有n+1个国家。这样开放经济条件下企业的销售收入是：

??rd(?) 如果企业不出口 r(?)=?。 1?σ??(1+nτ)rd(?) 如果企业出口

企业出口到另一个国家获得的利润是：

πx(?)=rx(?)

στ1?σrd(?)?fx=?fx。 σ

开放经济下条件下企业每一期利润（包括国内市场和国外市场）是：

π(?)=πd(?)+max{0,nπx(?)}。 与封闭经济条件下一样，企业期望利润是υ(?)=max??0, 33π(?)? ?。δ??

在开放经济条件下，一个企业在付出fe的沉没成本后，会不会继续生产呢？与封闭经济条件下一样，这取决于预期利润是不是大于0。我们定义：?*=inf{?:v(?)>0}。也就是说，在开放经济条件下也存在一个临界值?*，只有当企业的生产率大于?*时，企业才会继续生产。由?*的定义可知，π(?*)=0。

同时我们再定义另一个临界值?x*：

?x*=inf{?:?≥?*且πx(?)>0}

?x*的含义是：当企业发现自己的生产率大于?x*时，企业不仅会继续生产，还会像其他国家出口。由?x*的定义可知，πx(?x*)=0。

需要注意的是，我们假定τσ?1fx>f，这样就可以保证?x*>?*。只有?x*>?*时模型才能产生我们想要的结论：生产率高的厂商既在本国市场销售也出口，生产率低的厂商只在本国市场销售而不出口。

下面证明为什么τσ?1fx>f保证?x*>?*：

π(?*)=0和πx(?x*)=0分别可以推出rd(?*)

στ1?σrd(?x*)=f和=fx。σ

两个等式相除并利用等式r(?1)r(?2)=(?12)σ?1就可以得到

?x*=?*τ??fx???f?1(σ?1)。所以当τσ?1fx>f时?x*>?*成立。

这样，在开放经济下，企业付出fe的沉没成本，从而知道自己的生产率以后，它会面临三种可能：当它发现自己的生产率小于φ*时，企业会退出该行业；当它发现自己的生产率大于φ*但 34

是小于φx*时，它会继续生产，同时产品只在国内销售；当它发现自己的生产率大于φx*时，它会继续生产，生产的产品不仅在国内销售，也出口到其他n个国家。

7、开放经济条件下的ZCP和FE条件

用px表示一个企业的生产率大于φx*的概率，则： *px=?1G(?)??x??1?G(?*)]。

~≡?~(?*)表示所有出口企业的平均生产率，用π(?~)表示用?xxxx

出口带来的平均利润，我们可以写出开放条件下企业的平均利润是：

?)+pxnπx(??x)= =πd(?σ?1σ?1?????????x(?*)??(?*)?f????1?。 ??1?+pxnfx??*?(?*)????????*????x?

这就是开放经济下的ZCP条件。

因为开放经济条件下企业的期望利润υ(?)与封闭条件下相同，所以在开放经济下，FE表达式与封闭经济时一样：

=δfe。 1?G(?*)

我们把封闭经济条件和开放经济条件下的ZCP条件和FE条

表示封闭经济条件下的均衡，（?*）件画在图1中。（?a*a）

表示开放经济条件下的均衡。开放经济时ZCP向右上方移动而FE不变，导致均衡的?*增加。

35

πππδf__

图2 封闭经济与开放经济下的均衡对比

开放经济下均衡的国内厂商数量也可以求出：

=∫r(?)μ(?)d?=σ(+f+pxnfx)，所以M=0∞RL=。 σ(+f+pxnfx)

Mt=(1+npx)M则是在本国销售产品的所有的厂商数量。

8、贸易的影响

~>?~，所以平均生产率提高了，生产率大（1）?*>?a*，?a

于?a*但是小于?*的企业在开放经济时退出市场。也可以从另一个角度来看：

（2）由于>a，所以M<Ma。但是melitz证明，只要τ不是很大，Mt=(1+npx)M>Ma成立，也就是说：消费者消费的国内

产品的数目减少了，但是考虑到进口了很多种外国的产品，所以

36

消费者消费的变体数目增加了，从而提升了福利。即使τ很大，

melitz也证明，消费者总体福利也是提升了。 从而Mt>Ma不成立，

（3）melitz证明，rd(?)<ra(?)<rd(?)+nrx(?)对于所有的?>?*都成立，所以开放经济后，企业在本国市场上的销售收入减少了，但是考虑到出口到其他国家，所以企业总的销售收入增加了。

9、练习

求证：当1/φ为一条水平线： ??b??答案：?(?*)=???????*??k?b?服从帕累托分布时，即G(?)=1??????k时，ZCP∫??*∞σ?1??b?kb??d???????

σ?11

σ?1k?11(σ?1) =?k(?*)k∫?σ?kd?????*??∞1(σ?1)=?k(?*)????+σk1??。 ，是一个常数。 σ?1?????(?*)?fk?)=f??所以π(??=?f1???+k?σ*1??????

37

Melitz and Ottaviano（2008，Review of Economic Studies）

在Melitz（2003）的模型中，不同生产率的厂商会选择不同的策略：低效率厂商会退出行业，较高效率的厂商只会在国内市场销售产品，而最高效率的厂商既在国内销售产品，也出口产品到国外市场。贸易导致低效率的厂商退出行业，从而提高了行业内厂商的平均生产率。同时，贸易使消费者可选择的商品变体数目增加。这都提升了整个社会的福利水平。下面要介绍的Melitz and Ottaviano（2008）模型也具有这样的特点。

贸易会不会使得厂商之间的竞争更加激烈？在Melitz（2003）的模型中，由于效用函数是CES效用函数，所以需求的价格弹性是个常数，从而反映市场竞争激烈程度的指标成本加成（p?MC

p=）是个常数。这使得Melitz（2003）模型无法回σ1

答这个问题。而Melitz and Ottaviano（2008）模型能回答这个问题。下面来看Melitz and Ottaviano（2008）模型的细节。

1、消费者行为

（1）效用函数和对应的需求函数

代表性消费者的效用函数是：

38

211cU=q+α∫qdi?γ∫(qi)di?i∈Ω2i∈Ω2c

0ci(∫i∈Ωqdici)。 2

?是消费者所消费的的变体的集合。i是集合中的一个变体。集合?中变体的数目我们用N来表示，N是一个内生变量，后面我们会求出N的表达式。q0c表示代表性消费者对计价商品

