投入产出模型

第9章　投入产出模型

　　投入产出模型对于研究分析国民经济各部门之间的数量依存关系，制定国民经济的计划与规划等都具有十分重要的作用。根据投入产出模型的原理与方法，现介绍其建模与应用分析的具体方法步骤。

第1节 投入产出模型概述

    1.1 概念

    投入产出模型是指在马克思主义经济理论指导下，利用数学方法和电子计算机技术，来研究各种经济活动的投入与产出之间的数量依存关系，特别是研究与分析国民经济各个部门在产品的生产与消耗之间的数量依存关系所建立的一种数学模型，其主要含义如下：

    1）投入产出模型的指导思想是马克思主义经济理论；

    2）投入产出模型的理论基础是计量经济学理论，集中体现在投入产出方法的原理与方法；

    3）投入产出模型的关键任务是直接消耗系数与列昂节夫逆矩阵的求算；

    4）投入产出模型的主要方法是数学方法与计算机技术的应用，集中体现在投入产出模型数学模型的建立及运用计算机进行矩阵运算的求解应用；

    5）投入产出模型的最终目的是研究与分析各个经济部门之间的数量依存关系，为社会主义经济建设中的科学决策服务。

    主要用途是用于研究与分析国民经济各个部门在产品的生产与消耗之间的数量依存关系，反映各个部门之间的直接与间接的经济联系及各个部门之间的综合平衡问题。目前，已拓展到用于研究与分析各个地区，各个企业内部及之间的各种经济联系。

    1.2 作用

    1）编制国民经济计划。

    2）经济指标的预测。

    3）经济政策研究，研究重要经济政策对经济建设的影响。

    4）专题研究，研究专门的社会经济问题。

    5）编制区际经济计划。

    1.3 发展概况

    投入产出法产生于20世纪30年代，是由俄国出生的美国经济学家瓦。列昂节夫（w. Leontif）首先提出于1931年开始研究“投入产出分析法”，来分析研究美国的经济结构，随后发表了不少的论文和论著，在1944年他编制了美国经济部门的1939年投入产出表，它可称是世界上第一个“投入产出表”，当时，引起了美国政府的重视，此后，美国先后又编制了1947年，1958年，1963年，和1966年的投入产出表。

    在20世纪50年代初期，西方各国曾经出现了编制投入产出表的热潮。到了20世纪50年代末期，苏联和东欧国家也开始重视这一方法。后来，发展中国家也纷纷编制了投入产出表。据不完全统计，1950年以前，只有7个国家编制了投入产出表，其后，已有100余个国家编制了投入产出表。

    于1968年，联合国统计局正式规定“投入产出”为国民经济核算的一个重要组成部分，并制定了编制投入产出表的标准部门分类目录，指标解释和计算方法。

    我国在20世纪60年代初期，中国科学院数学研究所与经济研究所组织成立了专业小组，对“投入产出法”进行过探索、研究和介绍，但是，后来由于左的思想干扰，投入产出法被当作资产阶级和修正主义的东西加以批判，使这方面的研究和应用中断了一段时间。从1972年，我国才有少数同志逐渐恢复和坚持了这方面的研究工作。1974年 — 1976年期间，在中国科学院系统科学研究所的倡议下，在我国计委、国家统计局的领导和支持下，编制了1973年全国61种产品的实物型投入产出表，这是我国第一个全国性的投入产出表，（1944年—1973年29年）。1981年又编制了全国146种产品的实物型投入产出表和26个部门的价值型投入产出表。还编制了山西省广东省上海市上海市黑龙江省北京市等地区的投入表。另外，还编制了鞍山钢铁公司企业型的投入产出表。为了提高我国社会主义经济宏观管理水平，国务院决定，今后每5年进行一次投入产出调查，并编制出全国投入调查表。

