关于反正法的论文范例

广东石油化工学院自学考试本科

毕业论文

题　　目：浅谈反证法          

学生姓名：                准考证号：

所学专业：                联系电话：

指导老师：                职    称：

2013 年 12 月 25 日

浅谈反证法在中学数学解题中的应用

钟朗庭

【摘要】 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种，而反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法。反正法是最常见和应用极广的数学命题证明方法。本文就反证法的定义、概念、步骤，应用以及哪些适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳。

【关键词】 反证法 概念 应用 归纳

目录

一、对反证法的简述

1．反正法的定义

2．应用反正法的一般步骤

3．适于应用反证法证明的命题

4．应用反证法应该注意的事项

二、反证法应用的例子

1.在命题（定理）证明中应用

例1：数学归纳法的证明

2.在几何中的应用

   例2：圆

   例3：三角形

   例4：圆弦

3.在代数中的应用

   例5：多项式

   例6：多元多项式

   例7：抛物线

三、总结

四、参考文献

反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。

一、  对“反证法”的简述

1、反证法的定义

对于反证法的见解，法国数学家阿达玛曾对它做了一个精辟的概括：此证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．由此可知，利用推理计算中出现的矛盾可以证明数学中的一些结论，就是反证法．

反证法是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理计算而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾

的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立。

用数学语言来说，反正法是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原命题的负命题“p∩「q”入手，由p与「q合乎逻辑的退出一个矛盾，根据矛盾律，两个相互矛盾的命题不能同真，必有一假，断定负命题“p∩「q”为假，从而根据排中律，两个相互矛盾的命题不能同假，必有一真，由此肯定命题“p→q”为真。

2、应用反证法的一般步骤

    反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；

    归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾：

结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

3、适于应用反证法证明的命题

    ⒈基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。

    ⒉否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。

    ⒊限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。

⒋唯一性命题，即结果指定唯一的命题。

反证法是数学家最有力的一件武器，用逆向思维往往可以轻而易举地解决，已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。

4、应用反证法应该注意的事项

（1）必须正确否定结论，正确否定结论是运用反证法的首要问题。

（2）必须明确推理特点，否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。

（3）了解矛盾种类，反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。

二、反证法的应用例子

1、在命题（定理）证明中的应用

有些命题利用反正法证明更方便。

例1：证明学归纳法原理；设有一个与正整数n有关的命题，如果

（i）当n=1时，命题成立；

(ii) 假设n=k时命题也成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。

证明：假设命题不是对于一切正整数都成立。令S表示使命题不成立的正整数所成的集合。那么S≠?。于是有最小数原理，S中有最小数h。因为命题对于n=1成立，所以h≠1。从而h-1是一个正整数。因为h是S中的最小数，所以h-1?S，这就是说,当n=h-1时，命题成立。由于（ii），当n=h时命题也成立.因此h?S。这就导致了矛盾，因此数学归纳法成立。

2、在几何中的应用

例2：在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。

证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。

例 3：在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.

分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。

证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.

（1）   若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.

（2）   若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC. ∵AD=AC ∴△ADC为等腰三角形 ∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角    ∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C ∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.

   

 例4：为圆两条相交弦，且不全为直径，求证：不能互相平分。

 证明：假设弦被点平分，

由于点一定不是圆心，连接，

       则有，即过一点有两条直线与垂直，

这与垂线性质矛盾，所以弦不能被平分。

3、在代数中的应用

例5：已知方程，，中至少有一个方程有实数值，求实数的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件的集合的补集即可。

证明：假设三个方程都无实根，则有：

  解得 

∴所求的范围为.

例6：已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a²+b²+c²+d²+ab+cd≠1。

证明：假设a²+b²+c²+d²+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a²+b²+c²+d²+ab+bc-ad+cd＝0 即（a+b）²+（b+c）²+（c+d）²+（a-d）²＝0 ∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0  ∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.

例7：求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是()。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，易知、都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

                

的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得

                 （3）

设、是（3）的两个根，由韦达定理，可知

，

则，          （4）

，                （5）

由（4）、（5），可推得，

这于假设矛盾。

所以，抛物线没有渐近线。

三、总结

英国近代数学家哈代是这样赞美反证法：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”

本文通过对反证法的定义，步骤，应用，以及部分例题多角度去研究反证法，浅释了反证法在数学中的重要地位，而这些只是数学世界里的冰山一角。有些时候，我们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地解决。数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效时，反证法会助人一臂之力。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。我们对反正法加深了解完全是有必要的，它以其独特的证明方法和思维方式对培养我们逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学辩证能力。它应用广泛，作用强大，亟需我们继续学习和探究。

参考文献

[1]陈超群、鲍曼：哈尔滨师范:《反正法的应用研究》.2007.12

[2]赵雄辉：《证明的方法》.湖南：湖南人民出版社.2001.85-92

[3]陈凤仁、黄明魁：《浅谈反正法》：1998-2000第一期、第四期

[4]张瑞和：《高等代数》：第五版：15-16

[5]百度文库：《反证法应用研究》、《反证法在几何问题中的应用-人教版[原创]》

            《反证法在数学解题中的应用》