（numeraire good）的消费量，qic表示代表性消费者对差异商品

的第i个变体的消费量。前面我们是把它写成qc(ω)的，之所以写成qc(ω)是因为介绍Melitz（2003）模型时那样写比较方便。在本模型中我们写成qic。?表示所有可能存在的变体的集合。也就是

说，在这个模型中一共有两种商品，一种是计价商品，一种是差异商品（比如汽车），这种差异产品有很多变体（即各种不同品牌的汽车）。参数α、γ和η都是正数。该效用函数是Ottaviano, Tabuchi and Thisse（2002）第一次提出的。

由该效用函数推导出的代表性消费者对变体i的需求函数是：

pi=α?γqic?ηQc，其中Qc=∫i∈Ωqicdi，Qc表示对所有变体消费量

之和。

（2）各参数的经济意义

γ表示差异商品的各个变体之间差异的程度。如果γ=0，则pi=α?ηQc，此时各种变体之间是完全替代的，即消费者只关心差异商品的总数量Qc。γ越大，各变体之间的差异越大。

α和η表示相对于计价产品代表性消费者对差异商品的偏好程度。α越大或者η越小，表明代表性消费者越偏好差异产品。 39

（3）厂商面临的所有消费者的总需求

上面求出的是一个代表性消费者对某一种变体的需求。为了下文使用方便，下面我们求出所有消费者对某种一变体的总需求。假定这个经济体中人口总数是L，这样所有消费者对某种一变体的总需求qi=Lqic。把代表性消费者对某一种变体的需求函数

pi=α?γqic?ηQc写成qic=(α?p?ηQ)，然后等式两边同乘以人口γc

i1

数L可得到所有消费者的对某种变体的总需求qi=Lqic=(α?p?ηQ)。 γc

iL

下面我们把总需求再表示成写成另一种形式。

把代表性消费者的需求函数pi=α?γqic?ηQc写成qic=即把代表性消费者对所有变(α?p?ηQ)后等式两边求积分，γc

i1

体的需求量加起来：∫i∈Ωqicdi=

Qc=N(α?1。≡γ+ηNNαN11?∫pidi?NηQc，然后化简得到γγi∈Ωγ∫i∈Ωpidi为N种变体的平均价格。

qi的表达式把Qc的表达式带入到总需求

qi=Lqic=Lc

iα?p?ηQ)就可得到所有消费者对某种变体的总需求：(γ

?Lpi+qi=αL

ηN+γηNLγηN+γγ。 这就是总需求的另一种形式，它qi=α?p?ηQ)是一样的，(γc

iL

两种形式的总需求函数在后面的推导中都会用到。

40

很明显，qi要大于0才有经济意义。要保证qi=αL

ηN+γ?L

γpi+ηNL

ηN+γγ大于0，价格pi需要满足：

pi≤1(αγ+η)。也就是说，厂商不能把价格定的太高，否则ηN+γ

市场需求就会变成0。这个表达式在后面我们还会遇到，在后面这个表达式的含义是：如果一个厂商的边际成本大于这个最高价格，那么这个厂商就不得不退出市场。

由需求函数qi=

?dqipi

dpiqi

?α?p?ηQ)可以求出需求的价格弹性(γciL为 dqipi

dpiqi=pi1= cα?pi?ηQ(cD/pi)?1

（4）间接效用函数

为了衡量消费者的福利变化，我们求出代表性消费者的间接效用函数是：

1γ1N2U=Ic+(η+?1(α?2+σp， 2N2γ

其中，Ic1表示消费者的收入，σ≡N2

p∫(p?)di表示N种变i∈Ω*i2

体的价格的方差。很明显，代表性消费者所消费的变体的数目N越大时，或者N种变体的平均价格越低时，消费者的福利越大。

41

2、生产者行为

假定计价商品所处的市场环境是完全竞争市场。假定生产一单位计价商品需要一个单位的劳动力，由于计价商品的价格是1，所以劳动力工资是1。

企业首先付出沉没成本fE，然后才能知道自己的边际成本c（也就是c个单位的劳动力）。c是一个随机变量，其分布函数是G(c)，定义域是[0,cM]。c可以衡量一个厂商的生产率，c越低，表明这个厂商的生产率越高。与Melitz（2003）的模型一样，企业付出沉没成本后根据自己的边际成本决定继续生产或者退出行业。与Melitz（2003）的模型不同的是，在本模型中，企业知道自己的边际成本后，如果决定继续生产的话，不需要固定成本。

（1）利润最大化条件

假如企业决定继续生产的话，企业的利润是：

??γ??π=??α?ηQc?q(c)??c?q(c)。 L????

利润最大化的一阶条件是：

q(c)=L(α?ηQc?c)。 2γ

我们定义cD≡α?ηQc，只有当企业的边际成本c<cD时，企业才会生产。由于Qc=N(α?，可知γ+ηNcD也等于1(αγ+η，也ηN+γ

就是上文所说的企业所能收取的最高价格。为了使下面的分析能够进行，需要假定cD在c的定义域中，即cD∈(0,cM]。 42

（2）其他变量与临界值cD的关系

我们把产量q(c)、价格p(c)、价格与成本之差μ(c)、销售收入r(c)和利润π(c)都表示成临界值cD的函数：

q(c)=L(cD?c)； 2γ

1p(c)=(cD+c)； 2

1μ(c)=p(c)?c=(cD?c)； 2

r(c)=p(c)q(c)=L[(cD)2?c2]； 4γ

L(cD?c)2。 4γπ(c)=r(c)?q(c)c=

可以看出，生产率越高的企业（即c越低的企业），其产品的定价就越低，价格与成本之差就越高，产量、销售收入和利润就越多。因为在本模型中μ(c)=p(c)?c类似于成本加成，所以我们把μ(c)看成是反映厂商之间竞争激烈程度的一个指标。

（3）企业自由进入与封闭经济条件下的均衡

如果进入市场有利可图，企业就会不断进入。什么情况下企业不再进入该行业呢？如果企业知道进入该行业后获得的期望利润与沉没成本fE相同时，企业就不再进入。即满足下面条件时企业不再进入该行业：

∫cD

0π(c)dG(c)?fE=0。

当该条件满足时，行业内厂商的数量也就达到了均衡，我们可以求出均衡时厂商的数量N，过程如下：

43

由p(c)=(cD+c)可以求出所有存活下来的厂商的价格的平均注意是存活下来的厂商而不是所有厂商的价格的平均值，值。

因为退出的厂商没有生产产品也就没有价格。

=

CD1CD?111?1

()()c+cdGc=把+ccdGc()?=(cD+。?DD∫∫002G(cD)G(cD)2??2

12

带入到cD的表达式即N=

2γα?cDηcD?11

(αγ+η可得cD＝

ηN+γηN+γ

ηN??