    1. 类型

    投入模型的类型很多，其分类的标准不同，类型也不同，目前主要有以下几种。

    1 静态投入产出模型和动态投入产出模型 

   以分析时期不同可分为：

    1）静态投入产出模型是分析和研究某一特定时期的再生产过程及联系。

    2）动态投入产出模型是分析和研究连续变化若干时期的再生产过程及各时期的相互联系。

    2 价值投入产出模型和实物投入产出模型

    以计量单位不同可分为：

    1）价值投入产出模型是投入产出表中所有指标都以产品价格单位度量。

    2）实物投入产出模型是投入产出表中所有指标都以产品实物单位度量。

    3 区域投入产出模型

    以投入产出表中所用数据资料范围不同可分为：

    1）世界投入产出模型                                                  

    2）国家投入产出模型                                                  

    3）地区投入产出模型                                                   

    4）部门投入产出模型                                                  

    5）企业投入产出模型                                                  

    4 报告期投入产出模型和计划期投入产出模型

    1）报告期投入产出模型是所用数据资料都是报告期的实际数据，反映报告期投入与产出的综合平衡情况。

    2）计划期投入产出模型是所用数据资料都是计划期的计划数据，反映计划期或预测计划期国民经济的发展情况。

    1.2 投入产出表

    1 概念

投入平衡表简称投入产出表，它是指能够把国民经济各部门之间所有产品的投入与产出关系都表现出来的统计表格。它是建立投入模型的基础。

    2 类型

    主要根据所要建立的投入产出模型的类型而定，其类型有价值型和实物型两种，

价值型投入产出表

实物型投入产出表

    中的所用的数据资料都是以产品的价格单位度量。

    中的所用的数据资料都是以产品的实物单位度量。

最常用的是价值型投入产出表。

2 投入产出表的编制

    1）确定投入产出表的类型

    主要根据所研究的目的和要求来确定投入产出表的类型。现以价值型投入产出表为例，如列昂节夫的第一个投入产出表是研究全美国的经济结构的，他编制了全美国十大部门价值型投入产出表。在如表   中是五个部门的投入产出表，即，农业、采矿业、制造业、电力工业、运输业。

表7.4　五个部门的投入产出表

    2）编制投入产出表

    根据调查和统计资料，编制投入产出表，以表示在指定年度内各部门之间的相互联系、相互影响、相互制约、相互交流的情况，如表   所示。投入产出表的基本结构是四个象限：

    第一象限为物质交流象限

    从1 — 5行，1 — 5列，表示投入与产出的关系。

    第二象限为最终用途象限

    从1 — 5行，6 — 9列，表示最终需求关系。

    第三象限为增加价值象限

从6 — 10行，1 — 5列，表式增加价值关系。

第四象限为直接购买象限

从6 — 10行，6 — 9列，表式直接购买要素关系。

    3 投入产出表的作用

    投入产出表的作用有以下 点：

    1）显示各部门间的数量依存关系

    由表中可知，其行（I）为产出部门，列（J）为投入部门。

    对于每一行的诸元素，表明了报告期的一个特定部门的总产出，例如：

    在第一行农业总产出量125个单位中：

        15个单位用于农业本身；          20个单位用于制造业；

        10个单位用于运输业；            采矿业与电力工业均未投入。

    用于中间用途的全部农产品45个单位，即用于进一步再生产的农产品共有45个单位。

    最终需求量80个单位，包括：消费者投资非投资性开支出口等项就是农业生产的总产出125个单位的去向。

    对每一列的诸元素，表明了报告期的一个特定部门的总投入量的来向，例如：

    由第一列可知，为了生产125个单位的总产出，农业消耗自身15个单位的产品，如用去部分种子。

    为了生产125个单位的总产出，农业消耗制造业10个单位的产品，如化肥、杀虫剂等。

    为了生产125个单位的总产出，农业消耗电力5个单位的产品，如开动喷水机等。

    为了生产125个单位的总产出，农业消耗运输业5个单位的产品，如产品运往市场等。这样，农业向国内各部门投入的全部中间产品共计35个单位。此外，农业进口15个单位的中间产品，如进口小麦等，向政府纳税20个单位，支付工资40个单位，投资5个单位，购买其他自然资源10个单位。由此可知，农业的总产出价值恰好等于总投入价值，都是125个单位。用同样的方法可分析表中的所有经济部门的投入产出结构。

