椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质
　　椭圆：与 的简单几何性质

1．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　  

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，

为最大角。

4.焦点三角形的面积，其中

5.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

(2)设方程：

 ①依据上述判断设方程为=1或=1

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx²＋ny²＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

(4)解方程组，代入所设方程即为所求．

6.点与椭圆的位置关系:

<1,点在椭圆内，=1，点在椭圆上，>1, 点在椭圆外。

7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax²＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；

(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．

8.弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长 

                

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为  ，  ，其中点坐标为  ，则得到关系式

 ，  ．.

②把  ，  分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解．其结果为

③利用  求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

第二篇：椭圆知识点总结

圆锥曲线与方程

  椭    圆

  知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F₁，F₂距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF₁|+|PF₂|=2a，2a＞|F₁F₂|=2c}；

这里两个定点F₁，F₂叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程： 

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0,  ±c）   

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示： 或者  mx²+ny²=1  

二．椭圆的简单几何性质：

  1.范围

  （1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

  （2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

   2.对称性

       椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

 3.顶点

  （1）椭圆的顶点：A₁（-a，0），A₂（a，0），B₁（0，-b），B₂（0，b）

  （2）线段A₁A₂，B₁B₂ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

  4．离心率

  （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），     

     是圆；

e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（）

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），  特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

6.几何性质

（1） 最大角

 （2）最大距离，最小距离

例题讲解：

一.椭圆定义：

１．方程化简的结果是         

2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是         

3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为            

二．利用标准方程确定参数

1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是                     .

（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是                     .

（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是                     .

（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是                     .

2.椭圆的长轴长等于       ，短轴长等于       , 顶点坐标是                            ,焦点的坐标是                   ,焦距是        ，离心率等于       ,

3．椭圆的焦距为，则=                 。

4．椭圆的一个焦点是，那么     。

三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为        。

2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为         

3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为          

4. 已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。

四．焦点三角形

1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是    。

2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？

3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为         。

变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，

求的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为，则           

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为          

3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为              

4.设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

最值问题：

1.椭圆两焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为_____，最小值为_____

2、椭圆两焦点为F₁、F₂，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF₁|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___

3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值        最小值        。

4.设F是椭圆＋=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标  最小值           .

同步测试

 1已知F₁(-8，0)，F₂(8，0)，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=16，则点P的轨迹为(    )

A 圆         B 椭圆      C线段        D 直线

 2、椭圆左右焦点为F₁、F₂，CD为过F₁的弦，则CDF₁的周长为______

 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是(     )

      A -1<k<1          B k>0            C k≥0         D k>1或k<-1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

 (1)长轴长为10，短轴长为6            

     (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)              

     (3) 经过点(5，1)，(3，2)              

5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________

6.椭圆的左右焦点分别是F₁、F₂，过点F₁作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为_________

7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______

椭圆方程为 ___________________.

8已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积             

9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F₁，则满足△ABF₁为等边三角形的椭圆的离心率为           

10.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是        

11．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长

            

12.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍

13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为  。

14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.

15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.

16.已知P是椭圆上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.

17．椭圆内有两点，，P为椭圆上一点，若使最小，则最小值为                                                      

   

18、椭圆＋=1与椭圆＋=l(l>0)有               

  (A)相等的焦距      (B)相同的离心率    (C)相同的准线        (D)以上都不对

19、椭圆与（0<k<9）的关系为

 (A)相等的焦距      (B)相同的的焦点    (C)相同的准线        (D)有相等的长轴、短轴

20、椭圆上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为            

21.点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为__________ ,此时点的坐标为________________.