αγ(cD+?，＋?

2??

。这就是封闭经济条件下均衡的厂商数量。

（4）一种特殊情况——1/c服从帕累托分布

为了计算方便，假定边际成本的倒数1/c服从帕累托分布，即：

?c?

G(c)=??,c∈[0,cM],k≥1。 c?M?

k

和前面的不一样，但是反映的内容是一样的。

这样可以比较容易地求出封闭经济条件下均衡时cD和厂商数量。过程如下：

当1/c服从帕累托分布时，企业自由进入条件

∫

cD

π(c)dG(c)?fE=0式变成：

k+2

∫

k

cD

Lk

(cD?c)2

cM4γ

?c???c?M?

k?1

dc=fE

，即

(cD)

k

?

2(cD)

k+1

k+2

+

(cD)

k+2

k+2

=

4γfE(cM)

kL

，即

?γφ?cD=??

?L?

1k+2

，其中

φ=2(k+1)(k+2)(cM)kfE。为了保证cD在定义域(0,c

M]内，我们假定

cM>。

从cD的表达式我们可以看出，当市场规模越大时（L越大

44

时），γ越小时（变体之间差异越小时），cM越小时，fE越小时，cD越小，从而平均生产率越高。 前面已经求出需求的价格弹性等于1。所以(cD/pi)?1cD越小，需求的价格弹性就越大，即市场竞争越激烈。cD越小，价格与成本之差越小，这也表明市场竞争越激烈。

求出了cD的表达式，也就可以求出帕累托分布情况下的表达式，带入N=

式：

1=(cD/cM)k

N=2γα?cDηcD?就可以求出帕累托分布情况下N的表达∫cD0kccM?c???c?M?k?1dc=kcD； k+1α?cD2γα?cD2γ2γ(k+1)α?cD==ηcD?ηc?cηcDDDk+1。

同时，当c服从帕累托分布时，还可以求出间接效用函数为： U=1+1k+1??cD?。 (α?cD)?α?k+2?2η?

从间接效用函数的表达式可以看出，cD越小时，消费者福利越高。即市场竞争越激烈，越有利于消费者。

后面的分析都假定边际成本的倒数1/c服从帕累托分布。 以上分析的都是在封闭经济条件下的情况。下面讨论开放经济后的均衡。

45

3、无贸易成本时的国际贸易

如果不存在贸易成本，则贸易对经济的影响等同于人口数L增加对经济的影响。前面的分析已经表明，L越大时，cD越小，从而平均生产率越高。cD越小也意味着需求的价格弹性越大，价格与成本之差越小，即市场竞争越激烈。

?2(k+1)γ?α?cDN=??η??cD表明L越大也意味着消费者消费的变体数

目增加，从而增加了福利。纵上所述，在Melitz and Ottaviano的模型中，国际贸易从三个方面有利于消费者：消费者消费的变体的数目增加；价格与成本之差变小，市场竞争变激烈；厂商整体生产率的提升。这可以和以前的模型进行比较：在Krugman（1980）的模型中，消费者因贸易而受益的原因只有一个，那就是消费者消费的变体数目增加；在Melitz（2003）的模型中，消费者因贸易而受益的原因有两个：消费者消费的变体数目增加，而且厂商整体生产率的提升。

4、存在贸易成本时的国际贸易

假定本国与外国进行贸易，而且存在冰山运输成本τ。本国的人口数量为L，外国的人口数量为L*。我们把所有外国的变量都加上上标*以示区分。

上文已经求出封闭经济条件下的临界值cD的表达式。类似 46

地，开放经济条件下本国的企业要想在本国市场生存，其边际成本也必须要小于一个临界值cD。由于存在贸易成本τ，本国的企业要想在外国市场生存，其边际成本必须小于临界值cD/τ。

同理，开放经济条件下外国的企业要想在外国的市场生存，其边际成本需要小于临界值cD*。由于存在贸易成本τ，外国的企业要想在本国市场生存，其边际成本必须小于临界值cD*/τ。

这样，无论在本国还是在外国，不同生产率的企业采取了不同的策略。在本国，边际成本位于区间[cD,+∞]的厂商会退出市场，位于区间[cD, cD/τ]的厂商只在国内销售产品，位于区间[cD/τ,0)的厂商既在本国销售产品，也将产品出口到外国。同样，在外国，边际成本位于区间[cD*,+∞]的厂商会退出市场，位于区间[cD*, cD*/τ]的厂商只在外国销售产品，位于区间[cD*/τ,0)的厂商既在外国销售产品，也将产品出口到本国。

下面我们来求出开放贸易后均衡的开放贸易后均衡的临界值cD、cD*和厂商数量N、N*。

我们用πD(c)表示一个边际成本为c的本国厂商在本国市场销售产品获得的利润。前面已经求出πD(c)的表达式是：π(c)=L(cD?c)2。我们用πX(c)表示一个边际成本为4γc的本国厂商在外国市场销售产品获得的利润，πX(c)的表达式是：

*?τ?cD?L*?cD??L2?cD?πX(c)=??+c??τc?τ??c?=τ??c???4γ?τ??2?τ?2γ?τ2。 τcD?其中??+c?为本国产品在外国的销售价格，τc为本国产品2?τ?

47

L*?cD在外国销售时耗费的边际成本，τ??c??为国产品在外国的销2γ?τ?

售量。

开放贸易后，本国厂商自由进出条件变为：

∫cD

0πD(c)dG(c)+∫cD/τ

0πX(c)dG(c)=fE。

把πD(c)和πX(c)的表达式带入自由进出条件，可以得到： L(cD)k+2+L*(cD*)k+2τ?k=γφ，

类似地，外国厂商自由进出条件变为：

L*(cD*)k+2+L(cD)k+2τ?k=γφ。

利用这两个等式就可以求出开放经济条件下cD和cD*的表达式：

?1γφ?cD=???k?1+τL?1k+2；cD*=??1γφ?