    2）求算直接消耗系数

    直接消耗系数是投入产出应用分析研究最重要的指标。可在投入产出表的基础上求算直接消耗系数，它可显示出各个部门在生产中的技术经济联系。

    3）求算间接消耗系数

    求出直接消耗系数后，可通过算术运算推求出间接消耗系数。

    4）建立投入产出数学模型

    在投入产出表的基础上，可以很方便的建立多种形式的投入产出数学模型，以应用于经济预测和计划工作。

第2节 投入产出数学模型

    所谓投入产出数学模型就是指用数学方法来表示投入产出表中所反映的经济部门内在联系的数学模型，具体用数学方程组来表示。现介绍如何将投入产出表转化为实用的数学模型。

    2.1 产出平衡方程组  即分配平衡方程组

    从表   的行来看，每一个生产部门分配给各个部门再生产性产品加上该部门的最终需求产品，就等于该部门的总产品，于是可得产出平衡方程组：

    从表  中按行可得其产出平衡方程组的一般形式为：

         

可简写为：

          

    即得数据形式为：

         

    2.2投入产出平衡方程组  即消耗平衡方程组

从表  的列来看，每一个生产部门来说，各个部门为其投入的产品加上该部门的新创造的价值，就等于该部门的总投入量价值，于是可得投入平衡方程组：

             

    可简写为：

            

    从表  中按列可得其投入平衡方程组的一般形式为：

         

    即得数据形式为：

         

    2.3 直接消耗系数平衡方程组

      1直接消耗系数

    1）概念

    直接消耗系数是指第J部门每生产单位产品所消耗第I部门产品的单位消耗量，称第J部门对第I部门的直接消耗系数。它表示生产因素和产品之间的生产技术比例，故又称技术系数。

    2）求算

    直接消耗系数可从“投入产出表”中直接求出，即：

         

    于是：

         

    其中， 表示J部门实际投入I部门产品的数量，即位于投入产出表中第I行第J列的数字。

     表示第J部门的总投入量，即投入产出表中第J列最后一个数字。由此可求算出表  中各个部门的直接消耗系数，如表  所示。

    2 直接消耗系数平衡方程组

将   代入产出平衡方程组，可得直接消耗系数平衡方程组：

             

    可简写为：

             

    设  A为直接消耗系数矩阵，X为总投入列矩阵，Y为最终需求矩阵，它们分别为：

           

                              

    则可得矩阵形式：

              或

    这就是最常用的矩阵形式投入产出数学模型，即矩阵形式地直接消耗系数投入产出数学模型。而矩阵被称为列昂节夫矩阵。两上式两边同除，即可得：

           

    式中  称为列昂节夫逆矩阵。由上式可知，若求出列昂节夫逆矩阵，即可进行经济预测和计划制定。

    3 举例

    例1若已知A矩阵，Y矩阵，求X矩阵。

　　本例以上述五个部门投入产出表中数据为例，试证总产出量X并掌握应用方法。

　　1)求A、X 、Y矩阵　　

    由五个部门的投入产出表可求得直接消耗系数A、X、Y矩阵为：

　　　　

        

　　2)求列昂节夫矩阵(E－A)　　

    本例由上述直接消耗系数A可得列昂节夫矩阵为：

　　　　

　　3)求列昂节夫逆矩阵(E－A)^－1　　

    进而可求得列矩阵(E－A)^－1为：

　　　　

　　4)求总产出矩阵X

　　已知Y矩阵　　即：

　　　　

　　由此得已试证，整个模型合理，可应用于投入产出分析。

　　例2　若已知A矩阵，Δy₁=0，Δy₂=0，Δy₃=10，Δy₄=0，Δy₅=0，那么五个部门的总产出量各增加多少？即求ΔX。

　　(1)、(2)、(3)　　同前。

　　(4)求总产出增量ΔX

　　　　ΔΔ

　　因此可知，当制造业的最终需求增长10个单位时，农业总产出x₁增加4个单位；采矿业的总产出x₂不变；制造业总产出x₃增加15个单位；电力工业总产出x₄增加3.2个单位，运输业总产出x₅增加2.7个单位。

    2.4 完全消耗系数平衡方程组

    我们知道，国民经济各部门之间除了发生直接联系，产生直接消耗外，还存在着间接联系，产生间接消耗。

    1 完全消耗系数

    1）概念

    （1）间接消耗系数

    间接消耗系数是指第J部门每生产单位所间接消耗第I部门产品的单位消耗量，称第J部门对第I部门的间接消耗系数；

    （2）完全消耗系数

    完全消耗系数是指第J部门每生产单位产品所直接消耗和间接消耗第I部门产品的单位消耗量和，称第J部门对第I部门的完全消耗系数，即直接消耗系数和间接消耗系数之和，就称为完全消耗系数。可用  来表示。

