一 集合

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。

2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

3、集合的表示：

（1）用大写字母表示集合：A,B…

（2）集合的表示方法：

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??}

b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，?x?Rx?2?3? c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.

4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合?

5、元素与集合的关系：a?A；a?A

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集：（即自然数集）N 正整数集: N*或 N+

整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R

6、集合间的基本关系

（1）“包含”关系—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合

A是集合B的子集。记作：A?B（或B?Ａ）

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

（2）“包含”关系—真子集

如果集合A?B，但存在元素x?B且x?A，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或B（3“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”，如果A?B 同时 B?A 那么A=B 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

（4）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集，A?A

②如果 A?B, B?C ,那么 A?C

③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

A)

二 函数

1.函数的概念：记法 y=f(x)，x∈A．

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：

4.函数的基本性质

A、 函数解析式子的求法

（1）代入法：（2）待定系数法：

（3）换元法：（4)拼凑法：

B、 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数式的真数必须大于零；

（4）零次幂式的底数不等于零; （5）分段函数的各段范围取并集;

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

C、 相同函数的判断方法；?定义域一致②对应法则一致

D.区间的概念：

E.值域 （先考虑其定义域）

5.分段函数

6．映射的概念

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：函数是特殊的映射。

7、函数的单调性(局部性质)

（1）增减函数定义

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：○1 取值；○2 作差；○3 变形；○4 定号；○5 结论．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8、函数的奇偶性（整体性质）

（1）奇、偶函数定义

（2）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x) = f(x)， 则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x)，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.

（4）函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（5）若已知是奇、偶函数可以直接用特值

9、 基本初等函数

一、一次函数

二、二次函数：二次函数的图象与性质，注意：二次函数值域求法

三、指数函数

（一）指数

1、有理指数幂的运算法则

2、根式的概念

3、分数指数幂

正数的分数指数幂的

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)，amn?m

n?1

am

n?1am(a?0,m,n?N*,n?1)

（二）指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

定义域为R．

2

四、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以记作：x?logaN．a为底．．N的对数，

（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○

M

2 loga?logaM－logaN； ○

N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

注意：换底公式

logcb

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logab?

logca

利用换底公式推导下面的结论

1n

（1）logabn?logab；（2）logab?．

mlogba

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

m

域是（0，+∞）．

2

五、幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，

图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

10、方程的根与函数的零点

（1）函数零点的概念：对于函数y?f?x? ，把使f?x??0成立的实数叫做函数的零点。

（2）函数零点个数的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． （3）二次函数的零点：?判断 （4）二分法可用来求变号零点.

第二篇：高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

2012.3.26

 

 

4.公式：

3.解不等式

(1)一元一次不等式

(2)一元二次不等式：

一元二次不等式的求解流程：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

(3)解分式不等式：

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0

（2）x² –(a+a²)x+a³>0；

                （3）2x² +ax +2 > 0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

例1．已知关于x的不等式                                      

   在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．

例2．关于x的不等式
 对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、

     函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

二次方程根的分布问题的讨论：

4．k1 < x1 < x2 < k2            5．x1 < k1 < k2 < x2

 

                  

 

6．  k1 <x1 < k2 < x2< k3 

4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；

第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

 

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

 

4.求函数                  的最小值.

 

5.已知两个正数     满足          求使

 恒成立的   的取值范围.