*??k?1+τL?1k+2。

在本国市场销售产品的厂商数量N的表达式为：

α???1γφ???k?1+τL?1k+2?2(k+1)γ?α?cD?2(k+1)γ?N=?=???1ηη??cD???1γφ?k+2

???k?1+τL?。

注意，在这里N表示在本国市场销售产品的厂商数量，这些厂商既包括本国厂商，也包括外国厂商。与封闭经济时的cD相比，开放经济下的cD变小了，即平均生产率变高了。N是cD的减函数，所以开放经济条件下的cD变小意味着开放经济条件下消费者所能消费的变体数目增加了。开放经济条件下的cD变小也意味着需求的价格弹性越大，价格与成本之差越小，开放经济 48

后本国市场的竞争越激烈。

可见，存在贸易成本时，贸易对福利的影响与不存在贸易成本时是类似的，国际贸易从三个方面有利于消费者：消费者消费的变体的数目增加；厂商的价格与成本之差降低；厂商整体生产率的提升。

5、其他问题

在Melitz and Ottaviano（2008）模型下存在Brander and Krugman（1983）提出的相互倾销。本国厂商在本国市场销售产品时的价格是(cD+c)，本国厂商在外国市场销售产品时的价格?D是τ?如果不考虑运输成本，那么本国厂商把产品出口到?+c?。2?τ?121c

1cD?c外国时的FOB就是?+这样就小于在本国销售产品时的价??，2?τ?

格。同样对于外国厂商来说也是如此。这就意味着本国和外国之间存在着相互倾销。Brander and Krugman（1983）模型是在寡头竞争条件下得出的相互倾向效应，而本模型在垄断竞争条件下也得到了相互倾销效应。

此外Melitz and Ottaviano（2008）还分析了本国市场效应（Home Market Effect）、贸易自由化的影响、本模型与重力模型的关系问题。

49

6、练习题

在Melitz and Ottaviano（2008）模型的框架下回答以下问题：

（1）两个国家进行贸易并且存在贸易成本时，如果本国人口增加，会对本国产生什么影响？如果外国人口增加，会对本国产生什么影响？

（2）Melitz and Ottaviano（2008）模型假定1/c服从帕累托分布，而且c的定义域是c∈[0, cM]。两个国家进行贸易并且存在贸易成本时，假定cM变大了，这对本国会产生什么影响？

（3）在Melitz and Ottaviano（2008）模型中，边际成本的倒数1/c?c?服从帕累托分布，即：G(c)=??,c∈[0,cM],k≥1。现在假?cM?k

定k变小了，这对封闭条件下本国的cD、厂商平均生产率、平均价格和本国福利产生什么影响？

答案：

（1）两个国家进行贸易并且存在贸易成本时，本国厂商自由进出的均衡条件是：L(cD)k+2+L*(cD*)k+2τ?k=γφ；外国厂商自由进出条件是：L*(cD*)k+2+L(cD)k+2τ?k=γφ。利用这两个等式就可以求出均衡时cD和cD*的表达式：

?1γφ?cD=???k?1+τL?1k+2?；cD*=?1γφ?

?k*??1+τL?1k+2。其中φ=2(k+1)(k+2)(cM)kfE，

k>1。

由cD的表达式可以看出，本国人口（即L）增加，会使本国的cD变小。根据Melitz_Ottaviano 2008的模型，cD变小意味着： 50

（a）本国厂商的平均生产率提高；（2）需求的价格弹性增加，厂商之间竞争更激烈，产品价格和产品的边际成本之差变小；（3）消费者可选择的变体种数增加。

由cD的表达式还可以看出，外国人口（即L*）增加，对本国没有影响。之所以出现这种情况是由于模型使用的特殊函数形式决定的。Melitz and Ottaviano（2008）给出了一个可能导致这种情况的原因：

外国人口增加对本国厂商的影响有两个：一是使得外国市场变大，从而本国厂商可能增加对外国的出口；二是使得外国市场竞争更激烈，从而本国厂商减少对外国的出口。两种效应正好抵消，所以外国市场变大或者变小对本国并没有影响。

（2）两个国家进行贸易并且存在贸易成本时，当厂商进出达到均衡时cD=??1γφ???k?1+τL?1k+2，其中φ=2(k+1)(k+2)(cM)kfE，k>1。所

以cM变大使得φ变大，从而cD变大。cD变大意味着：（a）本国厂商的平均生产率降低；（2）需求的价格弹性变小，厂商之间竞争的激烈程度降低，产品价格和产品的边际成本之差变大；（3）消费者可选择的变体种数减少。

（3）在封闭条件下，当厂商进出达到均衡时cD的表达式为：?γφ?cD=???L?1k+2，其中φ=2(k+1)(k+2)(cM)kfE。为了保证cD在定义域内，Melitz and Ottaviano（2008

）模型假定cM>。

令λ=2γfE/L，则lncD=1[lnλ+ln(k+1)(k+2)+klncM]。为了考k+2

51

察cD和k之间的关系，我们把lncD对k求导得：

dlncD?1??11=?++lncM??dkkkk+++212???

2??1?????[lnλ+ln(k+1)(k+2)+klncM]k+2???21??k+2?+1+2lncM?lnλ+ln(k+1)(k+2)?。

=?????k+2??k+1?

由cM>可知2lncM>lnλ+ln(k+1)(k+2)，所以： dlncD?1??2k+3?>????>0。所以dk?k+2??k+1?2k变小会使cD变小。 由于c的平均值=

从而平均生产率提高。 由于=(cD+=1

2k所以cD变小会使c的平均值变小，cD，k+12k+1cD，所以2k+2cD变小会使平均价格降低。 又因为代表性消费者的间接效用函数是U=1+1k+1??cD?，所以(α?cD)?α?k+2?2η?cD变小提高了消费者的福利水平。

52

经济地理基础模型

1、消费者行为

消费者的效用函数是：U=A1?μMμ。其中A表示农产品的消费量，M=(∑i=1qiρ)ρ表示工业产品的消费量，这种工业产品有nn1

种变体，qi是工业产品中第i个变体的消费量。

也就是说，这个经济体中共有两种商品：农产品和工业产品，其中工业产品有n种变体，工业产品就是我们以前介绍的模型中的差异商品。与以前模型不同的是，本模型中又引入了一个无差异的农产品。我们把农产品当做计价商品，所以A的价格是1。参数ρ=(σ?1)，ρ反映的是消费者偏爱工业产品差异化的程度，σ是两种工业产品的替代弹性，也是工业产品需求的价格弹性。

现在我们来求消费者对工业产品中的变体i的需求函数。我们把这个问题分为两个步：第一步把总收入Y在农产品A和工业产品M之间分配；第二步把购买工业产品M的收入在工业产品的n个变体之间分配。

先来看第一步：

1?μμ??maxA, MU=AM?t A+PM=Y??s..