    2）求算

    根据上述概念可直接求得，即：

               

于是可得完全消耗系数平衡方程组：

             

    可简写为：

             

    设B为直接消耗系数矩阵，X为总投入列矩阵，Y为最终需求矩阵，它们分别为：

           

                              

    则可得矩阵形式：

              或

    将两上式两边同除，即可得：

           

    由上式可知，必须先求出完全消耗系数矩阵，才可进行经济预测和计划制定。

    这样直接求算却很麻烦，因此，可利用来求完全消耗系数。其推求方法是：

    完全消耗系数的矩阵形式为：

                

    两边同右乘，则得：

                

    此式可告诉我们，只要根据直接消耗系数矩阵A，求出列昂节夫逆矩阵  ，再从中减去安慰矩阵E，就可求得完全消耗系数矩阵B了。

    2 完全消耗系数平衡方程组

由直接消耗系数模型的矩阵形式可得：

            

    因为，  

    所以，  

    代入上式可得完全消耗系数模型的矩阵形式为：

             

    若求出完全消耗系数，即可用于经济预测和计划制定。

    3 举例

    1）求完全消耗系数

    已知直接消耗系数矩阵A

                    

    解：

    第一步 求    

                 

    第二步 求    

                

    第三步 求 B  

         

    由此可知，完全消耗系数一定大于或等于直接消耗系数。

    2）求总产出量

    综上所述，完全消耗系数既反映了国民经济各部门之间的直接联系，也反映了国民经济各部门之间的间接联系。国民经济中任何一个部门的生产都以各种途径与其它部门联系着。在经济分析与计划管理上，人们都要确切地掌握这种经济情报，但是，只有科学地建立了经济数学模型和使用计算机之后，这种愿望才能变成现实！

第3节 投入产出模型的应用

3.1投入产出模型的建立

　　第一步　求算投入产出平衡表

　　在投入产出模型理论的指导下，通过调查研究和对已有统计数据进行加工整理，并认真进行综合分析，即可求得投入产出平衡表，具体可参考相关资料。本例为五个部门的投入产出平衡表，如表7.4所示。

　　第二步　建立投入产出模型

　　主要建立直接消耗系数投入产出模型和完全消耗系数投入产出模型。

　　1、建立直接消耗系数投入产出模型

　　(1)求算直接消耗系数A

　　由五个部门的投入产出表可求得直接消耗系数A为：

　　　　      

　　(2)建立直接消耗系数模型

　　由上述直接消耗系数A可得其投入产出模型的矩阵形式为：

X=AX+Y

　　其中：

　　　　  

　　2、建立完全消耗系数投入产出模型

　　(1)求算完全消耗系数B

　　由完全消耗系数的概念可得其矩阵形式为：

　　　　B＝A＋BA

　　　　B－BA＝A

　　　　B(E－A)＝A

　　　　B＝A(E－A)^－1

　　　　B＝(E－A)^－1－E

　　本例由上述直接消耗系数A可得列昂节夫矩阵为：

　　　　

　　进而可求得到昂节夫逆矩阵(E－A)^－1为：

　　　　    

　　故本例的完全消耗系数B为：

　　　　     B＝(E－A)^－1－E

　　　　         

　　(2)建立完全消耗系数模型

　　由于直接消耗系模型

　　　　X＝AX＋Y

　　　　X－AX＝Y

　　　　X(E－A)＝Y

　　　　X＝(E－A)^－1Y

　　因为B＝(E－A)^－1－E

　　所以B＋E＝(E－A)^－1

　　于是可得完全消耗系数模型的矩阵形式为：

　　　　           X＝(B＋E)Y

　　其中：

　　　　         

　　3.2 投入产出模型的应用

　　例1若已知A矩阵，Y矩阵，求X矩阵。

　　本例以上述五个部门投入产出表中数据为例，试证总产出量X并掌握应用方法。

　　(1)求A矩阵　　同前

　　(2)求列昂节夫矩阵(E－A)　　同前

　　(3)求列昂节夫逆矩阵(E－A)^－1　　同前

　　(4)求总产出矩阵X

　　已知Y矩阵　　同前

　　　　