利用拉格朗日乘数法，令F=A1?μMμ+λ(Y?A?PM)，则一阶条件是：

53

?dF?μμ

=??λ=0(1μ)AM?dA??dF

=μA1?μMμ?1?λP=0 ??dM?dF

?dλ=Y?A?PM=0?

由第一个等式和第二个等式可以得到：A=(1?μ)μMP。带入第三个等式得到：MP=μY；A=(1?μ)Y。也就是说，消费者购买工业产品的支出是μY，购买农产品的指出是(1?μ)Y。

再来看第二步。因为消费者购买工业产品的支出是μY，所以第二阶段消费者的预算约束是∑i=1piqi=μY：

?nρ?maxqiM=∑i=1qi?

n?s.. t∑i=1piqi=μY?

n

()

1

ρ

1

再利用拉格朗日乘数法，令F′=(∑i=1qiρ)+λ′(μY?∑i=1piqi)，则

n

ρ

n

一阶条件是：

1

?1?dF′1nρρρ?1

qq=?λpi=0ρ?∑ii=1i

?dqiρ

1??1′ndF1?ρρρ?1

=?λpj=0 ρqq?∑iji=1

?dqjρ?dF′n?=μY?∑i=1piqi=0dλ′??

((

))

由前两个等式可以得到：

(q

i

qj)

ρ?1

=pipj，即qi=(pipj)

1

ρ?1

qj。

令σ

n

=?ρ)，则qi=pi?σpσjqj。将其带入到第三个等式可得：

n

n

∑i=1piqi=∑i=1pipi?σpσjqj=pσjqj∑i=1pi1?σ=μY

qj=μYp

?σj

，即：

(∑

ni=1

p

1?σi

)

?1

。

54

将上式带入qi=pi?σpσjqj可得：

qi=μYp

?σ

i

(∑

ni=1

p

1?σi

)

?1

。这可以看成是工业产品第i种变体的需

求函数。但是为了方便，我们进一步将其变形。将其带入M的表达式得：

?n

M=?∑i=1qi

?

σ?1σ

???

σσ?1

σ?1?n

=?∑i=1(μY)σpi1?σ??

(∑

ni=1

p

1?σi

)

1?σ

????

σσ?1

=μY

(∑

ni=1

p

1?σi

)

1

?1

。

第一步中我们已经知道MP=μY，即M=μYP?1。结合上式可知：

P=

(∑

ni=1

p

1?σ

i

)

11?σ

?σi

这样工业产品第i个变体需求函数qi=μYp

qi=μYpi?σPσ?1，其中

(∑

ni=1

p

1?σi

)

?1

就变为

P是工业产品的价格指数。

回顾整个求解工业产品第i个变体需求函数的过程，其实就是把购买工业产品的收入μY替换了我们前面求出的需求函数

qi=Rpi?σPσ?1中的收入

R。

我们可以计算出工业产品第i个变体需求的价格弹性是一个常数：ei=?(dqi

dpi)(piqi)=σ

。需求的价格弹性是一个定值，不随

需求量变化而变化。

2、生产者行为

本国分为两个地区：地区1和地区2。本国经济有两个部门：农业部门和工业部门。本国总人口分为两个部分：工人和农民。

55

劳动力是不能在农业部门和工业部门之间自由流动的，也就是说工人和农民是不能相互转换的，这就意味着农民的工资和工人的工资可能是有差异的。暂时假定劳动力也不能在地区间流动，所以地区1和地区2的工资也可能是有差异的。后面我们会改变劳动力不能在地区间流动这个假设。

假定本国工人数目是L，地区1的工人数量是λ1L，地区2的工人数目是λ2L。λ1+λ2=1。本国农民总数是La，地区1和地区2的农民数量是相等的，都是(1-La)/2。

（1）农业生产

假定生产一单位的农产品需要一单位的农民，即农产品的生产函数是A=La。农产品是计价商品，价格为1，且农产品所处的是完全竞争市场，所以农民的工资是1。假定农产品在地区间的贸易是自由贸易且不需要运输成本，所以两地区农民的工资都是

1。这些假定保证了农民并没有在两地区之间流动的动机。

（2）工业生产 假定工厂的总成本函数是TC=fw+wq，这与我们前面介绍的模型是一样的。由于工业产品每种变体需求的价格弹性是一样的，生产成本是一样的，所以均衡时每种变体的价格、产量都是一样的，所以我们就把价格pi和产量qi的变体i去掉，每种变体的价格都用p表示，每种变体的产量都用q表示。后文中出现的下标i表示地区，i=1或2，分别表示地区1和地区2。 可以得到均衡时工业品的价格p=

56wσ，每种变体的产量?σ?1

q=(σ?1)?f

n1=λ2Lf，地区1厂商的数量n1=λ1Lf，地区2的厂商数量。 σμ，f=，L=μ这样可以得到：p=w，q=μ，n1=λ1，σ?1σ令?=

n2=λ2。需要注意的是，我们给这些参数施加的限制可以使推导

过程更简练，但不会改变我们要研究的问题的性质。

3、价格指数、收入和工资

两个地区工业产品的价格指数分别是：

P1=(λ1w1?σ

1

1?σ

2+λ2wτ+λ1wτ1?σ

11?σ21?σ)11?σ11?σ； 。 P2=(λ2w1?σ)

经济中唯一的收入来源就是工人和农民工资，其中工人工资是wi，农民工资是1，所以本国和外国的收入水平分别是：

Y1=La+Lλ1w1； 2

LY2=a+Lλ2w2。 2

本国生产的工业产品在本国市场的销量是：

σ?1q11=μY1w1?σP； 1

本国生产的工业产品在外国市场的销量是：

q12=μY2w1?στ?σP2σ?1。

又因为q11+τq12=μ，所以μY1w1?σP1σ?1+μY2w1?στ?σP2σ?1=μ。由此可得本国的工资水平是：

w1=(Y1P1σ?1+Y2τ1?σP2σ?1σ)1；

57

类似地，可以得到外国的工资水平是：

w2=(Y2P2σ?1+Y1τ1?σP1σ?1σ)1。

这样，下面的六个等式可以得出wi、Yi和Pi的均衡值：

?Y1=La2+Lλ1w1?Y=L2+Lλwa22?2

1?1?σ1?σ1?σ1?σ+λ2w2τ)?P1=(λ1w1??1?P=λw1?σ+λw1?στ1?σ1?σ)11?2(22

1?σ?11?σσ?1σ?w1=(Y1P+Y2τP2)1?1?σ?11?σσ?1σ)1??w2=(Y2P2+Y1τP

从上面的等式可以看出，对一国来说：

（1）工资水平越高则价格指数越高。原因是工资使得工业产品的生产成本变高，所以工业品价格提高，因而价格指数提高。

（2）运输成本越高则价格指数越高原因是运输成本提高使得进口产品的价格提高，所以价格指数提高。

（3）收入水平越高则工资越高。原因是收入水平越高则市场越大，从而厂商利润越多，所以工人工资越高。

（4）运输成本越高则工资越低。原因是运输成本提高使厂商难以进入外国市场，从而利润减少，所以工人工资降低。

（5）价格指数越高则工资越高。价格指数越高意味着厂商收取的价格就高，利润就越多，所以工资越高。

58

4、市场规模效应、价格指数效应和名义工资效应

下面我们来证明三种效应：市场规模效应、价格指数效应和名义工资效应。市场规模效应的含义是：收入越高的地区工业产品的产量就越多。价格指数效应的含义是：工业产品产量越多的地区价格指数就越低。名义工资效应的含义是：收入越高的地区工资就越高。

（1）市场规模效应

再来证明市场规模效应。令w1=w2=w，则价格指数方程变为： P1=w1?σ(λ+λτ)1?σ

1211?σ

1

1?σ 1?σP2=w1?σ(λ2+λτ)1

工资方程变为：Y1P1σ?1+Y2τ1?σP2σ?1=Y2P2σ?1+Y1τ1?σP1σ?1。

把价格指数方程带入工资方程可得：

1?σ1?σY1(λ1+λ2τ1?σ)+Y2τ1?σ(λ2+λτ)=Y2(λ2+λτ)+Y1τ1?σ(λ1+λ2τ1?σ)11?1?1?1?1

，也就是：

λ1Y1?Y2τ1?σ。 =1?σλ2Y2?Y1τ

λ1>λ2意味着Y1?Y2τ1?σ>Y2?Y1τ1?σ，也就是Y1(1+τ1?σ)>Y2(1+τ1?σ)，即Y1>Y2。也就是说收入越高的地区工业产品产出越多。我们把

市场效应写为：λ1>λ2?Y1>Y2。

前面介绍Krugman（1980）模型时也曾经讨论过市场规模效应。在Krugman（1980）模型中市场规模效应含义是：一个国家人口越多则差异产品的产出越多，而且随着人口的增加产出增加 59

的速度要比人口增加的速度更快，所以人口大的国家就会出口差异产品。由于前面假定工资是1，所以人口多意味着收入越高，即需求越多。也就是说市场规模效应反映的是需求和出口的关系。本模型中的市场规模效应和Krugman（1980）模型中的市场规模效应是一样的，我们同样可以证明收入越高的地区（也就是需求越大的地区）工业产品产出越多，而且随着收入的增加，工业产品产出增加的速度要比收入增加的速度快，从而使高收入的国家成为工业产品的出口国。下面是证明过程。

假定两地区完全相同，则两地区的价格指数、工资、工人数量和收入都是一样的。令λ1=λ2=λ，Y1=Y2=Y，Pw1=w2=w，1=P2=P，这样前面方程组中的价格指数方程和工资方程可以写成：

P1?σ=λw1?σ(1+τ1?σ)

wσ=YPσ?1(1+τ1?σ)。

对上述两个等式全微分可得：

dP?P?=λ??(1?σ)P?w?

dwY?P?=??σww?w?σ?1σ?1dw??dλ+(1?σ)?； (1+τ)?w??λ1?σdG?1?σ?dY++?1τ(σ1)。 ()??G??Y

dG可得： G1?τ1?σ令Z=1+τ1?σ并消去上述两个等式中的

。 dλdY?σ?dw+?+=(1)ZσZ??λZwY??

假定工资不变，即

dλ/λ>dY/Y。 dwdλdY，则Z=wYλ。因为0<Z<1，所以

60

（2）名义工资效应

再来证名义工资效应。令P1=P2=P，则：

?w1?Y1Pσ?1+Y2τ1?σPσ?1Y1+Y2τ1?σ=??=1?σσ?1σ?1Y2P+Y1τPY2+Y1τ1?σ?w2?

σσ。 ，也就是w1>w2意味着(w1w2)>1，也就是Y1+Y2τ1?σ>Y2+Y1τ1?σ

Y1(1?τ1?σ)>Y2(1?τ1?σ)，即Y1>Y2。也就是说，收入越高的地区名义

工资就越高。我们把名义工资效应写为：Y1>Y2?w1>w2。

（3）价格指数效应

先来证明价格指数效应。令w1=w2=w，则：

?P?1???P2?1?σλ1w1?σ+λ2τ1?σw1?σλ1+λ2τ1?σ。 ==1?σ1?σ1?σ1?σwλ2w+λτλ2+λτ11

1?σP1<P2意味着 (P1P)1?σ>1，也就是λ1+λ2τ1?σ>λ2+λτ，也就是1

λ1(1?τ1?σ)>λ2(1?τ1?σ)，即λ1>λ2。也就是说，工业产品产量越多的

地区价格指数就越低。我们把价格指数效应写为：λ1>λ2?P1<P2。

以上三种效应可以写成：

?λ1>λ2?Y1>Y2??Y1>Y2?w1>w2?λ>λ?P<P212?1

一个地区工业产品产量越高则收入越高（市场规模效应），从而名义工资也越高（名义工资效应）；同时一个地区工业产品产量越高则价格水平越低（价格指数效应）。这就意味着一个地区工业产品产量越高则实际收入越高。如果允许工人自由流动的话，工人会流动到工业产品产量越高的地区，从而使这个地区工业产品产量更高。如果这个过程一直持续下去，所有工业都会集 61