　　由此得已试证，整个模型合理，可应用于投入产出分析。

　　例2　若已知A矩阵，Δy₁=0，Δy₂=0，Δy₃=10，Δy₄=0，Δy₅=0，那么五个部门的总产出量各增加多少？即求ΔX。

　　(1)、(2)、(3)　　同前。

　　(4)求总产出增量ΔX

　　　　ΔΔ

　　因此可知，当制造业的最终需求增长10个单位时，农业总产出x₁增加4个单位；采矿业的总产出x₂不变；制造业总产出x₃增加15个单位；电力工业总产出x₄增加3.2个单位，运输业总产出x₅增加2.7个单位。

　　例3　设有一经济系统只有三个部门，其直接消耗系数矩阵A为：

　　　　           

若下一个生产周期三个部门的最终需求分别是y₁=90、y₂=70、y₃=160。试问各部门总产出要达到多少，才能满足计划的要求？

　　根据题意需要运用完全消耗系数模型求各部门的总产出才能满足计划要求。

　　(1)求完全消耗系数B

　　已知直接消耗系数A，则：

　　列昂节夫矩阵为：

　　　　           

　　列昂节夫逆矩阵为：

　　　　         

　　完全消耗系数矩阵B为：

　　　　    

　　(2)求总产出X矩阵

　　已知y₁=90，y₂=70，y₃=160。

　　由完全消耗系数模型可得：

　　　　