聚在同一个地区。

这种集聚是一种均衡吗？这种集聚在什么条件下会被打破？下面我们研究这个问题。

5、集聚均衡的维持和对称均衡的瓦解

（1）集聚均衡的维持

假定全部工业都集中在地区1，我们把这种情况叫做集聚均衡。在什么条件下这种集聚均衡可以维持下去？我们可以这样考虑：如果地区部分1的工人迁移到地区2，这部分工人在地区2获得的真实工资（而且不是名义工资）会不会比地区1高？如果这部分工人在地区2获得的真实工资比地区1高，那么工业全部集中在地区1就不是均衡。下面我们来比较地区1和地区2的真实工资。

假定工业全部集中在地区1，即λ1=1，λ2=1?λ1=0，可以得到

w1=1，过程如下：

将λ1=1带入方程组可得：Y1=μw1+(1?μ)2；Y2=(1?μ)2；P1=w1；P2=w1τ。将其带入w1和w2的表达式可得：

1?μ?σ?11?μσ?1?σσσ?1w1w1=μw1，由此可得w1=0=?μw1++(1?μ)w1?w1+2?2?

或者w1=1。因为工资不可能为0，所以我们不考虑w1=0的情况。

把w1=1带入方程组可得：Y1=(1+μ)2；Y1=(1?μ)2；PP2=τ；1=1； 62

?1+μ1?σ1?μσ?1?τ+τ?w1=1；w2=?22??1σ。

我们要比较的是真实工资，而不是上面求出来的名义工资。真实工资等于名义工资除以物价水平，其中消费者的支出是由农产品支出（所占比例为1-μ）和工业产品支出（所占比例为μ）构成的，所以物价指数也是由农产品价格和工业产品价格（即工

1?μμ业产品价格指数）共同构成的，即物价指数是PAP，其中PA表

示农产品价格，P则是工业产品价格指数。对于地区1来说，由于农产品价格为1，工业产品价格指数也是1，所以地区1的真实工资就W1=1。对于地区2来说，由于农产品价格为1，工业产品价格指数是τ，所以地区2 的真实工资是：

W2=w2μ= τ?μ?1+μ1?σ1?μσ?1?σ+??22??

11。

只有当W2=τ?μ??1+μ1?σ1?μσ?1?+?2?2?<1时，工业部门全部集中

在地区1才是均衡。为了方便，我们研究W2σ。因为σ>1，W2<1意味着W2σ<1。W2σ的表达式是：

W2σ=1+μ1?σ?σμ1?μσ?1?σμ。 τ+τ22

dW2σ1+μ1?μ=(σ?1?σμ)τσ?σμ?2。 (1?σ?σμ)τ?σ?σμ+dτ22

dW2σ当(σ?1)≤μ<0，从而W2σ<1dτ对于任何一个τ值都成

立，从而W2<1对于任何一个τ值都成立。也就是说当(σ?1)≤μ时，不论运输成本是高还是低，工业部门全部集中在地区1是一个均衡。我们把(σ?1)≤μ叫做“黑洞条件”，意思是说(σ?1)≤μ 63

成立时地区1像一个黑洞一样，把所有工业都吸引过去。 dW2σ当(σ?1)>μ时，dτ先是小于零（τ较小时），然后大于零

并趋向正无穷（τ较大时），这就意味着W2σ先是小于1，随着τ

的增大W2σ会大于1，也就意味着W2先是小于1，随着τ的增大W2会大于1。这样必然就存在存在一个τS，当τ<τS时，工业部门全

部集中在地区1是一个均衡；当τ>τS时，工业部门全部集中在地

区1是就不再是一个均衡。我们把τS叫做集聚均衡维持点，τS是由下面的表达式决定的：

1+μ1?σ?σμ1?μσ?1?σμτS+τS=1。 22

由τS的表达式可以看出：μ越大，即购买工业产品的支出在

消费者总支出中所占比例越大，则τS越大，集聚均衡就更容易维

持；σ越大（也就是ρ越大），即消费者更偏好商品的多样化时，τS越大，集聚均衡就更容易维持。

W2 dω

τ1

τ

（2）对称均衡的瓦解

64

假定工业在两个地区平均分布，即λ1=λ2=1/2，我们把这种情况叫做对称均衡。

考虑这么一个问题：从λ=1/2这一均衡点出发，如果某地区制造业工人突然增加，那么该地区的工资会怎样变化。我们需要求出dωdλ的值。在λ=1/2这一点，两地区的收入、价格指数和工资都是一样的。在λ=1/2这一点附近对前面的方程组以及真实工资的表达式全微分可得：

μ?dYddwμλ=+?2??dP=2Zdλ+Zdw?P1?σ ?dP?σdw=2ZdY+(σ?1)Z?P?dP?Pμdw=dw?μP?

1?τ1?σ其中Z=1+τ1?σ。把第1个方程带入到第三个方程并消去dY，

然后用第二个方程和第三个方程联立可以得到dG/G和dw的表达式，最后把dG/G和dw的表达式，带入到最后一个等式可以得到dωdλ的表达式是：

dω2ZP?μ

=dλσ?1?μ(2σ?1)?Z(σ+σμ2?1)??? 2σμZZσ???(1)????

如果dωdλ<0时，工业在两个地区平均分布就是稳定的均衡。下面我们讨论在什么情况下dωdλ<0。 当(σ?1)<μ（黑洞条件）时，对称均衡始终不稳定。 当(σ?1)>μ时，可以求出dω=0的解τB： dλ

65

τB=??(μ+ρ)(1+μ)???(ρ?μ)(1?μ)?ρ1?ρ。

当τ>τB时对称均衡就是稳定的，当τ<τB时对称均衡是不稳定的。

由τB的表达式也可以看出：μ越大，即购买工业产品的支出

在消费者总支出中所占比例越大，则τB越大，即对称均衡不稳定

的取值范围增大，也就是集聚均衡就更容易维持；σ越大（也就是ρ越大），即消费者更偏好商品的多样化时，τS越大，即对称

均衡不稳定的取值范围增大，也就是集聚均衡就更容易维持。

6、练习题

（1）整个国家工人数量是μ，农民数量是1-μ。μ也是消费者总收入中购买工业产品的比例。地区i工人数量是λiμ，地区i

的农民数量是si(1?μ)，i=1,2，si+sj=1，i≠j。μ=1/2，σ=2。Pi是地区i的工业产品价格水平，wi是地区i的名义工资。

Yi=λiμwi+si(1?μ)