　　故三个部门的总产出分别为x₁=145.8、x₂=133.2、x₃=207.4时，即可满足计划要求。

　　例4　如果例3中将最终需求y₁=100，即Δy₁=10，y₂，y₃不变，试问各部门的总产出应为多少，才能满足计划的要求？

　　(1)求ΔX

　　已知：Δy₁=10，Δy₂=0，Δy₃=0，则：

　　　　ΔΔ

　　(2)求X+ΔX

　　　　         X+ΔX

　　由此可知，当最终需求y₁增加10个单位，y₂、y₃不变时，总产出x₁=159.1、x₂=136.2、x₃=208.1时，才能满足计划要求。

3.2投入产出模型的实习指导

3.2.1实习目的

　　1、巩固投入产出分析法的基本原理及方法步骤。

　　2、掌握投入产出分析程序的使用方法及技巧。

　　3、求取投入产出模型的直接消耗系数，完全消耗系数，列昂节夫矩阵及列昂节夫逆矩阵并应用于国民经济部门管理决策。

　　4、掌握投入产出分析程序的变换应用方法。

3.2.2实习内容

　　1、标识符说明

　　N                      产出部门数

　　X(N, N+2)         存放投入产出平衡表数据

　　A(N，N)           存放直接消耗系数

　　B(N，N)           存放完全消耗系数

　　R(N，N)           存放列昂节夫逆矩阵

　　D(N)                 存放最终产品增长率

　　2、程序

　　10　REM This Is The Program Of Input & Output Methed

　　20　Print“Input The Order Of The Matrix”

　　30　INPUT“经济部门数N=”；N

　　40　DIM X(N, N+2), A(N, N), R(N, N), X1(N), D(N), V(N)

　　50　PRINT

　　60　PRINT“The List Of I/O”

　　70　FOR I=1 TO N

　　80　FOR J=1 TO N+2

　　90　READ X(I, J)

　　100　PRINT TAB(8*(J－1)); X(I, J);

　　110　NEXT J

　　120　PRINT

　　130　NEXT I

　　140　FOR J=1 TO N

　　150　FOR I=1 TO N

　　160　A(I, J)=X(I, J)/X(J, N+2)

　　170　NEXT I

　　180　NEXT J

　　190　PRINT“Output Technical Coefficiant Matrix A”

　　200　FOR I=1 TO N

　　210　FOR J=1 TO N

　　220　PRINT A(I, J)，

　　230　NEXT J

　　240　PRINT

　　250　NEXT I

　　260　PRINT

　　270　PRINT

　　280　FOR I=1 TO N

　　290　FOR J=1 TO N

　　300　IF J=I GOTO 330

　　310　R(I, J)=－A(I, J)

　　320　GOTO 340

　　330　R(I, J)=1－A(I, J)

　　340　NEXT J

　　350　NEXT I

　　360　PRINT“Ouput Leontif Matrix R=I－A”

　　370　FOR I=1 TO N

　　380　FOR J=1 TO N

　　390　PRINT R(I, J)，

　　400　NEXT J

　　410　PRINT

　　420　NEXT I

　　430　REM Computing The Leontif Inverse Matrix R^－1

　　450　FOR K=1 TO N

　　460　FOR I=1 TO N

　　470　FOR J=1 TO N

　　480　IF I=K THEN 520

　　490　IF J=K THEN 510

　　500　R(I, J)=R(I, J)－R(I, K)*R(K, J)/R(K, K)

　　510　NEXT J

　　520　NEXT I

　　530　FOR I=1 TO N

　　540　IF I=K THEN 570

　　550　R(K, I)=R(K, I)/R(K, K)

　　560　R(I, K)=－R(I, K)/R(K, K)

　　570　NEXT I

　　580　R(K, K)=1/R(K, K)

　　590　NEXT　K

　　860　PRINT“Output Inverse Matrix R^－1”

　　870　FOR I=1 TO N

　　880　FOR J= 1 TO N

　　890　PRINT R(I, J)，

　　900　NEXT J：PRINT

　　910　NEXT I

    921 FOR I = 1 TO N

922 FOR J = 1 TO N

923 IF I = J THEN B(I, J) = R10(I, J) - 1: GOTO 15925

924 B(I, J) = R10(I, J)

925 NEXT J

926 NEXT I

928 PRINT "B:"

930 FOR I = 1 TO N

932 FOR J = 1 TO N - 1

935 PRINT B(I, J); ",";

936 NEXT J: PRINT B(I, N)

938 NEXT I

　　940　FOR I=1 TO N

　　970　READ D(I)

　　980　NEXT I

　　990　PRINT

　　995　PRINT

　　1000　PRINT“ΔY%”，“New Y”，“New X”，“ΔX”，“ΔX%”

　　1005　PRINT

　　1010　FOR I=1 TO N

　　1020　X1(I)=0

　　1030　FOR J=1 TO N

　　1040　X1(I)=X1(I)+R(I, J)*X(J, N+1)*(1+D(J)/100)

　　1050　NEXT J

　　1065　PRINT D(I), X(I, N+1)*(1+D(I)/100), X1(I), X1(I)－X(I, N+2), (X1(I)

　　　　　－X(I, N+2))/X1(I)*100

　　1070　NEXT I

　　1080　END

　　1090　DATA　15, 0, 20, 0, 10, 80, 125, 0, 0, 0, 0, 0, 40, 40, 10, 0, 25, 15, 5, 45, 100,

　　　　　　　　 5, 15, 15, 0, 15, 25, 75, 5, 10, 15, 0, 5, 15, 50

　　1090　DATA　5, 10, 10, 15, 10

3.2.3实习过程

　　具体过程是：

　　首先进入QBASIC状态，然后输入投入产出程序；接着运行程序。

　　运行命令操作后，屏幕显示：

　　Input The Order of The Matrix N=?

　　于“？”后输入5↙

　　屏幕显示运行结果如下：

　　RUN↙

　　INPUT THE ORDER OF THE MATRIX? 5↙

　　The List Of I/O

　　Output technical coefficiant matrix A

　　Output leontif matrix R=I－A

　　Output inverse matrix R^－1

 

   B：

   .19175        .114114      .40107         .0802139     .336135

   0             0           0              0           0

   .163484       .187930      .49733         .299465      .302521

   .0962567      .502005      .320856        .06417       .411765

   .0802169      .314171      .26738         .053476      .17647

3.2.4程序变换应用

　　1、准备数据

　　已知某一投入产出平衡表的数据如表7.5所示，试用该程序进行投入产出分析。

表7.5　某投入产出平衡表

　　2、编辑程序

　　(1)产出部门数N

　　N=3

　　(2)DATA语句

　将DATA语句中数据均删除，重新输入所需表7.5数据，如：

1090 DATA 1824,108,216, 2412,4560

1100 DATA 228,72,36,384,720

1110 DATA 114,36,72,498,720

1120 DATA 5, 10, 10

   

　　3、运行程序

　　运行程序，观察运行结果，并将两次运行结果作以比较。