Pi=(λiw1?σ

i+λjτ

+Yjτ1?σw1?σj))11?σ1 wi=(YiPiσ?11?σPjσ?1σ

（a）证明：如果所有工业都集中在地区2，则w2=1。 （b）证明：对于任何的s1和τ值，所有工业都集中在地区2

是一个均衡。

（c）证明：当且仅当下面条件满足时，存在分散均衡： 66

σ?1?σμY1PP2?σμ?τ1?σP11=?σμ1?σ?σμσ?1?τP2Y2P2P1

答案：

（a）把λ1=0、λ2=1带入到方程组可得：

Y1=s1(1?μ)

Y2=μw2+s2(1?μ)

P1=(τ1?σ1?σ

2

1

1?σw)11?σ=τw2P2=(w1?σ

2)=w2

1?σ P2σ?1σw1=(Y1P1σ?1+Y2τ

+Y1τ)1==??(μw2+s2(1?μ))w2+s1(1?μ)τσ?11?σw2=(Y2P2σ?11?σP1σ?1σ)1

τσ?1w2??σ?1σ1

其中地区2的工资方程可以进一步写成：

σσσ?1σ?1，即w2=μw2+s2(1?μ)+s1(1?μ)。w2=μw2+s2(1?μ)w2+s1(1?μ)w2

把s2=1?s1带入可得：

w2(1?μ)=(1?μ)，即w2=1。

（b）地区2的真实工资是：

W2=w2w2=μ=1。 P2μw2

只有当地区1的真实工资W1=w1P1μ<1对任何s1和τ值都成立

时，工业全部集聚在地区1才是均衡。下面我们来求W1=w1P1μ的表达式：

s1(1?μ)τw1??W1=μ=P1σ?1+(μ+s2(1?μ))τ1?σ1σ??τμ。

因为W1<1?W1σ<1，所以为了计算方便，我们也求出W1σ的表达式：

67

W1=

σ

s1(1?μ)τσ?1+(μ+s2(1?μ))τ1?σ

τ

μσ

=

s1(1?μ)τσ?1?μσ+(μ+s2(1?μ))τ1?σ?μσ。

把μ=1/2、σ

σ

=2和s2=1?s1带入可得：

s1τ2+2?s1

W1=

2τ2

。W1σ<1意味着s1τ2+2?s1<2τ2，即

τ2(2?s1)>(2?s1)，即τ2>1。

τ2>1显然对任何s1和值都成立，因为衡量冰山运输成本的τ

总是大于1的。

之所以出现上述结果，是因为本题中洞条件”，工业会集聚在一个地区。

（c）分散均衡时两个地区的真实工资相同，即W1=W2。

σ?1σ?1

W1W2W1σW2σY1P+Y2τ1?σP2σ?1Y2P2σ?1+Y1τ1?σP11

W1=W2?σ=σ?σμ=σμ?=σμ

PP2PP2PP2σμ111

σ?1

=μ，所以满足“黑σ

σ?1

?Y1P(P1?σμ?τ1?σP2?σμ)=Y2P2σ?1(P2?σμ?τ1?σP1?σμ)1

σ?1?σμ1?σ?σμY1PP?τP?1σ?1=2?σμ1?σ1?σμ

Y2P2P?τP21

。

（2）一个国家由J个地区组成。该国总劳动力是L，劳动力可以在地区内部自由流动，但是不能在地区间自由流动。消费者的效用函数是：U=(CM)μ(CH)1?μ。其中CH表示消费者对住房的消费量，CM表示消费者对工业产品的消费量，CM由n种变体组成：CM=?∑i=1ci?。变体i的生产者对劳动力的需求函数是：

?

?

LMi=α+βxi。其中xi是变体

?

n

σ?1

?

σσ?1

i的产量。工业产品从一个地区运到另

一个地区是需要运输成本的，假定运输成本是“冰山成本”。

68

（a）令β=(σ?1)，α=μ，证明：地区j的工资水平是

J

wj=?∑?k=1Yk(Pk?

Mσ?1

1

)

M

τ1?σ?。其中Y是地区k的收入，Pkk是地区k工?

σ

jk

?

业产品的价格指数。

（b）假定均衡时每个地区的真实工资都是相等的，即：

1=

wk

(P)(P)

M

k

H1?k

=

wj

(P)(P)

Mj

H1?j

。证明：地区j的工资水平还可

以写成：

?

wj=?(1?μ)

??

(σ?1)(μ?1)

μ

∑

J

k=1k

Y

σ(μ?1)+1

μ

wk

σ?1μ

1

(CH)

(σ?1)(1?μ)

μ

jk1?σ

?σ

?。 ??

答案：

（a）由变体j的生产者的利润最大化条件可得：

α(σ?1)?σ?

βpj=?ww；q==μ。 =jjj?

β?σ?1?

整个经济体对变体j的需求是：

σM

xj=∑k=1p?jμYk(Pk)

J

σ?1

?σ

τ1jk。

1

?σ?τ1jk

?

令

J

qj=xj

得

σ

J

pj=?∑?k=1Yk(Pk?1

Mσ?1

)

σ

?

。由

pj=wj

得

wj=?Y(P??∑k=1kk

Mσ?1

)

τ1?σ??。

jk

?

（b）由1=

wk

(P)(P)

M

k

Mk

H?k

1

可得地区k工业产品价格指数和房屋

Hk

价格指数的关系是P=wk(P

μ)

1?μ

μ

，将其带入到（1）题中的工资

方程可得：

69

?Jwj=?∑k=1Ykwk??σ?1μ1(P)Hk(σ?1)(1?μ)μτ1?σ

jk?σ???。由消费者的效用函数可得房屋的价格指数是PkH=

?wj=?(1?μ)??(σ?1)(μ?1)(1?μ)YkHk，带入到工资方程可得最后结论： σ?1μ1μ∑Jk=1kYσ(μ?1)+1

μwk(CH)(σ?1)(1?μ)μjk1?σ?σ

?。 ??

之所以用房屋消费量替换工业产品价格指数是因为房屋消费量更容易量化。Hanson（2005）利用美国的数据估计除了工资方程中各参数的值，表明本模型具有很好的解释能力。

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